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2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)


2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则 A∩B=( A.{2,4} B.{4,6} C.{6,8} D.{2,8} 2.若复数 A.2 B.3 (a∈R)为纯虚数,其中 i 为虚数单位,则 a=( C.﹣2 D.﹣3 ) )

3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现 从中随机选取三个球, 则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 ( A. B. C. D. ) )

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=a?3n﹣1+b,则 =( A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3

5.直线 l:kx+y+4=0(k∈R)是圆 C:x2+y2+4x﹣4y+6=0 的一条对称轴,过点 A (0,k)作斜率为 1 的直线 m,则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为( A. B. C. D.2 )

6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了 体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在 同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利 用这个原理求球的体积时, 需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视 图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为 h(0<h<2)的平面截该 几何体,则截面面积为( )

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A.4π B.πh2 C.π(2﹣h)2 D.π(4﹣h)2 7.函数 f(x)= ?cosx 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

8.已知 a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是( A.ac>bc B.ac>bc C.loga(a﹣c)>logb(b﹣c) D. >



9.执行如图所示的程序框图,若输入 p=2017,则输出 i 的值为(



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A.335 B.336 C.337 D.338 10.已知 F 是双曲线 E: ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F 作 E 的一

条渐近线的垂线,垂足为 P,线段 PF 与 E 相交于点 Q,记点 Q 到 E 的两条渐近 线的距离之积为 d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是( A. B.2 C.3 D.4 )

11.已知棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,球 O 与该正方体的各个面相切, 则平面 ACB1 截此球所得的截面的面积为( A. B. C. D. x≠0, e 为自然对数的底数, , 关于 x 的方程 ) D. ( + ,+∞) + )

12. f x) = 已知函数 (

﹣λ=0 有四个相异实根,则实数 λ 的取值范围是( A. (0, ) B. (2 ,+∞) C. (e+ ,+∞)

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上 13.已知向量 =(1,2) , =(x,3) ,若 ⊥ ,则| + |= 14. ( ﹣ )5 的二项展开式中,含 x 的一次项的系数为 . (用数字作答) .

15.若实数 x,y 满足不等式组 最小值为 0,则实数 k= .

,目标函数 z=kx﹣y 的最大值为 12,

16.已知数列{an}满足 nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n) ,其中 a1=1,a2=2,若 an< an+1 对? n∈N*恒成立,则实数 λ 的取值范围是 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 2a= (1)求 C; (2)若 c= ,求△ABC 的面积 S 的最大值. csinA﹣acosC.

18.如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 ACEF 为平行四边形,设 BD 与 AC 相交 于点 G,AB=BD=2,AE= ,∠EAD=∠EAB.

(1)证明:平面 ACEF⊥平面 ABCD; (2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°,求二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值.

19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电 量划分为三档,月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度但 不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费,超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费. (1)求某户居民用电费用 y(单位:元)关于月用电量 x(单位:度)的函数解 析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 100 户居民每户 的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这 100 户居民中,今
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年 1 月份用电费用不超过 260 元的点 80%,求 a,b 的值; (3)在满足(2)的条件下,若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民 用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记 Y 为该居民用 户 1 月份的用电费用,求 Y 的分布列和数学期望.

20.已成椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右顶点分别为 A1、A2,上下顶点分 为菱形

别为 B2/B1,左右焦点分别为 F1、F2,其中长轴长为 4,且圆 O:x2+y2= A1B1A2B2 的内切圆. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)点 N(n,0)为 x 轴正半轴上一点,过点 N 作椭圆 C 的切线 l,记右焦点 F2 在 l 上的射影为 H,若△F1HN 的面积不小于 n2,求 n 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=xlnx,e 为自然对数的底数. (1)求曲线 y=f(x)在 x=e﹣2 处的切线方程; (2)关于 x 的不等式 f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数 λ 的值; (3)关于 x 的方程 f(x)=a 有两个实根 x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中 xOy 中,已知曲线 E 经过点 P(1, ) ,其参数方程为

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (α 为参数) , 以原点 O 为极点, (1)求曲线 E 的极坐标方程; (2)若直线 l 交 E 于点 A、B,且 OA⊥OB,求证: 求出这个定值.
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+

为定值,并

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知 f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于 x 的不等式 f(x)<g(x)的 解集为 M. (1)若 a﹣3∈M,求实数 a 的取值范围; (2)若[﹣1,1]? M,求实数 a 的取值范围.

