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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第六章 第六节 直接证明与间接证明课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第六章 第六节 直接证明与间 接证明课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 4 4 4 4 2 1.(2013·潍坊模拟)在证明命题“对于任意角θ ,cos θ -sin θ =cos 2θ ”的过程: “cos θ -sin θ =(cos 2 2 2 2 2 θ +sin θ )·(cos θ -sin θ )=cos θ -sin θ =cos 2θ ”中应用了( ) (A)分析法 (B)综合法 (C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法 2 2 2 2 2.要证明 a +b -1-a b ≤0,只要证明( ) (A)2ab-1-a b ≤0
2 2

(B)a +b -1-

2

2

a 4 ? b4 ≤0 2
2

(C)

(a ? b) 2 2 2 -1-a b ≤0 2

(D)(a -1)(b -1)≥0

2

3.如果 a<0,b<0,则必有( ) 3 3 2 2 (A)a +b ≥ab +a b 3 3 2 2 (C)a +b >ab +a b 4.若实数 a,b 满足 a+b<0,则( (A)a,b 都小于 0 (C)a,b 中至少有一个大于 0

(B)a +b ≤ab +a b 3 3 2 2 (D)a +b <ab +a b ) (B)a,b 都大于 0 (D)a,b 中至少有一个小于 0 )

3

3

2

2

5.若 P= a ? a ? 7 ,Q= a ? 3 ? a ? 4 (a≥0),则 P,Q 的大小关系是( (A)P>Q (C)P<Q 6.(2013·郑州模拟)若|loga (B)P=Q (D)由 a 的取值确定

1 1 |=loga ,|logba|=-logba,则 a,b 满足的条件是 4 4

( ) (A)a>1,b>1 (B)0<a<1,b>1 (C)a>1,0<b<1 (D)0<a<1,0<b<1 7.已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3>0,则 f(a1)+f(a3)+f(a5)的值 ( ) (A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为 0 (D)可正可负 8.(2013·青岛模拟)设 x,y,z>0,则三个数 (A)都大于 2 (C)至少有一个不小于 2 二、填空题 9.(2013·石家庄模拟)如果 a a ? b b ? a b ? b a, 则 a,b 应满足的条件是_______.

y y z z x x ? , ? , ? ( ) x z x y z y

(B)至少有一个大于 2 (D)至少有一个不大于 2

-1-

10.设 P ? 2,Q ? 7 ? 3 则 P,Q,R 的大小顺序是_______. ,R ? 6 ? 2, 11.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N (m,n∈N ),且对任意的 m,n∈N 都有: (1)f(m,n+1)=f(m,n)+2. (2)f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16; ③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有_______. 三、解答题 12.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数. 13.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. 2 2 (1)sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°. 2 2 (2)sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°. 2 2 (3)sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°. 2 2 (4)sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°. 2 2 (5)sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. ②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 14.(1)求证:当 a>1 时,不等式 a ?
3
* * *

1 1 ? a 2 ? 2 成立. 3 a a

(2)要使上述不等式成立,能否将条件“a>1”适当放宽?若能,请放宽条件,并简述理由;若不能,也请 说明理由. (3)请你根据(1)(2)的结果,写出一个更为一般的结论,且予以证明.

答案解析 1.【解析】选 B.从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 2 2 2 2 2 2 2.【解析】选 D.a +b -1-a b ≤0?(a -1)(b -1)≥0. 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3.【解析】选 B.(a +b )-(ab +a b)=(a -ab )-(a b-b )=a(a -b )-b(a -b ) 2 2 2 =(a -b )(a-b)=(a-b) (a+b), 2 由于 a<0,b<0,所以(a-b) ≥0,a+b<0, 3 3 2 2 于是(a +b )-(ab +a b)≤0, 3 3 2 2 故 a +b ≤ab +a b. 4.【解析】选 D.假设 a,b 都不小于 0,即 a≥0,b≥0,则 a+b≥0,这与 a+b<0 相矛盾,因此假设错误,即 a,b 中至少有一个小于 0. 2 2 5.【解析】选 C.要比较 P,Q 的大小关系,只要比较 P ,Q 的大小关系,只要比较 2a+7+ 2 a ? a ? 7 ? 与 2a+7+ 2 只要比较 a ? a ? 7 ? 与
2 2

