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厦门一中高中2012级数学暑假补充训练三:立体几何基本题型训练


数学高考重要考点、方法与题型(5)
《立体几何》
★ ★ ★ 1、光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影;平行光照射下形成的投影,叫做 平行投影;在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影。 训练 1、 一个三角形的面积与它在投影面上的投影的面积相等, 则这个投影是 ( D ) A、中心投影 B、正投影 C、斜投影 D、以上都有可能 2.三视图:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧视图与俯视图宽相 等。 训练 2、某四面体的三视图如右图所示,该四面体四个面的面积中,最大的面积 等于 10

3、斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领:水平方向长度不变,垂直方向画成 45°或 135°,并且长 度变为原来的

1 2

.

训练 3、一个水平放置的正方形的面积是 4, 按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形, 这个四边形的面 积等于 4、几何体的表面积是这个几何体各个部分表面面积的总和;体积是这个几何体所占有的空间的大小。 训练 4、一个几何体的正视图、侧视图、俯视图的边界都是边长 为 2 的正方形,其中正视图和侧视图内的线段两端点在对应边的 中点,俯视图内的圆与边界正方形相切,则这个几何体的表面积 等于 ;体积等于
正视图 侧视图 俯视图

5、点、直线、平面位置关系的 4 个公理: ◆ 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆ 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆ 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆ 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 训练 5、(1)在空间,下列命题不正确的是( ) A、若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点 B、若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线

C、若点 A 既在平面 ? 内,又在另一平面 ? 内,则 A 在 ? 与 ? 的交线 b 上

D、任意两条直线不能确定一个平面 (2) 空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA、上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF 与 GH 交于 P,则点 P ( ) A、一定在直线 BD 上 B、一定在直线 AC 上 A C、在直线 AC 或 BD 上都有可能 D、不在直线 AC 上也不在直线 BD 上 6、◆ 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或 F 互补. 训练 6、空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB 与 CD 成 30 角,E,F 分别为 BC,AD 的中点, 则 EF 和 AB 所成的角等于 → → 7、空间向量共线的充要条件:对空间任意两个向量 a 、 b → → → → → → ( b ≠ 0 ), a ∥ b ? 存在实数λ 使 a =λ b . 训练 7、 已知 a
B E

G C

D

a ? 0, ? 3m ? 2n ? 4 p, m、n、p 是空间向量的一组基底, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ,

若 a // b ,则实数 x, y 的值分别是 8、共面向量(点) :①如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对 x、y 使 P ? xa ? yb . ② 空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,又 O 与 A、B、C 不共面且满足 OP ? 四点 P、A、B、C 共面 ?

xOA ? yOB ? zOC ,则

x ? y ? z ? 1.
2 3

训练 8、已知点 M 在平面 ABC 内,并且对平面 ABC 外任意一点 O, OM ? xOA ? 1 OB ? 1 OC ,则 x 的值 等于 9、空间向量基本定理:如果三个向量 ,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯一的有序实数组 x、 ....a, b, c 不共面 ... y、z,使 p ? xa ? yb ? zc . 推论:设 O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x 、 y 、 z 使

OP ? xOA? yOB ? zOC .
训练 9、已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC、M,N 分别是对边 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN

? 2GN ,现用基底向量 OA 、 OB 、 OC 表示向量 OG ,设 OG =x OA +y OB +z OC ,则 1 1 1 x、y、z 的值分别为 x= 、y= 、z= 6 3 3
上,且 MG 10、直线与平面平行的定义、判定与性质 定义:直线与平面没有公共点,就称作直线与平面平行。 判定 1:◆ 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 判定 2:直线 AB 在平面 ? 外, n 为平面 ? 的法向量, AB ? n =0,则直线 AB//平面 ? . 性质:◆ 如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平 行. 训练 10、(1)四边形 EFGH 的四个顶点 E、F、G、H 分别在空间四边形 ABCD 的四条边 AB,BC,CD,AD 上,又 EH//FG,下列判断正确的是 ①EH//BD ② EF//平面 ACD ③FG//平面 ABD ④EF//HG ⑤FG//BD (2) 平面 ? 的法向量为 n =(2,-1,1),点 A(1,-2,3)在 ? 外 ,点 B 在 z 轴上,直线 AB∥平面 ? ,则点 B 的 坐标是 11、直线与平面垂直的定义、判定和性质 定义:直线与一个平面内的所有直线都垂直,就称直线与这个平面垂直 判定 1:◆ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 判定 2:直线 m 、n 平行, 若m ? 平面? , 则n ? 平面? 判定 3:直线 AB 的方向向量为 AB ,平面 ? 的法向量为 n ,如果 性质:◆ 垂直于同一个平面的两条直线平行.