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2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则 A∩B=( A.{2,4} B.{4,6} C.{6,8} D.{2,8} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3) (x﹣6)≤ 0}={x|3≤x≤6}, ∴A∩B={4,6}, 故选:B. )

2.若复数 A.2 B.3

(a∈R)为纯虚数,其中 i 为虚数单位,则 a=( C.﹣2 D.﹣3



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 程组,求解即可得答案. 【解答】解: ∵复数 = = , ,根据已知条件列出方

(a∈R)为纯虚数,



,解得:a=﹣2.

故选:C.

3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现
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从中随机选取三个球, 则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 ( A. B. C. D.



【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数 n= =4,所选的三个球上的数

字能构成等差数列包含的基本事件的个数, 由此能求出所选的三个球上的数字能 构成等差数列的概率. 【解答】解:袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”, “6”, 现从中随机选取三个球, 基本事件总数 n= =4,

所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有: (2,3,4) , (2,4,6) ,共有 2 个, ∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 p= = . 故选:B.

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=a?3n﹣1+b,则 =( A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由等比数列{an}的前 n 项和求出前 3 项,由此能求出利用等比数列{an} 中, ,能求出 .

【解答】解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=a?3n﹣1+b, ∴a1=S1=a+b, a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a, a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a, ∵等比数列{an}中, ∴(2a)2=(a+b)×6a, 解得 =﹣3.
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故选:A.

5.直线 l:kx+y+4=0(k∈R)是圆 C:x2+y2+4x﹣4y+6=0 的一条对称轴,过点 A (0,k)作斜率为 1 的直线 m,则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为( A. B. C. D.2 )

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线 l:kx+y+4=0 经过圆 C 的圆 心(﹣2,2) ,求得 k 的值,可得点 A 的坐标,求出圆心到直线的距离,即可得 出结论. 【解答】解:∵圆 C:x2+y2+4x﹣4y+6=0,即(x+2)2+(y﹣2)2 =2, 表示以 C(﹣2,2)为圆心、半径等于 的圆.

由题意可得,直线 l:kx+y+4=0 经过圆 C 的圆心(﹣2,2) , 故有﹣2k+2+4=0,∴k=3,点 A(0,3) . 直线 m:y=x+3,圆心到直线的距离 d= ∴直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 2 故选:C. = . = ,

6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了 体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在 同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利 用这个原理求球的体积时, 需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视 图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为 h(0<h<2)的平面截该 几何体,则截面面积为( )

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A.4π B.πh2 C.π(2﹣h)2 D.π(4﹣h)2 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆,明 确其半径求面积. 【解答】 解: 由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥, 底面半径为 2 高为 2, 设截面的圆半径为 r,则 故选 B. ,得到 r=h,所以截面圆的面积为 πh2;

7.函数 f(x)=

?cosx 的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决. 【解答】解:f(﹣x)= ∴f(x)为奇函数, ∴函数 f(x)的图象关于原点对称, ?cos(﹣x)= ?cosx=﹣f(x) ,

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当 x∈(0,

)时,cosx>0,

>0,

∴f(x)>0 在(0, 故选:C

)上恒成立,

8.已知 a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是( A.ac>bc B.ac>bc C.loga(a﹣c)>logb(b﹣c) D. 【考点】不等式的基本性质. >



【分析】根据不等式的性质求出 a(b﹣c)>b(a﹣c)以及 a﹣c>b﹣c>0,从 而求出答案. 【解答】解:∵a>b>0,c<0,﹣c>0, ∴a﹣c>b﹣c>0,ac<bc, 故 a(b﹣c)>b(a﹣c) , 故 > ,

故选:D.

9.执行如图所示的程序框图,若输入 p=2017,则输出 i 的值为(



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A.335 B.336 C.337 D.338 【考点】程序框图. 【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出 i 的值. 【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计 1 到 2017 这些数中 能同时被 2 和 3 整除的数的个数 i, 由于:2017=336×6+1, 故程序框图输出的 i 的值为 336. 故选:B.

10.已知 F 是双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F 作 E 的一

条渐近线的垂线,垂足为 P,线段 PF 与 E 相交于点 Q,记点 Q 到 E 的两条渐近 线的距离之积为 d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是( A. B.2 C.3 D.4 )

【考点】双曲线的简单性质.
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【分析】E 上任意一点 Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为 d1d2= = =d2, F c, 0) ( 到渐近线 bx﹣ay=0 的距离为 =b=2d,

求出可求双曲线的离心率. 【解答】解:E 上任意一点 Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为 d1d2= = =d2,

F(c,0)到渐近线 bx﹣ay=0 的距离为 ∴ ,

=b=2d,

∴e= =2, 故选 B.

