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版高中数学第三章函数的应用章末复习课课件新人教a版必修1_图文

章末复习课

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核心归纳
1.函数的零点与方程的根的关系 函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,函数f(x)的零点的个数 与方程 f(x) = 0 的解的个数相等,也可以说方程 f(x) = 0 的解 就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,即函数f(x)的函数

值等于0时自变量x的取值.
因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方 程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的

大致区间,讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零
点的个数.

2.函数零点的存在性定理 (1)该定理的条件是:①函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连

续不断的;②f(a)·f(b)<0,即f(a)和f(b)的符号相反.这两个
条件缺一不可. (2)该定理的结论是“至少存在一个零点”,仅仅能确定函 数零点是存在的,但是不能确定函数零点的个数.

3.函数应用 (1)要解决函数应用问题,首先要增强应用函数的意识.一 般来说,解决函数应用问题可分三步:第一步,理解题

意,弄清关系;第二步,抓住关键,建立模型;第三步,
数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键. (2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方 程等数学思想及策略,寻求解题途径. (3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方 面.一般分为两类:一类是借助于生活经验、函数知识等 建立函数模型,以二次函数模型为主,一般是求二次函数 的最值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.

要点一 函数的零点与方程的根
函数的零点与方程的根的关系及应用 1.函数的零点与方程的根的关系:方程f(x)=0有实数根? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. 2.确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判 断.

【例 1 】

(1) 函数

2 ? ?x -2,x≤0, f ( x) = ? ? ?2x-6+ln x,x>0

的零点个数是

________. (2)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范 围是________.

解析

(1)①当 x≤0 时,由 f(x)=0,即 x2-2=0,解得 x= 2或

x=- 2.因为 x≤0,所以 x=- 2. ②法一 (函数单调性法)当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln x.

而 f(1)=2× 1-6+ln 1=-4<0, f(3)=2× 3-6+ln 3=ln 3>0, 所 以 f(1)· f(3)<0,又函数 f(x)的图象是连续的,故由零点存在性定 理,可得函数 f(x)在(1,3)内至少有一个零点.而函数 y=2x-6 在(0,+∞)上单调递增,y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以 函数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)上单调递增. 故函数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)内有且只有 1 个零点.综 上,函数 f(x)共有 2 个零点.

法二

(数形结合法)当 x>0 时,由 f(x)=0,得 2x-6+ln x=0,

即 ln x=6-2x. 如图,分别作出函数 y=ln x 和 y=6-2x 的图象. 显然,由图可知,两函数图象只有一个交 点,且在 y 轴的右侧,故当 x>0 时,f(x) =0 只有一个解. 综上,函数 f(x)共有 2 个零点.

(2) 由f(x)=0得|2x- 2|=b ,在同一坐标系中作出函数 y =|2x- 2| 和y=b的图象,如图所示,由图可知0<b<2,即若f(x)有两个零 点,则b的取值范围是(0,2).

答案 (1)2 (2)(0,2)

【训练 1】

已知关于 x 的方程 a·4x + b·2x + c = 0(a≠0) ,常数 )

a,b同号,b,c异号,则下列结论中正确的是(

A.此方程无实根
B.此方程有两个互异的负实根 C.此方程有两个异号实根 D.此方程仅有一个实根

解析

由常数 a,b 同号,b,c 异号,可得 a,c 异号,令 2x=

t,则方程变为 at2+bt+c=0,t>0,由于此方程的判别式 Δ=b2 c -4ac>0,故此方程有 2 个不等实数根,且两根之积为a<0,故 关于 t 的方程只有一个实数根,故关于 x 的方程只有一个实数 根.

答案 D

要点二 二分法求方程的近似解(或函数的零点)
1.二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数,转化为求函数的零点. (2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点 相差1). (3)利用二分法求函数的零点. (4)归纳结论.

2.使用二分法的注意事项 (1)二分法的实质是通过“取中点”,不断缩小零点所在区 间的范围,所以要选好计算的初始区间,保证所选区间既 符合条件,又使区间长度尽量小.

(2)计算时注意依据给定的精确度,及时检验计算所得的区
间是否满足精确度的要求. (3)二分法在具体使用时有一定的局限性,首先二分法只能 一次求得一个零点,其次f(x)在(a,b)内有不变号零点时, 不能用二分法求得.