AB与n 共线,则直线 AB⊥平面 ? .
P B

训练 11、(1)如图:BC 是 Rt△ABC 的斜边,AP ? 平面 ABC,连结 PB、PC,作 PD ? BC 于 D 连结 AD,则图中直角三角形的个数是 (2)

1 在空间直角坐标系中,A(1,-2,1),B( 2

3 ,-2,2),C( 2

,-1,1),点 D 在 yoz 平面上,

A

C

D

如果直线 AD⊥平面 ABC,则点 D 的坐标是 12、平面与平面平行的定义、判定和性质 定义:两个平面没有公共点,就称这两个平面平行。 判定 1:◆ 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.

判定 2:两个平面 ?、? 都与直线 l 垂直,则 ? ∥ ? . 判定 3:两个平面 ?、? 的法向量共线,则 ? ∥ ? . ◆ 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 训练 12、下列结论正确的是 ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行,则这两个平面平行; 13、平面与平面垂直的定义、判定和性质 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角,就称这两个平面互相垂直。 判定 1;◆ 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 判定 2:平面 ?、? 的法向量垂直,则 ?

??



性质:◆ 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ②?

训练 13、 ?、? 是两个不同的平面, m 、n 是平面 ?、? 之外的两条不同的直线,给出四个论断:① m ? n ,

? ? ,③ n ? ? ,④ m ? ? ,以其中三个作为条件,余下一个作为结论,那么推理正确的是( A、①②④ ? ③与②③④ ? ① B、①③④ ? ②与①②④ ? ③ C、①③④ ? ②与①②③ ? ④ D、①③④ ? ②与②③④ ? ①

D )

14、平移两条异面直线使它们相交后所成角(锐角或直角)就叫做这两条异面直线所成的角。取值范围是 (0°,90°] 异面直线所成角的求法: 方法一:平移相交之后,求夹角; 方法二:用直线的方向向量求夹角:设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,则 cos ? = 训练 14、(1) 如图: PA ? 面ABC, ?ACB ? 90 且PA ? AC ? BC, 异面直线 则 PB与AC所成角的正切值等于

cos ? AB, CD ?

P

(2) 如图:直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,AB=AC=1,

AA1 ? 2, ?B1 AC 1 1 ? 90



A B
A1

C

D 为 BB1 的中点.则异面直线 C1 D 和 AC 所成角的余弦值为 1

15、平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的 角。取值范围是(0°,90°)。特别的,当直线与平面平行时,所成的角为 0°;垂直时, B1 所成的角为 90°. 直线与平面所成角的求法: D 方法一:找直线在平面内的射影,求直线与射影所成的角; 方法二:设平面 ? 的法向量为 n ,直线 则 sin ? =

C1 A

AB 与平面 ? 所成角为 ?
.



AB ? n cos ? AB, n ? ? | AB || n |

B

C

训练 15、(1)已知平面 ? 外两点 A、B 到平面 ? 的距离分别为 1 和 2,A、B 两点在平面 ? 内的射影之间的距 离为

3 ,则直线 AB 和平面 ? 所成的角等于
A1

D1 O1 B1 D A B

C1

(2) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O1 为上底面中心,则直线 AO1 与平面 A1BC1 所成角的余弦值等于

? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O, 分别在二面角的两个半平面 ?、? 内,作与 l 垂直的射线 OA 和 OB,∠AOB 就叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角,
16、 在二面角 ?

C

∠AOB 的大小就是这个二面角的大小,二面角大小的取值范围是 [0 ,180 ] 二面角的求法: 方法一:作出二面角的平面角,再求平面角的大小; 方法二:设 m , n 为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? 则

? l ? ? 的平面角为 ?



cos? ? cos ? m, n ? ?

mn (注意: 应根据 ? | m || n |

是锐角还是钝角来决定

cos ? 的正、负)

?
内 BD ? l ,二面角

方法三:在二面角 ?

?l ? ? ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,

的半平面 ? 内 AC ? l , 在

?

C
A
B
?

D



AC BD cos? ? cos ? AC , BD ? ? | AC || BD |

l

训练 16、(1)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC,PA=AC=3,AB=4,BC=5, P 则二面角 P-BC-A 的正切值等于

(2) 在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB 垂直于 AD 和 BC,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=2,AD=1,则平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角 ? (锐角)的余 弦值等于 (3)在二面角 ?

A

B

C

S B A
C
A B
?