11.已知棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,球 O 与该正方体的各个面相切, 则平面 ACB1 截此球所得的截面的面积为( A. B. C. D. )

【考点】球的体积和表面积. 【分析】求出平面 ACB1 截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面 ACB1 截此 球所得的截面的面积. 【解答】解:由题意,球心与 B 的距离为 = = ,B 到平面 ACB1 的距离为 ﹣ = ,∴平

,球的半径为 1,球心到平面 ACB1 的距离为 = = , ,

面 ACB1 截此球所得的截面的圆的半径为 ∴平面 ACB1 截此球所得的截面的面积为 故选 A.

12. f x) = 已知函数 (

x≠0, e 为自然对数的底数, , 关于 x 的方程
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+

﹣λ=0 有四个相异实根,则实数 λ 的取值范围是( A. (0, ) B. (2 ,+∞) C. (e+ ,+∞)

) D. ( + ,+∞)

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】求导数,确定函数的单调性,可得 x=2 时,函数取得极大值 的方程 + ,关于 x

﹣λ=0 有四个相异实根,则 t+ ﹣λ=0 的一根在(0, ) ,

另一根在( ,+∞)之间,即可得出结论. 【解答】解:由题意,f′(x)= ,

∴x<0 或 x>2 时,f′(x)<0,函数单调递减,0<x<2 时,f′(x)>0,函数 单调递增, ∴x=2 时,函数取得极大值 关于 x 的方程 + , ﹣λ=0 有四个相异实根,则 t+ ﹣λ=0 的一根在(0,

) ,另一根在( ,+∞)之间, ∴ 故选:C. ,∴λ>e+ ,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上 13.已知向量 =(1,2) , =(x,3) ,若 ⊥ ,则| + |= 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】 ⊥ ,可得 =0,解得 x.再利用向量模的计算公式即可得出. =x+6=0,解得 x=﹣6. 5 .

【解答】解:∵ ⊥ ,∴ ∴ =(﹣5,5) . =5 . .

∴| + |= 故答案为:5

14. (

5 ﹣ ) 的二项展开式中, 含 x 的一次项的系数为

﹣5 (用数字作答) .

【考点】二项式系数的性质.
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【分析】写出二项展开式的通项,由 x 的指数等于 1 求得 r 值,则答案可求. 【解答】解: ( Tr+1= 令 ? ﹣ )5 的二项展开式中,通项公式为: ? =(﹣1)r? ? ,

=1,得 r=1; ﹣ )5 的展开式中含 x 的一次项系数为:

∴二项式( ﹣1? =﹣5.

故答案为:﹣5.

15.若实数 x,y 满足不等式组 最小值为 0,则实数 k= 3 .

,目标函数 z=kx﹣y 的最大值为 12,

【考点】简单线性规划. 【分析】先画出可行域,得到角点坐标.利用 k 与 0 的大小,分类讨论,结合目 标函数的最值求解即可. 【解答】解:实数 x,y 满足不等式组 B(1,﹣2) ,C(4,0) . ①当 k=0 时,目标函数 z=kx﹣y 的最大值为 12,最小值为 0,不满足题意. ②当 k>0 时,目标函数 z=kx﹣y 的最大值为 12,最小值为 0,当直线 z=kx﹣y 过 C(4,0)时,Z 取得最大值 12. 当直线 z=kx﹣y 过 A(3,1)时,Z 取得最小值 0. 可得 k=3,满足题意. ③当 k<0 时,目标函数 z=kx﹣y 的最大值为 12,最小值为 0,当直线 z=kx﹣y 过 C(4,0)时,Z 取得最大值 12.可得 k=﹣3, 当直线 z=kx﹣y 过,B(1,﹣2)时,Z 取得最小值 0.可得 k=﹣2, 无解. 综上 k=3 故答案为:3.
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的可行域如图:得:A(1,3) ,

16.已知数列{an}满足 nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n) ,其中 a1=1,a2=2,若 an< an+1 对? n∈N*恒成立,则实数 λ 的取值范围是 【考点】数列递推式. 【分析】把已知递推式变形,可得数列{ }的奇数项与偶数项均是以 λ 为公差 [0,+∞) .

