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2015-2016学年高中数学 2.3.2抛物线的简单几何课件 新人教A版选修1-1

2.3.2 抛物线的简单几何 题型一 抛物线的标准方程与几何 性质 例 1 顶点在原点对称轴为 x 轴, 焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的方程为( ) A.y2=-16x B.y2=-12x C.y2=16x D.y2=12x p 解析:直线与 x 轴的交点坐标为(4,0),∴抛物线的焦点为(4,0),∴ =4,p=8,∴ 2 抛物线方程为 y2=16x. 答案:C 变式训练 1.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛 物线方程为______________. 解析:∵过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍. ∴所求抛物线方程为 x2=± 16y. 答案:x2=±16y. 题型二 抛物线中的最值问题 例 2 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA| +|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标. 解析:将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1 设抛物线上的点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 2 7 7 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 ,即|PA|+|PF|的最小值 ,此时 P 点纵坐标为 2, 2 2 代入 y2=2x,得 x=2,所以点 P 坐标为(2,2). 方法总结:对于抛物线中最值问题,其求解方法为把到焦点的距离化为到准线的距离, 把到准线的距离化为到焦点的距离. 变式训练 2.若点 A 的坐标为(3,2),F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使|MF| +|MA|取得最小值的 M 的坐标为(D) 1 ? A.(0,0) B.? ?2,1? C.(1, 2) D.(2,2) 解析:|MF|可以看做是点 M 到准线的距离,因为点 AT 立于抛物线内,当点 M 运动到 和点 A 一样高时,|MF|+|MA|取最小值,即 My=2,代入 y2=2x 得 Mx=2. 已知抛物线 y2=2x. 例 3 在抛物线上求一点 P,使 P 到直线 x-y+3=0 的距离最短,并求出距离的最小 值. 解析:方法一 设点 P(x0,y0)是抛物线 y2=2x 上任一点,则点 P 到直线 x-y+3=0 的 距离为 y2 0 | -y0+3| |x0-y0+3| 2 d= = = 2 2 |(y0-1)2+5| , 2 2 5 2 ∴当 y0=1,d 有最小值 . 4 1 ? ∴点 P 的坐标为? ?2,1?. 方法二 设与直线 x-y+3=0 平行的抛物线的切线为 x-y+t=0 与 y2=2x 联立,消去 1 ? 1 1 x,得 y2-2y+2t=0,由Δ=0,得 t= ,此时 y=1,x= ∴点 P 的坐标为? ?2,1?.两平行线 2 2 间的距离就是点 P 到直线 x-y+3=0 的最小值.利用点到直线的距离(或平行线间的距离) 公式可求得. 5 d 最小值= 2. 4 规律技巧:抛物线的最值问题也可以利用抛物线的方程转化为二次函数问题求解. 变式训练 3.抛物线 y=4x2 上一点 P,则 P 到直线 y=4x-5 的距离的最小值为________. |4x-y-5| 解析:设 P(x,y),则 d= = 17 |4x-4x2-5| |(2x-1)2+4| 4 4 = ≥ = 17. 17 17 17 17 4 答案: 17 17 题型三 直线与抛物线的位置关系 例 4 设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围是( ) 1 1 - ,? A.? B.[-2,2] ? 2 2? C.[-1,1] D.[-4.4] 解析:抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,点 Q(-2,0),设直线 l 的斜率为 k,方程 2 ? ?y =8x, 为 y=k(x+2), 联立? 消去 y 得, k2x2+(4k2-8)x+4k2=0?Δ=(4k2-8)2-16k4 ?y=k(x+2), ? ≥0?-64k2+64≥0?-1≤k≤1. 答案:C 方法总结:位置关系的判定. 设直线 l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关 于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的形式. (1)若 a=0:直线与抛物线有一个公共点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴 重合,因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)若 a≠0: 当Δ>0 时,直线与抛物线相交,有两个公共点; 当Δ=0 时,直线与抛物线相切,有一个公共点; 当Δ<0 时,直线与抛物线相离,无公共点. 变式训练 4.如果过两点 A(a,0)和 B(0,a)的直线与抛物线 y=x2-2x-3 没有交点,那么实数 a 的取值范围是________. 解析:过两点 A(a,0)和 B(0,a)的直线方程为: x+y=a, ?y=x2-2x-3, ? 联立? 消去 y, ? x + y = a , ? 2 得 x -x-3-a=0. 因为直线与抛物线 y=x2-2x-3 没有交点, 13 则Δ=1-4(-3-a)<0,解得 a<- . 4 13 -∞,- ?. 因此,实数 a 的取值范围是? 4? ? 13 -∞,- ? 答案:? 4? ? 例 5 已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的弦长为 36,求弦所在的直线方程. 分析:弦所在直线经过焦点(1,0),因为弦长为 36,所以可判断直线的斜率存在且不为 0,只需求出直线的斜率即可. 解析:∵焦点的弦长为 36,∴弦所在的直线的斜率存在且不为零. 故可设弦所在直线的斜率为 k, 且与抛物线交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点. ∵抛物线 y2

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