? a ? 3?? a ? 4 ? 的大小,

? a ? 3?? a ? 4 ? 的大小,

即比较 a +7a 与 a +7a+12 的大小, 只要比较 0 与 12 的大小, ∵0<12,∴P<Q.
-2-

6.【思路点拨】先利用|m|=m,则 m≥0,|m|=-m,则 m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性 即可求出 a 和 b 的范围. 【解析】选 B.∵|loga ∴loga

1 1 |=loga , 4 4

1 ≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知 0<a<1. 4

∵|logba|=-logba, ∴logba≤0=logb1,但 b≠1,所以根据对数函数的单调性可知 b>1. 7.【思路点拨】利用奇函数的性质 f(0)=0 以及等差数列的性质 a1+a5=2a3,关键判断 f(a1)+f(a5)>0. 【解析】选 A.由于 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,且 a3>0,所以 f(a3)>f(0) =0. 而 a1+a5=2a3,所以 a1+a5>0,则 a1>-a5, 于是 f(a1)>f(-a5),即 f(a1)>-f(a5), 因此 f(a1)+f(a5)>0, 所以有 f(a1)+f(a3)+f(a5)>0. 8.【解析】选 C.由于

y y z z x x ? ? ? ? ? x z x y z y

y x z x y z ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 6, x y x z z y y y z z x x ? ? , ? , ? 中至少有一个不小于 2,故选 C. x z x y z y
9.【解析】 a a ? b b ? a b ? b a ? ( a ? b)2 ( a ? b) ? 0 ? a ? 0, b ? 0, 且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 10.【解析】∵ P ?

4 2 2

,Q ?

4 4 ,R ? , 7? 3 6? 2

而 2 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 7, ∴

1 2 2 4 2 2

?

1 1 ? , 2? 6 3? 7 4 4 ? , 即 P>R>Q. 2? 6 3? 7



?

答案:P>R>Q 11.【解析】在(1)式中令 m=1 可得 f(1,n+1)=f(1,n)+2, 则 f(1,5)=f(1,4)+2=?=9; 在(2)式中,由 f(m+1,1)=2f(m,1)得, f(5,1)=2f(4,1)=?=16f(1,1)=16, 从而 f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确. 答案:①②③
-3-

12.【证明】假设 a,b,c,d 都是非负数,因为 a+b=c+d=1, 所以 a,b,c,d∈[0,1],

a?c b?d , bd ? bd ? , 2 2 a?c b?d ? ? 1, 所以 ac ? bd ? 2 2
所以 ac ?

ac ?

这与已知 ac+bd>1 相矛盾,所以原假设不成立,即证得 a,b,c,d 中至少有一个是负数. 2 2 13.【解析】①选择(2)式计算如下 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15° =1 ?

1 3 sin 30° ? . 2 4
2 2

②三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) ?
2 2

3 . 4

证明如下:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) 2 2 =sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) -sin α (cos 30°cos α + sin 30°sin α ) =sin α + =
2

3 1 1 3 3 2 2 2 cos α + sin α cos α + sin α sin α cos α - sin α 4 4 2 2 2

3 3 3 2 2 sin α + cos α = . 4 4 4 1 1 1 1 3 2 5 5 14.【解析】(1) a ? 3 ? a ? 2 ? 3 ? a ? 1? ? a ? 1? ,因为 a>1,所以 3 ? a ? 1? ? a ?1? >0,故原不等式 a a a a
成立. 5 (2)能将条件“a>1”适当放宽.理由如下:由于 a-1 与 a -1 对于任意的 a>0 且 a≠1 都保持同号,所以上 述不等式对任何 a>0 且 a≠1 都成立,故条件可以放宽为 a>0 且 a≠1. (3)根据(1)(2)的证明,可推知: 若 a>0 且 a≠1,m>n>0, 则有 a ?
m

1 1 ? an ? n . m a a 1 1 1 ? n ? a n ? a m ?n ? 1? ? m ? a m ?n ? 1? m a a a

证明如下:

am ? an ?
=

1 m?n a ? 1?? a m ? n ? 1? , m ? a
m-n m+n

若 a>1,则由 m>n>0 得 a -1>0,a -1>0,知不等式成立; m-n m+n 若 0<a<1,则由 m>n>0 得 a -1<0,a -1<0 知不等式成立.

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