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2.3.1双曲线及其标准方程_图文

复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
画板演示
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

问题1 类比椭圆的定义,你能给出 双曲线的定义吗?
①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

拉链画双曲线

双曲线图象

双曲线定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹 叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

② |F1F2|=2c ——焦距.

M o

||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<2c)
注意
(1)2a<2c ;

F1

F2

(2)2a >0 ;

若2a = 0,则图形是什么?

问题2(1):定义中为什么要强调差的绝对值?

1.若 MF1 ? MF2 ? 2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

双曲线右支 则图形为 ______________________
2.若 MF1 ? MF2 ? ?2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

F1

F2

双曲线左支 则图形为 ______________________

问题2(2):定义中为什么这个常数要小于 |F1F2|? 如果不小于|F1F2 | ,轨迹是什么?
①若2a=2c,则轨迹是什么? 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 ②若2a>2c,则轨迹是什么? 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

问题4、类比求椭圆标准方程的方法, 思考如何建立适当的坐标系求双曲线 标准方程?

y

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤:
F1
O

M

F2

x

1.建系: 2.设点: 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式: |MF1| - |MF2|=±2a



? x ? c?

2

?y ?
2

? x ? c?

2

? y ? ?2a
2

4.化简:

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

?

( x ? c) 2 ? y 2
2

? ?
2

? ?2a ? ( x ? c) 2 ? y 2
2 2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y
2 2 2 2 2 2 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2

c ?a ?b
2 2

2

x a2

2

? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F

1

O

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题3:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?
看 x , y 前的系数,哪一个为正,则在 哪一个轴上.------”焦点跟着正项走” 课堂练习4 判断下列方程是否表示双曲 线?若是,求出 a , b, c 及焦点坐标。
x y ?1? ? ? 1 4 2
2 2

2

2

x y ?2? ? ? ?1 4 2

2

2

先把非标准方程化成标准方程,再判断 焦点所在的坐标轴。

问题4:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程 有何异同点?
椭 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

定义

|MF1|+|MF2|=2a
x y ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

方 程
焦点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c a>b>0, 的关系 a2=b2+c2

a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

课堂练习:

1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3),动点P满足 |PF1| - |PF2|= 10,则P点的轨迹是( D ) A、双曲线 C、直线
2 2 2

B、双曲线一支 D、一条射线

x y 2、若椭圆 ? ? 1 (a ? 0)与双曲线 a 4 x y
2 2

3

?

2

? 1 的焦点相同,则

a = 3

讨论:
当 m、n 取何值时,方程 mx2 ? ny 2 ? 1 双曲线,圆 。 表示椭圆,

解:由各种方程的标准方程知,
当m ? 0, n ? 0, m ? n 时方程表示的曲线是椭圆

当m ? n ? 0 时方程表示的曲线是圆 当m ? n ? 0 时方程表示的曲线是双曲线

例1 已知方程

x2 y2 ? ?1 9? k k ? 3

表示双曲线,

求 k 的取值范围。
分析:由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 x 2 2 x 、 y y 轴也可能在 轴,故而只要让 的系数异号即可。

练习:已知方程

2?m

x

2

?

y

2

m ?1

?1

表示双

曲线, 求m的取值范围

x2 y2 例2、已知双曲线 ? ? 1 上一点 P到 36 45
双曲线的左焦点的距离为16,则它到右焦点 的距离为 4或28 .
思考: 思考:

若把距离16改为10, 则有几解?

若把距离16改为14, 则有几解?

22 22 xx yy ? ? 1 ? ? 1的左,右焦 2 2 .已知F1、F2为双曲线 a 16 b 9 点,直线L过F1 ,交双曲线左支于M, N两点, 若|MN|= 7 m , 求△MF2N的周长.

拓展延伸

M

y

?F1 N

o

?F2 x

例 3 已 知 两 定 点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 ? ?1. 9 16

变一变 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 ,

PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

变一变 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

变式训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
a?4 b?3 (1)焦点在x轴上,


(2)焦点(0,-6),(0,6),经过点(2,-5).

问题5:用待定系数法求标准方程的 步骤是什么?
1、定位:确定焦点的位置;

2、设方程
3、定量:a,b,c的关系 焦点在x轴上: 焦点在y轴上:
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b

2

2

? 例4

、已知双曲线的焦点在y轴上,并且双 曲线上两点P1、P2的坐标分别为(1, 2 2)、 (0,2),求双曲线的标准方程.

拓展训练 求过点 P(? 2, ? 3)、Q( 15 , 2); 且焦点在坐标轴上的 3 双曲线标准方程.
? ?

设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0), 则

? 2m ? 3n ? 1 ? ?15 m ? 2n ? 1 ? ?9
?m ? 1 ? 1 ? n?? ? 3 ?

?

解得

∴所求方程为

y x ? ?1 3
2

2

若已知双曲线上两点,通常设方程为 mx2+ny2=1(mn<0),这种设法比设双曲线的标准方程 计算更简便,也避免了讨论双曲线的焦点位置.

例5、已知 A、B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮 弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为 340 m / s ,求 炮弹爆炸点的轨迹.
分析:依题意有,爆炸地点距 A、B 两地的距离差值为一 个定值,故而可知,爆炸点在以 A、B 为焦点的双曲 线上,又在 A 地听到的晚,所以爆炸点离 A 较远,应 是靠近 B 的一支。

相距2000m的两个哨所A、B,听 到远处传来的炮弹的爆炸声。已知当时的声速 是330m/s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所 听到时迟 4s ,试判断爆炸点在什么样的曲线上, 并求出曲线的方程。

变式训练

拓展延伸
例 6. 已知在 △ ABC 中, B( ?5, 0) , C (5, 0) , 点 A 运动时满足 3 sin B ? sin C ? sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5

解: 在△ABC中,|BC|=10,

3 ? sin B ? sin C ? sin A , 5 3 3 ?由 正 弦 定 理 得 AC ? AB ? BC ? ? 10 ? 6 ? 10 5 5

故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支 又因c=5,a=3,则b=4

x2 y2 ? ? 1 则顶点A的轨迹方程为 9 16

(x<0)

例7、求与圆A: x ? 5
2 2

和圆B:? x ? 5? ? y ? 1 都外切的圆 的圆心P的轨迹方程.
x y ? ?1 9 16
2 2

?

?

2

? y ? 49
2

(x>0)

课时小结
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 | | MF1 | - | MF2 | | = 2a ( 2a <| 定义 F1F2 | )
x y y x 方程 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). a b y a b y
M
2 2 2 2

M

图象

F2
F1
O

F2

x

O

x

F1

2

2

2


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