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高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)


圆锥曲线的几大大题特征公式:焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外,针对“计算不好”的同学,本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考 本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现, 但是在高中教材及资料都涉及较少。 本文 主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识 1:切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结:x2 换成 xx0,y2 换成 yy0,x 换成(x+x0)/2,y 换成(y+y0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 :
2 2 xx 0 yy 0 ? 2 ? 1。 ①椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a2 b a b 2 2 xx 0 yy 0 ? 2 ? 1。 ②过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a2 b a b 2 2 2 2 2 2 2 ③椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 与直线 Ax ? Bx ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? C ? 0 a b (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0 的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程: 2 2 xx 0 yy 0 ? 2 ? 1。 ①双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a2 b a b 2 2 xx 0 yy 0 ? 2 ? 1。 ②过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a2 b a b 2 2 2 2 2 2 2 ③椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 与直线 Ax ? Bx ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? C ? 0 a b 【1-3】抛物线的切线方程:

② 物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 yy0 ? 2 p( x ? x0 )
2

②过抛物线 y ? 2 px 外一点 处所引两条切线是 yy0 ? 2 p( x ? x0 )
2 2 2 ③抛物线 y ? 2 px 与直线 Ax ? Bx ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC

【1-4】 基础知识的证明: 【公式一:曲线 C 上切点公式证明】 1、第 1 种证明思路:过曲线上一点的切线方程 设曲线 C 上某一点处 P( x0 , y0 ) 的 切 线 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 联立方程,令

? ? 0 ,得到 k 的表达式, 再代入原始式, 最后得切线方程式

xx0 yy0 ( x0 ) 2 ( y0 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 a2 b a b

(注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下) 2、第 2 种证明思路:点差法(求斜率,其余跟第一种方法一样) 证明:设某直线与曲线 C 交于 M、N 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,中点 P ( x0 , y0 )

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ? 1,?? (1) ?a b 则有 ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? 1.?? (2) ? b2 ? a2
y2 ? y1 y2 ? y1 b2 ? ? ?? 2 x2 ? x1 x2 ? x1 a ? k MN ? y0 b2 ?? 2 x0 a

? (1) ? (2) ,得

x1 ? x2 y ?y ? 1 2 2 ? 0. 2 a b

2

2

2

2

又? k MN ?

y 2 ? y1 y1 ? y 2 2 y0 y0 , ? ? . x2 ? x1 x1 ? x2 2 x0 x0

(弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是 k MN ?

y0 b 2 ) ? x0 a 2

当 M、N 无限趋近时,P 在椭圆 C 上。即得切线斜率 k ? ?

b 2 x0 ? a 2 y0

3、第三种证明思路(注意:仅供理解,考试使用可能分 证明:由 2(圆锥曲线切线证明) (同一目录下文章)可知圆上一点的切线方程。

坐标变幻,令x ' ? a ? x, y ' =b ? y , 因为圆方程为x 2 +y 2 ? 1, 从而得到变形后椭圆表达式 ?1 a2 b2 x'x ' y' y ' 因为圆切线方程为xx0 +yy0 ? 1从而得到椭圆切线方程 20 ? 2 0 ? 1 a b
附言:第 1 种证明思路中,抛物线证明过程中稍微有些不同。③ ①切线斜率可用导数表示。 ②得到式子后,要利用 y0 ? 2 px 把 y0 消去。 【公式二:曲线外一点引切线,过切点作直线的通式证明】(称为极线方程) 证明思路:过 P( x0 , y0 ) 作两条曲线 C 的切线,切点为 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) 。
2 2

? x '?

2

?

? y '?

2

? Ax ? By1 ? C ? 0 。所以 ?过 A、B 两点直线 l AB 方程为 Ax ? Bx ? C ? 0 ?? 1 ? Ax2 ? By2 ? C ? 0
证明(就举椭圆为例) 解:过 P( x0 , y0 ) 作两条曲线 C 的切线,切点为 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) 。 过 A 点切线:

xx 1 yy 1 xx yy ? 2 ? 1 ,过 B 点切线: 22 ? 22 ? 1 。 2 a b a b xx yy ?过 A、B 两点直线 l AB 方程为 20 ? 20 ? 1 a b

【公式三:由公式一的思路可得】

【基础知识 2:焦半径与准线】(具体关系与内容省略,详情看圆锥曲线知识表格) 【1-0】 【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决,之后类似“求长度”的题型, 求长度式子写“两点间举例公式” ,结果可以直接靠背。对于焦半径 PF, 口诀:椭圆 F 左加右减。 a ? ex (记忆: a 大则在前) 双曲线 F 左加右减,双曲线上点 P 左减右加。 ? ex ? a 焦半径与点到准线距离关系如下。即( a ? ex )/e= 推广应用:

a2 ? x ? 准线距离 c

通过 m, n 比例 ?e 的值 ? cos ? 的值 ? tan ? ? k 的值

m?n 1 ? (注:双曲线交于同侧、抛物线类似) m?n e m?n 1 ? ,具体自己推导吧 不过需要注意的是,双曲线交于异侧时,公式就变为 cos ? ? m?n e
巧用公式 cos ? ? 【基础知识 3:弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容) 【结论一:弦中点公式】 【证明】 : 设某直线与曲线 C 交于 M、 N 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、( x2 , y 2 ) , 中点 P ( x0 , y0 )

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ? 1,?? (1) ?a b 则有 ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? 1.?? (2) ? b2 ? a2
y2 ? y1 y2 ? y1 b2 ? ? ?? 2 x2 ? x1 x2 ? x1 a ?即k MN ? y0 b2 ? k MN ? kOP ? ? 2 x0 a

? (1) ? (2) ,得

x1 ? x2 y ?y ? 1 2 2 ? 0. 2 a b

2

2

2

2

又? k MN ?

y 2 ? y1 y1 ? y 2 2 y0 y0 , ? ? . x2 ? x1 x1 ? x2 2 x0 x0

(常用)

结论:斜率不变的直线与椭圆交于两点,所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。 【抽象理解型证明】 具体理解,可以用“坐标系变幻理解” 证明:设某斜率为定值 k 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) , 中点 P ( x0 , y0 )

x2 y2 ? 2 ? 1 ,令 x ? a ? x ', y =b ? y ' ? ( x ')2 + (y ')2 ? 1 。 2 a b
∵变幻后, x轴缩短a倍,y轴缩短b倍 ,得到中点轨迹方程始终与 MN 垂直

? k 'OP ? k ' MN ? ?1 又 ? kOP ? k MN ?

k?

b ' b k OP ? k ' MN a a

?y b?y ' b ? ? ?k ' ?x a?x ' a b2 ?? 2 a

【结论二:顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)

k AP ? k BP ? ?

b2 ,具体证明见下面的 “拓展性证明” ,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直, a2 b2 。结论可以直接背,不过引用的时 a2

证明方法和上面一样。至于双曲线,则是 k AP ? k BP ?

候还得按照下面的方法老实推导。 【结论三: (上一结论的延伸)对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻) 证明:不建议设直线,直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的,双曲线的证明类似) A (m, n) 、B ( ?m,?n ) 在椭圆上,且关于原点对称。

? x12 y12 ? 2 ? 1, ?? (1) ? ? a2 b 则有 ? 2 2 ? m ? n ? 1.?? ( 2) ? ? a 2 b2
∴k AP ? k BP =

? (1) ? (2) ,得

y2 ? n2 b2 ? ? x2 ? m2 a2

y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 ? = 2 ? ? x ? m x ? m x ? m2 a2


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