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2012-2013学年四川省绵阳中学高一(下)第一次月考数学试卷


一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)cos165°的值为( ) A. B.

C.

D.

2. (4 分)已知向量 A .3 3. (4 分)已知 A. B. B.﹣3 ,则 tan2x=(

,若 C .2 ) C.

,则实数 m 的值为( D.﹣2



D.

4. (4 分)若 A. B.

,则 cos(105°﹣α)+sin(α﹣105°)=( C. D.



5. (4 分)化简 sin70°sin50°+cos110°cos310°的结果为( A. B.

) C.

D.cos20°

6. (4 分)△ ABC 中,AC=2,BC=1, A. B.

,则 cosA=( C.

) D.

7. (4 分)函数 A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位

的图象可以由函数 g(x)=4sinxcosx 的图象( B. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位

)而得到.

8. (4 分)函数 A. B.2

的最大值为( C.

) D.

9. (4 分)若 A.﹣b

, 与 的夹角为 60°, B.b C.

,且

,则 k=( D.



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www.jyeoo.com 10. (4 分)已知 的中点,则 =( ) , 与 的夹角为 ,如图所示,若 , ,且 D 为 BC

A.

B.

C .7

D.8

11. (4 分)△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 A.等腰△ B.等边△ C.Rt△

,则△ ABC 是(



D.等腰 Rt△

12. (4 分)已知 A.至多一解

是非零平面向量,且 与 不共线,则方程 B.至少一解 C.两解

的解的情况是( D.可能有无数解



二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. (3 分)已知 ,则 = _________ .

14. (3 分) 已知

, 则

= _________ .

15. (3 分)梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB=2CD,E、F 分别是 AD,BC 的中点,M、N 在 EF 上,且 EM=MN=NF, 若 ,则 = _________ (用 表示) .

16. (3 分)已知 则 m 的取值范围是 _________ .

,若 A、B、C 能构成三角形,

三、解答题(每题 10 分,共 40 分) 17. (10 分)已知三角形的一条边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两条边之比为 8:5,求 S△ABC.

18. (10 分)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、B(0,3) 、C(cosα,sinα) , (1)若 ,求角 α 的值;
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(2)若

www.jyeoo.com ,求 的值.

19. (10 分)在正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上一点,E、F 分别在边 BC、CD 上,且四边形 PECF 为矩形,用 向量方法证明: (1)PA=EF; (2)PA⊥ EF.

20. (10 分)已知 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调减区间; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣m 在区间 上没有零点,求 m 的取值范围.

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2012-2013 学年四川省绵阳中学高一(下)第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)cos165°的值为( ) A. B.

C.

D.

考点: 两角和与差的余弦函数;诱导公式的作用. 专题: 高考数学专题. 分析: 所求式子中的角变形后,利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简,再利用特殊角的三角函数值计 算即可求出值. 解答: 解:cos165°=cos(180°﹣15°)=﹣cos15°=﹣cos(45°﹣30°)
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=﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=﹣



故选 C 点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.

2. (4 分)已知向量 A .3 B.﹣3

,若 C .2

,则实数 m 的值为( D.﹣2



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 根据 , 解答: 解:∵

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则 x1y2﹣x2y1=0,建立等式关系,解之即可求出所求.

∴ x1y2﹣x2y1=0 即 1×(1﹣m)﹣(﹣2)×(1+m)=0 解得 m=﹣3 故选 B. 点评: 本题主要考查了平面向量共线(平行)的坐标表示,解题的关键是平行向量的充要条件,属于基础题.

3. (4 分)已知 A. B.

,则 tan2x=( C.

) D.

考点: 二倍角的正切. 专题: 计算题. 分析: 由 cosx 的值及 x 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinx 的值,进而求出 tanx 的值,然后把所求 的式子利用二倍角的正切函数公式变形后,将 tanx 的值代入即可求出值.
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www.jyeoo.com 解答: 解:由 cosx= ,x∈(﹣

,0) ,

得到 sinx=﹣ ,所以 tanx=﹣ ,

则 tan2x=

=

=﹣



故选 D 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的正切函数公式.学生求 sinx 和 tanx 时注意利用 x 的 范围判定其符合.

4. (4 分)若 A. B.

,则 cos(105°﹣α)+sin(α﹣105°)=( C. D.



