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我的高考数学错题本:我的高考数学错题本——第3章 函数易错题


我的高考数学错题本
第 3 章 函数易错题

易错点 1 求函数定义域时条件考虑不充分 【例 1】 求函数 y ?

1 3 ? 2x ? x
2

? ( x ? 1)0 的定义域.

2 【错解】由题意得 3 ? 2 x ? x ? 0 ,解得 ?3 ? x ? 1 ,所以原函数的定义域为 [?3,1] .

【错因】忽视分母不为零;误以为 ( x ? 1)0 =1 对任意实数成立.在求函数的定义域时应注意以下几点①分 式的分母不为零;②偶次根式被开方式非负;③对数的真数大于零;④零的零次幂没有意义;⑤函数的定 义域是非空的数集.

?3 ? 2 x ? x 2 ? 0 ??3 ? x ? 1 【正解】由题意得 ? ,解得 ? ,所以原函数的定义域为 ? ?3, ?1? ? ? ?1,1? . ?x ?1 ? 0 ? x ? ?1
【纠错训练】 (2015 湖北高考)函数 f ( x) ? 4? | x | ? lg A. (2, 3) B. (2, 4]

x 2 ? 5x ? 6 的定义域为( ) x ?3 C. (2, 3) ? (3, 4] D. (?1, 3) ? (3, 6]
x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,解 x ?3

【解析】由函数 y ? f ( x) 的表达式可知,函数 f ( x) 的定义域应满足条件: 4? | x |? 0 , 之得 ?2 ? x ? 2, x ? 2, x ? 3 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (2, 3) ? (3, 4] ,故应选 C .

易错点 2 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 【例 2】 已知函数 f ? x ? ? log3 x ? 2, x ??1,9? ,求函数 y ? ? f ?x?? ? f x 2 的值域.
2

? ?

【错解】 设 t ? log3 x , ? y ? t 2 ? 6t ? 6 , ? x ??1,9?,?t ??0,2? , ?t ??0, 2? , ?函数的值域是?6,22? . 【错因】求函数 y ? ? f ?x?? ? f x 2 定义域时,应考虑 ?
2

? ?

?1? x ? 9 . 2 ?1 ? x ? 9
2

【正解】因为 f ? x ? 的定义域为 ?1,9? , ?

?1 ? x ? 9 ?1 ? x ? 9
2
2

,解得 y ? ? f ?x?? ? f x 2 的定义域为 [1,3] ,
2

? ?

设 t ? log3 x ,? x ??1,3? ,?t ??0,1? ,? y ? t ? 6t ? 6 ,?t ??0,1? ,? 函数 y ? ? f ?x?? ? f x 2 的值 域为 ?6,13? . 【纠错训练】奇函数 f ( x ) )是定义在 (?1,1) 上的减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ? 0 ,求实数 a 的取值范 围.

? ?

【解析】由 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ? 0 ,得 f (1 ? a) ? ? f (2a ? 1) ∵ f ( x ) 是奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f (1 ? a) ? f (1 ? 2a)

? ?1 ? 1 ? a ? 1 ? 又∵ f ( x ) 是定义在 (?1,1) 上的减函数,∴ ? ?1 ? 1 ? 2a ? 1 ,解得 0 ? a ? 1 . ?1 ? a ? 1 ? 2a ?
即所求实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .

易错点 3 判断函数奇偶性时忽视定义域 【例 3】 判断函数 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 的奇偶性. 1? x

【错解】∵ f ( x) ? (1 ? x)

1? x 1? x = (1 ? x)2 ? 1 ? x 2 1? x 1? x
∴ f ( x) ? (1 ? x)

2 2 ∴ f ( ? x) ? 1 ? ( ? x) ? 1 ? x ? f ( x)

1? x 是偶函数 1? x

【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实 质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 【正解】 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 1? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 即函数的定义域是{ x | 有意义时必须满足 1? x 1? x

?1 ? x ? 1 } ,由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
【纠错训练】 (2015 高考北京,文 3)下列函数中为偶函数的是( A. y ? x2 sin x B. y ? x2 cos x ) D. y ? 2? x