的等差数列,分类求其通项公式,代入 an<an+1,分离参数 λ 求解. 【解答】解:由 nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n)=λn(n+2) , 得 ∴数列{ , }的奇数项与偶数项均是以 λ 为公差的等差数列,

∵a1=1,a2=2, ∴当 n 为奇数时, ∴ 当 n 为偶数时, ∴ . < , ; , ,

当 n 为奇数时,由 an<an+1,得 即 λ(n﹣1)>﹣2. 若 n=1,λ∈R,若 n>1 则 λ> 当 n 为偶数时,由 an<an+1,得

,∴λ≥0; <
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即 3nλ>﹣2,∴λ>

,即 λ≥0.

综上,λ 的取值范围为[0,+∞) . 故答案为:[0,+∞) .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 2a= (1)求 C; (2)若 c= ,求△ABC 的面积 S 的最大值. csinA﹣acosC.

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin(C ﹣ )=1,结合 C 的范围,可得 C 的值.

(2)由余弦定理,基本不等式可求 ab≤1,进而利用三角形面积公式可求△ABC 面积的最大值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵2a= csinA﹣acosC, sinCsinA﹣sinAcosC,…2 分

∴由正弦定理可得:2sinA= ∵sinA≠0, ∴可得:2=

sinC﹣cosC,解得:sin(C﹣ ∈(﹣ .…6 分 ,

)=1, ) ,

∵C∈(0,π) ,可得:C﹣ ∴C﹣ = ,可得:C=

(2)∵由(1)可得:cosC=﹣ , ∴由余弦定理,基本不等式可得:3=b2+a2+ab≥3ab,即:ab≤1, (当且仅当 b=a 时取等号)…8 分 ∴S△ABC= absinC= ab≤ ,可得△ABC 面积的最大值为 .…12 分

18.如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 ACEF 为平行四边形,设 BD 与 AC 相交 于点 G,AB=BD=2,AE= ,∠EAD=∠EAB.
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(1)证明:平面 ACEF⊥平面 ABCD; (2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°,求二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)连接 EG,由四边形 ABCD 为菱形,可得 AD=AB,BD⊥AC,DG=GB, 可证△EAD≌△EAB,进一步证明 BD⊥平面 ACEF,则平面 ACEF⊥平面 ABCD; (2)法一、过 G 作 EF 的垂线,垂足为 M,连接 MB,MG,MD,可得∠EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角,得到 EF⊥平面 BDM,可得∠DMB 为二面角 B﹣EF﹣D 的平面角, 在△DMB 中,由余弦定理求得∠BMD 的余弦值,进一步得到二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值; 法二、在平面 ABCD 内,过 G 作 AC 的垂线,交 EF 于 M 点,由(1)可知,平面 ACEF⊥平面 ABCD,得 MG⊥平面 ABCD,则直线 GM、GA、GB 两两互相垂直, 分别以 GA、GB、GM 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 G﹣xyz,分别求出平面 BEF 与平面 DEF 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角 B﹣EF﹣ D 的余弦值. 【解答】 (1)证明:连接 EG, ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AD=AB,BD⊥AC,DG=GB, 在△EAD 和△EAB 中, AD=AB,AE=AE,∠EAD=∠EAB, ∴△EAD≌△EAB, ∴ED=EB,则 BD⊥EG, 又 AC∩EG=G,∴BD⊥平面 ACEF, ∵BD? 平面 ABCD, ∴平面 ACEF⊥平面 ABCD;
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(2)解法一:过 G 作 EF 的垂线,垂足为 M,连接 MB,MG,MD, 易得∠EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角, ∴∠EAC=60°, ∵EF⊥GM,EF⊥BD, ∴EF⊥平面 BDM, ∴∠DMB 为二面角 B﹣EF﹣D 的平面角, 可求得 MG= ,DM=BM= , ,

在△DMB 中,由余弦定理可得:cos∠BMD= ∴二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值为 ;

解法二:如图,在平面 ABCD 内,过 G 作 AC 的垂线,交 EF 于 M 点, 由(1)可知,平面 ACEF⊥平面 ABCD, ∵MG⊥平面 ABCD, ∴直线 GM、GA、GB 两两互相垂直, 分别以 GA、GB、GM 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 G﹣xyz, 可得∠EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角,∴∠EAC=60°, 则 D(0,﹣1,0) ,B(0,1,0) ,E( , 设平面 BEF 的一个法向量为 ,则 ) ,F( , ) ,



取 z=2,可得平面 BEF 的一个法向量为 同理可求得平面 DEF 的一个法向量为 ∴cos< >= = , .