? l ? ? 的棱上有 A,B 两点,线段 AC,BD 分别在二面角的两个面内,且都

C D
D

垂直于棱 l,已知 AB=4,AC=6,BD=8, CD ? 2 等于

41 ,二面角 ? ? l ? ? 的余弦值

?

17、用空间向量求点到平面的距离:设 n 是平面 ? 的法向量,在 ? 内取一点 B ,则 点

l

A 到 ? 的距离 d ?

| AB ? n | (即 AB 在 n 方向上投影的绝对值). |n|

训练 17、已知平面 为

? 的一个法向量 n ? (?2, ?2,1) ,点 A(-1,3,0)在 ? 内,则点 P(-2,1,4)到平面 ? 的距离

18 、长方体

ABCD ? A1B1C1D1 的几个性质:①长、宽、高分别为 a,b,c,则这个长方体外接球的半径
.

R?

② 体对角线 AC1 与过顶点 A 的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? ,

1 2 a ? b2 ? c2 2
2

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 或 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2 ; 2 2 2 1 ③体 对 角 线 AC1 与 过 顶 点 A 的 三 侧 面 所 成 角 分 别 为 ? , ? , ? , 则 有 sin ? ? sin ? ? sin? ? 或 2 2 2 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 2 .
则 cos 训练 18、(1)在三棱锥 A-BCD 中,棱 AB、AC、AD 两两垂直,AB=3,CD=4,则这个三棱锥外接球的表面 积等于

(2) 长方体 ABCD ? A 和 45° ,则 1BC 1 1D 1 的外接球半径为 2,体对角线 AC1 与棱 AB、AC 所成的角分别是 60° 这个长方体的表面积等于
R O

O

r

19、正四面体的几个性质:正四面体的棱长为 a, ① 全面积 S

? 3a 2 ;②高 h ?
?
2 2

2 3 6 a ,体积 V ? a ; 3 12

③对棱间的距离 d

a ;④相邻面所成二面角的余弦值为

1 3

;⑤外接球半径

R?

6 4

a ,内切球半径

r? h?

6 12
6

a ,外接球与内切球的球心都在高线的 4 等分点处;⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值

a. 3 训练 19、正四面体棱长为 2,那么这个正四面体的体积与内切球的体积之比等于

数学高考重要考点、方法与题型(5)
《立体几何》

★ ★ ★ 1、光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影;平行光照射下形成的投影,叫做 平行投影;在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影。 训练 1、 一个三角形的面积与它在投影面上的投影的面积相等, 则这个投影是 ( D ) A、中心投影 B、正投影 C、斜投影 D、以上都有可能 2.三视图:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧视图与俯视图宽相 等。 训练 2、某四面体的三视图如右图所示,该四面体四个面的面积中,最大的面积 等于 10 3、斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领:水平方向长度不变,垂直方向画成 45°或 135°,并且长 度变为原来的

1 2

.

训练 3、一个水平放置的正方形的面积是 4, 按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形, 这个四边形的面 积等于

2

4、几何体的表面积是这个几何体各个部分表面面积的总和;体积是这个几何体所占有的空间的大小。 训练 4、一个几何体的正视图、侧视图、俯视图的边界都是边长 为 2 的正方形,其中正视图和侧视图内的线段两端点在对应边的 中点,俯视图内的圆与边界正方形相切,则这个几何体的表面积 等于 16+2π ;体积等于 4+π
正视图 侧视图 俯视图

5、点、直线、平面位置关系的 4 个公理: ◆ 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆ 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆ 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆ 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 训练 5、(1)在空间,下列命题不正确的是( D ) A、若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点 B、若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线

C、若点 A 既在平面 ? 内,又在另一平面 ? 内,则 A 在 ? 与 ? 的交线 b 上

D、任意两条直线不能确定一个平面 (2) 空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA、上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF 与 GH 交于 P,则点 P ( B ) A、一定在直线 BD 上 B、一定在直线 AC 上 A C、在直线 AC 或 BD 上都有可能 D、不在直线 AC 上也不在直线 BD 上 6、◆ 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或 F 互补. 训练 6、空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB 与 CD 成 30 角,E,F 分别为 BC,AD 的中点, 则 EF 和 AB 所成的角等于 75°或 15° → → 7、空间向量共线的充要条件:对空间任意两个向量 a 、 b → → → → → → ( b ≠ 0 ), a ∥ b ? 存在实数λ 使 a =λ b . 训练 7、 已知 a
B E

G C

D

? 3m ? 2n ? 4 p, m、n、p 是空间向量的一组基底, a ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ,
x=-13,y=8