考点: 诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 所求式子中的角变形后,利用诱导公式化简,将已知等式代入计算即可求出值. 解答: 解:∵ cos(75°+α)= ,180°<α<270°,
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∴ 255°<α+75°<345°, ∴ sin(75°+α)=﹣ ,

则 cos(105°﹣α)+sin(α﹣105°) =cos[180°﹣(75°+α)]+sin[(75°+α)﹣180°] =﹣cos(75°+α)﹣sin(75°+α) =﹣ + = .

故选 D 点评: 此题考查了诱导公式的作用,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 5. (4 分)化简 sin70°sin50°+cos110°cos310°的结果为( A. B. ) C.

D.cos20°

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的恒等变换及化简求值;诱导公式的作用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式第二项中的角度变形后利用诱导公式化简,再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值 化简即可得到结果. 解答: 解:sin70°sin50°+cos110°cos310° =sin70°sin50°+cos(180°﹣70°)cos(360°﹣50°) =sin70°sin50°﹣cos70°cos50° =﹣cos(70°+50°) =﹣cos120°
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www.jyeoo.com = . 故选 A 点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,诱导公式的作用,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解 本题的关键. 6. (4 分)△ ABC 中,AC=2,BC=1, A. B.

,则 cosA=( C.

) D.

考点: 正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据角 B 的余弦值为 ,得到 B 的正弦值且 B 为锐角.再用正弦定理算出 A 的正弦值,结合大边对大角
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可得 A 也是锐角,最后利用同角三角函数的平方关系,即可算出 A 的余弦之值. 解答: 解:∵ >0,∴ B 为锐角且 sinB= =

∵ △ ABC 中运用正弦定理,得 ∴ ,可得 sinA=

又∵ B 为锐角且 AC>BC, ∴ A 也是锐角,可得 cosA= =

故选:B 点评: 本题给出三角形 ABC 的两边和其中一边的对角余弦值,求另一个角的余弦值,着重考查了利用正余弦定理 解三角形、同角三角函数基本关系等知识点,属于基础题. 7. (4 分)函数 A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位 的图象可以由函数 g(x)=4sinxcosx 的图象( B. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位 )而得到.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和差的正弦公式化简 f(x)的解析式为 2sin2(x﹣
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) ,利用二倍角公式化简函数 g(x)的解析

式为 2sin2x,再根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,得出结论. 解答: 解:∵ 函数 函数 g(x)=4sinxcosx=2sin2x, 故把 g(x)=2sin2x 的图象向右平移 个单位,即可得到 f(x)=2sin2(x﹣ )的图象, =2( ﹣ )=2sin(2x﹣ )=2sin2(x﹣ ) ,

故选 D. 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式的应用,函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题.
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www.jyeoo.com 8. (4 分)函数 A. B.2 的最大值为( C. ) D.

考点: 二倍角的余弦;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用二倍角公式化简函数 f(x)的解析式为﹣
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+2,再利用二次函数的性质求得 f(x)的最

大值. 解答: 解:函数 故当 cosx= 时,函数 f(x)取得最大值为 2, 故选 B. 点评: 本题主要考查二倍角公式,二次函数的性质应用,属于中档题. =cos x﹣1﹣(2cos x﹣1)+cosx+ =﹣
2 2

+2,

9. (4 分)若 A.﹣b

, 与 的夹角为 60°, B.b C.

,且

,则 k=( D.



考点: 数量积表示两个向量的夹角;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 ? ,利用数量积即可得出. 解答: 解:∵ 又∵ 化为 ∴ 2k﹣3×2 +3k﹣2=0, 解得 k= 故选 D. 点评: 熟练掌握 ? 及数量积是解题的关键. .
2

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, 与 的夹角为 60°,∴ ,∴ ,即 ,

= ,

=1.

10. (4 分)已知 的中点,则 =( )

, 与 的夹角为

,如图所示,若



,且 D 为 BC

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www.jyeoo.com A.

B.

C .7

D.8

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 平行四边形法则,得到 解答: 解:∵ ∴ =8,
2 2

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, 与 的夹角为 = ( + )= ,

,我们易求出 ,先求出

2


2

2

及 ? 的值,进而根据向量加法的 的值.

的值,进而即可得到

, 与 的夹角为 =9, ? =6

∵ D 为 BC 的中点 ∴ = ( 又∵ ∴ = ∴ ∴
2

+

) , ,

=(

) =(9

2

2

+

2

﹣3 ? )=

=

故选 B 点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用,向量的模,向量的数量积公式,向量加法的平行四边形法则, 其中根据已知条件,求出 = 是解答本题的关键.