【例2】

设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是

连续不断的. 先 求 值 : f(0) = ________ , f(1) = ________ , f(2) =

________,f(3)=________.
所以f(x)在区间________内存在一个零点x0,填下表, 区间 中点m f(m)符号 区间长度

结论x0的值为多少?(精确度0.1)

解 f(0)=-5,f(1)=-1, f(2)=9,f(3)=31, 所以初始区间为(1,2). 区间 中点m f(m)符号 区间长度

(1,2) (1,1.5)
(1,1.25) (1.125,1.25) (1.125,1.187 5)

1.5 1.25
1.125 1.187 5

+ +
- +

0.5
0.25 0.125 0.062 5

因为|1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1, 所以x0≈1.125(不唯一).

【训练2】

若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的

函数值用二分法逐次计算,参考数据如下: f(1) =- 2 , f(1.5) = 0.625 ; f(1.25) = - 0.984 , f(1.375) = - 0.260 ; f(1.438)=0.165.

那么方程 x3 + x2 - 2x -2 = 0的一个近似根可以为 ( 精确度为
0.1)( A.1.2 C.1.43 ) B.1.35 D.1.5

解析

∵ f(1.438) = 0.165>0 , f(1.375) =- 0.260<0 ,∴函数 f(x)

在(1.375,1.438)内存在零点,又1.438-1.375<0.1,结合选项知
1.43为方程f(x)=0的一个近似根. 答案 C

要点三 函数的实际应用
1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1) 对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主被动关 系,并用x,y分别表示.

(2)建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函
数的定义域. (3)求解函数模型,并还原为实际问题的解.

2.建模的三个原则
(1)简化原则:建立模型,要对原型进行一定的简化,抓主 要因素、主变量,尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则:建立的模型一定要有意义,既能对其进行 理论分析,又能计算和推理,且能推演出正确结果. (3)反映性原则:建立的模型必须真实地反映原型的特征和 关系,即应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有 说明现实问题的功能,能回到具体研究对象中去解决问

题.

【例 3】

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面

有关生产销售的统计规律:每生产产品 x(百台),其总成本 为 G(x)(万元),其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本).销 售收入 R(x)(万元)满足
2 ? ?-0.4x +4.2x?0≤x≤5?, R(x)=? ? ?11?x>5?.

假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统 计规律,请完成下列问题: (1) 写出利润函数 y = f(x) 的解析式 ( 利润=销售收入-总成 本) ; (2)要使工厂有盈利,求产量 x 的取值范围; (3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?



(1)由题意得 G(x)=2.8+x.

2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8?0≤x≤5?, ∴f(x)=R(x)-G(x)=? ? ?8.2-x?x>5?.

(2)①当 0≤x≤5 时,由-0.4x2+3.2x-2.8>0 得 x2-8x+7<0, 解得 1<x<7,∴1<x≤5. ②当 x>5 时,由 8.2-x>0,得 x<8.2, 所以 5<x<8.2. 综上,当 1<x<8.2 时,有 y>0. 即当产量 x 大于 100 台,小于 820 台时,能使工厂有盈利.

(3)当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 当x=4时,f(x)有最大值为3.6; 当x>5时,∵函数f(x)单调递减,

∴f(x)<f(5)=3.2(万元),综上,当工厂生产4百台时,可使盈利
最多,为3.6万元.

【训练3】

《中华人民共和国个人所得税法》规定,个人所

得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税,超过3 500 元的部分为当月应纳税所得额),应缴纳的税款按下表分段

累计计算:
全月应纳税所得额 不超过1 500元的部分 税率% 3

超过1 500元至4 500元部分
额y元的函数解析式.

10

(1)列出公民全月工资总额x(0<x<8 000)元与当月应缴纳税款 (2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元,那么她当月工资 总额是多少?



(1)依题意可得:

①当 0<x≤3 500 时,y=0. ②当 3 500<x≤5 000 时, y=(x-3 500)· 3%=0.03x-105. ③当 5 000<x<8 000 时, y=45+(x-5 000)· 10%=0.1x-455, ?0,0<x≤3 500, ? 综上可得 y=?0.03x-105,3 500<x≤5 000, ?0.1x-455,5 000<x<8 000. ?

(2)因为需交税300元, 故有5 000<x<8 000, 所以300=0.1x-455,所以x=7 550.

答:刘丽十二月份工资总额为7 550元.


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