, ,

∴二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值为

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19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电 量划分为三档,月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度但 不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费,超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费. (1)求某户居民用电费用 y(单位:元)关于月用电量 x(单位:度)的函数解 析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 100 户居民每户 的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这 100 户居民中,今 年 1 月份用电费用不超过 260 元的点 80%,求 a,b 的值; (3)在满足(2)的条件下,若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民 用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记 Y 为该居民用 户 1 月份的用电费用,求 Y 的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其
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分布列. 【分析】 (1)利用分段函数的性质即可得出. (2)利用(1) ,结合频率分布直方图的性质即可得出. (3)由题意可知 X 可取 50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图 的性质即可得出. 【解答】解: (1)当 0≤x≤200 时,y=0.5x; 当 200<x≤400 时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60, 当 x>400 时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140, 所以 y 与 x 之间的函数解析式为:y= .

(2)由(1)可知:当 y=260 时,x=400,则 P(x≤400)=0.80, 结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2, ∴a=0.0015,b=0.0020. (3)由题意可知 X 可取 50,150,250,350,450,550. 当 x=50 时,y=0.5×50=25,∴P(y=25)=0.1, 当 x=150 时,y=0.5×150=75,∴P(y=75)=0.2, 当 x=250 时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P(y=140)=0.3, 当 x=350 时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P(y=220)=0.2, 当 x=450 时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P(y=310)=0.15, 当 x=550 时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P(y=410)=0.05. 故 Y 的概率分布列为: Y 25 75 140 220 0.3 0.2 310 410

P 0.1 0.2

0.15 0.05

所以随机变量 Y 的数学期望 EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.

20.已成椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右顶点分别为 A1、A2,上下顶点分

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别为 B2/B1,左右焦点分别为 F1、F2,其中长轴长为 4,且圆 O:x2+y2= A1B1A2B2 的内切圆. (1)求椭圆 C 的方程;

为菱形

(2)点 N(n,0)为 x 轴正半轴上一点,过点 N 作椭圆 C 的切线 l,记右焦点 F2 在 l 上的射影为 H,若△F1HN 的面积不小于 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意求得 a,直线 A2B2 的方程为 公式,即可求得 b 的值,求得椭圆 C 的方程; (2)设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,求得 m 和 n 的关系,利用三角形的 面积公式,求得 m 的取值范围,代入即可求得 n 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意知 2a=4,所以 a=2, 所以 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) ,B1(0,﹣b) ,B2(0,b) ,则 直线 A2B2 的方程为 所以 = ,即 bx+2y﹣2b=0, ,利用点到直线的距离 n2,求 n 的取值范围.

,解得 b2=3,

故椭圆 C 的方程为



(2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+n,m≠0, 联立 ,消去 x 得(3m2+4)y2+6mny+3(n2﹣4)=0, (*)

由直线 l 与椭圆 C 相切,得△=(6mn)2﹣4×3×(3m2+4) (n2﹣4)=0, 化简得 3m2﹣n2+4=0, 设点 H(mt+n,t) ,由(1)知 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,则 解得:t=﹣ , = (n+1)丨﹣ 丨= , ? =﹣1,

所以△F1HN 的面积

代入 3m2﹣n2+4=0,消去 n 化简得

= 丨 m 丨,

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所以 丨 m 丨≥ 从而 ≤ 所以

n 2=

(3m2+4) ,解得 ≤丨 m 丨≤2,即 ≤m2≤4,

≤4,又 n>0, ≤n≤4, ,4].

故 n 的取值范围为[

21.已知函数 f(x)=xlnx,e 为自然对数的底数. (1)求曲线 y=f(x)在 x=e﹣2 处的切线方程; (2)关于 x 的不等式 f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数 λ 的值; (3)关于 x 的方程 f(x)=a 有两个实根 x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出函数的导数,计算 f′(e﹣2)和 f(e﹣2)的值,求出切线方程即 可; (2)求出函数 g(x)的导数,得到函数的单调区间,求出函数的极小值,从而 求出 λ 的值即可; (3)记 h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,求出 h(x)的最小值,得到 a= ﹣1=f(x2)≥x2﹣1,得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤ ﹣ ,从而证出结论.