若 a // b ,则实数 x, y 的值分别是

8、共面向量(点) :①如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对 x、y 使 P ? xa ? yb . ② 空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,又 O 与 A、B、C 不共面且满足 OP ? 四点 P、A、B、C 共面 ?

xOA ? yOB ? zOC ,则

x ? y ? z ? 1.
2 3

训练 8、已知点 M 在平面 ABC 内,并且对平面 ABC 外任意一点 O, OM ? xOA ? 1 OB ? 1 OC ,则 x 的值 等于

1 6

9、空间向量基本定理:如果三个向量 ,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯一的有序实数组 x、 ....a, b, c 不共面 ... y、z,使 p ? xa ? yb ? zc . 推论:设 O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x 、 y 、 z 使

OP ? xOA? yOB ? zOC .
训练 9、已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC、M,N 分别是对边 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN

? 2GN ,现用基底向量 OA 、 OB 、 OC 表示向量 OG ,设 OG =x OA +y OB +z OC ,则 1 1 1 x、y、z 的值分别为 x= 、y= 、z= 6 3 3
上,且 MG 10、直线与平面平行的定义、判定与性质 定义:直线与平面没有公共点,就称作直线与平面平行。 判定 1:◆ 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 判定 2:直线 AB 在平面 ? 外, n 为平面 ? 的法向量, AB ? n =0,则直线 AB//平面 ? . 性质:◆ 如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平 行.

训练 10、(1)四边形 EFGH 的四个顶点 E、F、G、H 分别在空间四边形 ABCD 的四条边 AB,BC,CD,AD 上,又 EH//FG,下列判断正确的是 ①③⑤ ①EH//BD ② EF//平面 ACD ③FG//平面 ABD ④EF//HG ⑤FG//BD (2) 平面 ? 的法向量为 n =(2,-1,1),点 A(1,-2,3)在 ? 外 ,点 B 在 z 轴上,直线 AB∥平面 ? ,则点 B 的 坐标是 (0, 0, 7) 11、直线与平面垂直的定义、判定和性质 定义:直线与一个平面内的所有直线都垂直,就称直线与这个平面垂直 判定 1:◆ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 判定 2:直线 m 、n 平行, 若m ? 平面? , 则n ? 平面? 判定 3:直线 AB 的方向向量为 AB ,平面 ? 的法向量为 n ,如果 性质:◆ 垂直于同一个平面的两条直线平行.

AB与n 共线,则直线 AB⊥平面 ? .
P B

训练 11、(1)如图:BC 是 Rt△ABC 的斜边,AP ? 平面 ABC,连结 PB、PC,作 PD ? BC 于 D 连结 AD,则图中直角三角形的个数是 8

3 A (2) ,-2,2),C( ,-1,1),点 D 在 yoz 平面上, 2 3 1 (0, ? , ) 如果直线 AD⊥平面 ABC,则点 D 的坐标是 2 2
12、平面与平面平行的定义、判定和性质 定义:两个平面没有公共点,就称这两个平面平行。 判定 1:◆ 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 判定 2:两个平面 ?、? 都与直线 l 垂直,则 ? ∥ ? . 判定 3:两个平面 ?、? 的法向量共线,则 ? ∥ ? .

1 在空间直角坐标系中,A(1,-2,1),B( 2

C

D

◆ 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 训练 12、下列结论正确的是 ③④ ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行,则这两个平面平行; 13、平面与平面垂直的定义、判定和性质 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角,就称这两个平面互相垂直。 判定 1;◆ 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 判定 2:平面 ?、? 的法向量垂直,则 ?

??



性质:◆ 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ②?

训练 13、 ?、? 是两个不同的平面, m 、n 是平面 ?、? 之外的两条不同的直线,给出四个论断:① m ? n , A、①②④ ? ③与②③④ ? ① B、①③④ ? ②与①②④ ? ③ C、①③④ ? ②与①②③ ? ④ D、①③④ ? ②与②③④ ? ① 14、平移两条异面直线使它们相交后所成角(锐角或直角)就叫做这两条异面直线所成的角。取值范围是 (0°,90°] 异面直线所成角的求法: 方法一:平移相交之后,求夹角; 方法二:用直线的方向向量求夹角:设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,则 cos ? = 训练 14、(1) 如图: PA ? 面ABC, ?ACB ? 90 则 PB与AC所成角的正切值等于

? ? ,③ n ? ? ,④ m ? ? ,以其中三个作为条件,余下一个作为结论,那么推理正确的是(

D )

cos ? AB, CD ?