11. (4 分)△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 A.等腰△ B.等边△ C.Rt△

,则△ ABC 是(



D.等腰 Rt△

考点: 三角形的形状判断;二倍角的余弦;余弦定理. 专题: 计算题;解三角形;平面向量及应用. 分析: 利用二倍角的余弦函数,化简已知表达式,通过余弦定理转化为三角形的边的关系,即可判断三角形的形 状. 解答: 解:因为△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 ,
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所以 1+cosA=



由余弦定理可知 1+ 即 2bc+b +c ﹣a =2bc+2c , 2 2 2 ∴ b =c +a , 所以三角形是直角三角形. 故选 C.
2 2 2 2

=



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www.jyeoo.com 点评: 本题考查三角形形状的判断,余弦定理的应用,二倍角的余弦函数的应用,考查计算能力.

12. (4 分)已知 A.至多一解

是非零平面向量,且 与 不共线,则方程 B.至少一解 C.两解

的解的情况是( D.可能有无数解



考点: 平面向量的基本定理及其意义;根的存在性及根的个数判断;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 2 先将向量 移到另一侧得到关于向量 =﹣ x ﹣ x,再由平面向量的基本定理判断解的情况即可.
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解答:

解:∵ ∴ =﹣ x ﹣ x, 因为 可以由不共线的向量唯一表示, 所以可以由 和 唯一表示,
2

若恰好在基向量下的分解的系数是乘方的关系,则有一个解,否则无解, 所以至多一个解. 故选 A. 点评: 本题主要考查平面向量的基本定理,即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来.属于基 础题. 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. (3 分)已知 ,则 = (﹣7,7) .

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量坐标运算的法则可得
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=2(﹣1,2)﹣(5,﹣3) ,计算即可.

解答:

解:由题意可得

=2(﹣1,2)﹣(5,﹣3)=(﹣2,4)﹣(5,﹣3)=(﹣7,7)

故答案为: (﹣7,7) 点评: 本题考查平面向量的坐标运算,属基础题.

14. (3 分)已知

,则

=



考 两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正弦. 点 : 专 三角函数的求值. 题 : 分 利用拆分角,写成 , ,利用两角和差的正切公式即可得出 tanα, 析
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www.jyeoo.com : 把要求的 解 解:∵ 答 : ∴ =

展开,利用“弦化切”即可得出. ,

=

=

= .



=

=

=﹣ .



=

=

=

=

=

=



故答案为



点 熟练掌握拆分角的方法、两角和差的正弦、正切公式、“弦化切”的方法是解题的关键. 评 : 15. (3 分)梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB=2CD,E、F 分别是 AD,BC 的中点,M、N 在 EF 上,且 EM=MN=NF, 若 ,则 = (用 表示) .

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的平行四边形法则求解向量
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,利用中点坐标,求出

即可.

解答: 解:连结 CN 并延长交 AB 于 G,因为 AB∥ CD,AB=2CD,M、N 在 EF 上,且 EM=MN=NF,所以 G 为 AB 的中点,所以 为 AC 的中点,所以 所以 故答案为: . . ,又 E、F 分别是 AD,BC 的中点,M、N 在 EF 上,且 EM=MN=NF,所以 M ,

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www.jyeoo.com 点评: 本题考查向量的坐标运算,向量的平行四边形法则,考查计算能力.

16. (3 分)已知 则 m 的取值范围是 .

,若 A、B、C 能构成三角形,

考点: 平行向量与共线向量;三点共线. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由给出的三个向量的坐标求出 与
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的坐标,根据 A、B、C 能构成三角形,说明



不共线,由此列

式可求 m 的范围. 解答: 解:由 则 =(3,1) . =(2﹣m,1﹣m) . 由 A、B、C 能构成三角形, 则 与 不共线,即 3(1﹣m)﹣(2﹣m)≠0,解得: . . ,

所以,A、B、C 能构成三角形的实数 m 的取值范围是 故答案为 .

点评: 本题考查了平面向量的坐标运算,考查了向量共线的坐标表示,考查了数学转化思想,是基础题 三、解答题(每题 10 分,共 40 分) 17. (10 分)已知三角形的一条边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两条边之比为 8:5,求 S△ABC.