【解答】解(1)对函数 f(x)求导得 f′(x)=lnx+1, ∴f′(e﹣2)=lne﹣2+1=﹣1, 又 f(e﹣2)=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2, ∴曲线 y=f(x)在 x=e﹣2 处的切线方程为 y﹣(﹣2e﹣2)=﹣(x﹣e﹣2) , 即 y=﹣x﹣e﹣2; (2)记 g(x)=f(x)﹣λ(x﹣1)=xlnx﹣λ(x﹣1) ,其中 x>0, 由题意知 g(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 下面求函数 g(x)的最小值, 对 g(x)求导得 g′(x)=lnx+1﹣λ, 令 g′(x)=0,得 x=eλ﹣1, 当 x 变化时,g′(x) ,g(x)变化情况列表如下: x (0,eλ﹣1) eλ﹣1 (eλ﹣1,+∞)
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g′(x) g(x)

﹣ 递减

0 极小值

+ 递增

∴g(x)min=g(x)极小值=g(eλ﹣1)=(λ﹣1)eλ﹣1﹣λ(eλ﹣1﹣1)=λ﹣eλ﹣1, ∴λ﹣eλ﹣1≥0, 记 G(λ)=λ﹣eλ﹣1,则 G′(λ)=1﹣eλ﹣1, 令 G′(λ)=0,得 λ=1, 当 λ 变化时,G′(λ) ,G(λ)变化情况列表如下: λ G′(λ) G(λ) (0,1) + 递增 1 0 极大值 (1,+∞) ﹣ 递减

∴G(λ)max=G(λ)极大值=G(1)=0, 故 λ﹣eλ﹣1≤0 当且仅当 λ=1 时取等号, 又 λ﹣eλ﹣1≥0,从而得到 λ=1; (3)先证 f(x)≥﹣x﹣e﹣2, 记 h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,则 h′(x)=lnx+2, 令 h′(x)=0,得 x=e﹣2, 当 x 变化时,h′(x) ,h(x)变化情况列表如下: x h′(x) h(x) (0,e﹣2) ﹣ 递减 e﹣2 0 极小值 (e﹣2,+∞) + 递增

∴h(x)min=h(x)极小值=h(e﹣2)=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0, h(x)≥0 恒成立,即 f(x)≥﹣x﹣e﹣2, 记直线 y=﹣x﹣e﹣2,y=x﹣1 分别与 y=a 交于( 不妨设 x1<x2,则 a=﹣ 从而 ,a) , ( ,a) ,

﹣e﹣2=f(x1)≥﹣x1﹣e﹣2,

<x1,当且仅当 a=﹣2e﹣2 时取等号, ﹣1=f(x2)≥x2﹣1,

由(2)知,f(x)≥x﹣1,则 a= 从而 x2≤

,当且仅当 a=0 时取等号, ﹣ =(a+1)﹣(﹣a﹣e﹣2)=2a+1+e﹣2,
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故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤

因等号成立的条件不能同时满足,故|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中 xOy 中,已知曲线 E 经过点 P(1, ) ,其参数方程为

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (α 为参数) , 以原点 O 为极点, (1)求曲线 E 的极坐标方程; (2)若直线 l 交 E 于点 A、B,且 OA⊥OB,求证: 求出这个定值. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)将点 P(1, ) ,代入曲线 E 的方程,求出 a2=3,可得曲线 E 的 + 为定值,并

普通方程,即可求曲线 E 的极坐标方程; (2)利用点的极坐标,代入极坐标方程,化简,即可证明结论. 【解答】解: (1)将点 P(1, 解得 a2=3, 所以曲线 E 的普通方程为 极坐标方程为 =1, =1; ) , ) ,代入曲线 E 的方程: ,

(2)不妨设点 A,B 的极坐标分别为 A(ρ1,θ) ,B(ρ2, 则代入曲线 E 的极坐标方程,可得 即 + 为定值 . + = = ,

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知 f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于 x 的不等式 f(x)<g(x)的 解集为 M. (1)若 a﹣3∈M,求实数 a 的取值范围;
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(2)若[﹣1,1]? M,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)将 x=a﹣3 代入不等式,解关于 a 的不等式即可; (2)得到|x+a|< 3 恒成立,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当 x∈[﹣1,1]时恒成立,求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)依题意有:|2a﹣3|<|a|﹣(a﹣3) , 若 a≥ ,则 2a﹣3<3,∴ ≤a<3, 若 0≤a< ,则 3﹣2a<3,∴0<a< , 若 a≤0,则 3﹣2a<﹣a﹣(a﹣3) ,无解, 综上所述,a 的取值范围为(0,3) ; (2)由题意可知,当 x∈[﹣1,1]时,f(x)<g(x)恒成立, ∴|x+a|<3 恒成立, 即﹣3﹣x<a<3﹣x,当 x∈[﹣1,1]时恒成立, ∴﹣2<a<2.

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