且PA ? AC ? BC, 异面直线

2

P

A B

C

(2) 如图:直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,AB=AC=1,

AA1 ? 2, ?B1 AC 1 1 ? 90
15 15



D 为 BB1 的中点.则异面直线 C1 D 和 AC 所成角的余弦值为 1

A1 C1 A

15、平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的 角。取值范围是(0°,90°)。特别的,当直线与平面平行时,所成的角为 0°;垂直时, B1 所成的角为 90°. 直线与平面所成角的求法: D 方法一:找直线在平面内的射影,求直线与射影所成的角; 方法二:设平面 ? 的法向量为 n ,直线 则 sin ? =

AB 与平面 ? 所成角为 ?
.


B C

AB ? n cos ? AB, n ? ? | AB || n |

训练 15、(1)已知平面 ? 外两点 A、B 到平面 ? 的距离分别为 1 和 2,A、B 两点在平面 ? 内的射影之间的距 离为

3 ,则直线 AB 和平面 ? 所成的角等于
7 3

30° 或 60°

D1 A1 O1 B1 D A B

(2) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O1 为上底面中心,则直线 AO1 与平面 A1BC1 所成角的余弦值等于 16、 在二面角 ?

C1

? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O, 分别在二面角的两个半平面 ?、? 内,作与 l 垂直的射线 OA 和 OB,∠AOB 就叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角,
∠AOB 的大小就是这个二面角的大小,二面角大小的取值范围是 [0 ,180 ] 二面角的求法: 方法一:作出二面角的平面角,再求平面角的大小; 方法二:设 m , n 为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? 则

C

? l ? ? 的平面角为 ?



cos? ? cos ? m, n ? ?

mn (注意: 应根据 ? | m || n |

是锐角还是钝角来决定

cos ? 的正、负)

?
内 BD ? l ,二面角

方法三:在二面角 ?

?l ? ? ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,

的半平面 ? 内 AC ? l , 在

?

C
A
B
?

D



AC BD cos? ? cos ? AC , BD ? ? | AC || BD |

l

训练 16、(1)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC,PA=AC=3,AB=4,BC=5, 则二面角 P-BC-A 的正切值等于

5 4

P B

(2) 在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB 垂直于 AD 和 BC,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=2,AD=1,则平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角 ? (锐角)的余 弦值等于

A

C

6 3
? l ? ? 的棱上有 A,B 两点,线段 AC,BD 分别在二面角的两个面内,且都

S B A
?
C
A B
?

C D

(3)在二面角 ?

垂直于棱 l,已知 AB=4,AC=6,BD=8, CD ? 2

41 ,二面角 ? ? l ? ? 的余弦值

D

l

等于

?

1 2

17 、 用 空 间 向 量 求 点 到 平 面 的 距 离 : 设

n 是平面 ?

的法向量,在 ? 内取一点

B ,则点 A 到 ?

的 距离

d?

| AB ? n | (即 AB 在 n 方向上投影的绝对值). |n|

训练 17、已知平面 为
10 3

? 的一个法向量 n ? (?2, ?2,1) ,点 A(-1,3,0)在 ? 内,则点 P(-2,1,4)到平面 ? 的距离

18 、长方体

ABCD ? A1B1C1D1 的几个性质:①长、宽、高分别为 a,b,c,则这个长方体外接球的半径
.

R?

② 体对角线 AC1 与过顶点 A 的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? ,

1 2 a ? b2 ? c2 2
2

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 或 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2 ; 2 2 2 1 ③体 对 角 线 AC1 与 过 顶 点 A 的 三 侧 面 所 成 角 分 别 为 ? , ? , ? , 则 有 sin ? ? sin ? ? sin? ? 或 2 2 2 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 2 .
则 cos 训练 18、(1)在三棱锥 A-BCD 中,棱 AB、AC、AD 两两垂直,AB=3,CD=4,则这个三棱锥外接球的表面 积等于 25π (2) 长方体 ABCD ? A 和 45° ,则 1BC 1 1D 1 的外接球半径为 2,体对角线 AC1 与棱 AB、AC 所成的角分别是 60° 这个长方体的表面积等于

16 2 ? 8
R O

19、正四面体的几个性质:正四面体的棱长为 a,
2 3 6 2 a ,体积 V ? a ; ① 全面积 S ? 3a ;② 高h ? 3 12

O

r

③对棱间的距离 d

?

2 2

a ;④相邻面所成二面角的余弦值为

1 3

;⑤外接球半径

R?

6 4

a ,内切球半径

r? h?

6 12
6 3

a ,外接球与内切球的球心都在高线的 4 等分点处;⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 a.

训练 19、正四面体棱长为 2,那么这个正四面体的体积与内切球的体积之比等于

6 3

?


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