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理;三角形的面积公式. 计算题;解三角形. 设出 AB,BC,利用余弦定理,求出 AB,BC,然后利用三角形的面积求解即可. 解:设△ ABC 的边 AC=14,AB=8x,BC=5x,∠ B=60°, 由余弦定理可得 2 2 2 14 =64x +25x ﹣2×5x?8x?cos60° 解得 x=2 ∴ AB=16,BC=10…6′
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∴ S△ABC=

…10′

点评: 本题考查余弦定理的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力.

18. (10 分)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、B(0,3) 、C(cosα,sinα) ,



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(1)若 (2)若

www.jyeoo.com ,求角 α 的值; ,求 的值.

考点: 三角函数的化简求值;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: (1)根据两向量的模相等,利用两点间的距离公式建立等式求得 tanα 的值,根据 α 的范围求得 α.
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(2)根据向量的基本运算根据 ,再由 答案. 解答: 解: (1)∵ ∴ ∵ ∴ (2)∵ . , . ,

求得 sinα 和 cosα 的关系式,然后同角和与差的关系可得到 可确定

化简得 tanα=1

∴ (cosα﹣3,sinα)?(cosα,sinα﹣3)=﹣1, ∴ ∴ ∴ , .

点评: 本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题.三角函数与向量的综合题是高考的重点,每 年必考的,一定多复习. 19. (10 分)在正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上一点,E、F 分别在边 BC、CD 上,且四边形 PECF 为矩形,用 向量方法证明: (1)PA=EF; (2)PA⊥ EF.

考点: 两点间的距离公式;平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)以 B 为原点、BC 为 x 轴建立如图直角坐标系,设正方形的边长为 1,且 BE=x,可得 A、B、E、F、
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P 各点的坐标,从而得到 PA=EF;

的坐标,得到



,因此得到

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www.jyeoo.com (2)根据(1)中的数据,算出 的数量积为 0,从而得到 ,即 AP⊥ EF.

解答: 解:以 B 为原点、BC 为 x 轴,建立直角坐标系,如图所示 设正方形的边长为 1,且 BE=x,可得 B(0,0) ,E(x,0) ,F(1,x) , P(x,x) ,A(0,1)…2′ 可得 (1)根据向量模的公式,得 ,

∴ (2)∵ ∴ 可得

,即 AP=EF…6′

,即 AP⊥ EF…10′

点评: 本题在正方形 ABCD 中, 证明线面线段 AP 与 RF 垂直且相等, 着重考查了正方形的性质和利用向量知识证 明平面几何结论的方法,属于中档题.

20. (10 分)已知 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调减区间; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣m 在区间 上没有零点,求 m 的取值范围.

考点: 两角和与差的正弦函数;函数的零点;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,整理后利用两角和与差得正 弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值即可求出函数的最小正周期;
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(2)根据正弦函数的单调减区间为[ (3)作出函数 y=f(x)在[﹣ 函数 y=f(x)与 y=m 在 x∈[﹣ 利用图象即可求出 m 的范围. 解答: 解: (1)f(x)= sin2x+ , ,

+2kπ,

+2kπ],k∈Z,求出 x 的范围即可;

]上的图象,函数 g(x)无零点,即方程 f(x)﹣m=0 无解,亦即: ]上无交点从图象可看出 f(x)在[﹣ , ]上的值域为[0, +1],

cos2x+ sin2x﹣

cos2x=sin2x+cos2x+1=

sin(2x+

)+1,

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www.jyeoo.com ∵ ω=2,∴ T=π; (2)由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z 得: ,kπ+ , +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,

∴ f(x)的单调减区间为[kπ+ (3)作出函数 y=f(x)在[﹣

],k∈Z; ]上的图象如下:

函数 g(x)无零点,即方程 f(x)﹣m=0 无解, 亦即: 函数 y=f (x) 与 y=m 在 x∈[﹣ , ]上无交点从图象可看出 ( f x) 在[﹣ , ]上的值域为[0, +1],

则 m> +1 或 m<0. 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的单调性,以及正弦函数的图象与性质,熟练掌握公式 是解本题的关键.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:lincy;俞文刚;qiss;minqi5;sllwyn;caoqz;孙佑中;翔宇老师;若尘;zhwsd; sxs123(排名不分先后)
菁优网 2013 年 5 月 18 日

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