C. y ? ln x

【解析】根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为 (0, ??) 不 具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选 B.
【知识点归类点拔】 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此在判断函数的奇偶性时一 定要先研究函数的定义域。 (2)函数

f ? x ? 具有奇偶性,则 f ? x ? ? f ? ?x ? 或 f ? x ? ? ? f ? ?x ? 是对定义域内

x 的恒等式。常常利用这一点求

解函数中字母参数的值。

易错点 4 求复合函数单调区间时忽视定义域 【例 4】 函数 y ? log0.5 (4 ? 3x ? x ) 的单调递增区间是______________.
2

2 【错解一】 ∵外层函数为减函数, 内层函数 u ? 4 ? 3x ? x 减区间为 [ , ??) , ∴原函数增区间为 [ , ??) . 2 2 【错解二】∵ 4 ? 3x ? x ? 0 ,函数定义域为 ? ?1, 4? ,又内层函数 u ? 4 ? 3x ? x 在 ( ?1, ] 为增函数,

3 2

3 2

3 2

在 [ , ??) 为减函数,∴原函数增区间为 ( ?1, ] . 【错因】解法一,基础不牢,忽视定义域问题;解法二,识记不好,对复合函数单调性法则不熟练.求复 合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域;②作出内层函数的图象;③用“同增异减”法则写单调区 间.解此类题通常会出现以下两类错误:一是忽视定义域;二是 “同增异减”法则不会或法则用错. 【正解】∵ 4 ? 3x ? x ? 0 ,函数定义域为 ? ?1, 4? ,外层函数为减函数,内层函数 u ? 4 ? 3x ? x 在
2 2

3 2

3 2

3 3 3 ( ?1, ] 为增函数,在 [ , 4) 为减函数,∴原函数增区间为 [ , 4) . 2 2 2
【纠错训练 1】 函数 y ? 5 ? 4 x ? x 2 的单调增区间是_________. 【解析】 y ? 5 ? 4 x ? x 2 的定义域是 [?5,1] ,又 g ( x) ? 5 ? 4x ? x2 在区间 [?5, ?2] 上增函数,在区间

[?2,1] 是减函数,所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区间是 [?5, ?2] .
【纠错训练 2】已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 【解析】 :∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u , u ? 2 ? ax 复合而成,又 a >0. ∴ u ? 2 ? ax 在[0,1]上是 x 的减函数,由复合函数关系知 y ? loga u 应为增函数, ∴ a >1,又由于 x 在[0,1]上时 y ? loga (2 ? ax) 有意义, u ? 2 ? ax 又是减函数,∴ x =1 时,



u ? 2 ? ax 取最小值是 u min ? 2 ? a >0 即可,∴ a <2 综上可知所求的取值范围是 1< a <2.

易错点 5 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论 【例 5】函数 f ( x) ? (m ?1) x2 ? 2(m ? 1) x ?1 的图象与 x 轴只有一个交点,求实数 m 的取值范围. 【错解】由 ? ? 0 解得 m ? 0或m ? ?3 . 【错因】知识残缺,分类讨论意识没有,未考虑 m ? 1 ? 0 的情况. 【正解】 (1)当 m ? 1 ? 0 时,即 m ? 1 , f ( x) ? 4 x ? 1 与 x 轴只有一个交点,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时, ? ? 4(m ? 1) ? 4 ? (?10) ? (m ?1) ? 0 ,解得 m ? 0或m ? ?3 ;
2

综上所述,实数 m 的取值范围是 ??3,0,1? . 【纠错训练】已知集合 A ? {x | ax ? 4 x ? 4 ? 0, x ? R, a ? R} 只有一个元素,求 a 的值与集合 A.
2

【解析】当 a=0 时,x=-1;当 a ? 0 时,?=16-4×4a=0,a=1,此时 x=-2. 综上所述: a=1 时,集合 A ={-2};a=0 时,集合 A={-1}. 易错点 6 用函数图象解题时作图不准 【例 6】 求函数 f ( x) ? x2 的图象与直线 f ( x) ? 2x 的交点个数. 【错解】两个. 【错因】忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响.我们在解题时应充分利用函数性质,画准图 形,不能主观臆造,导致图形“失真” ,从而得出错误的答案. 【正解】作图可得在区间 (?1, 0) 有一个交点,还有 (2, 4) , (4,16) 这两个交点,共三个. 【纠错训练 1】 (2015 高考湖南, 文 14) 若函数 f ( x) ?| 2x ? 2 | ?b 有两个零点, 则实数 b 的取值范围是_____.
x 【 解 析 】 由 函 数 f ( x) ? | 2 ? 2 |?b有 两 个 零 点 , 可 得 | 2x ? 2 |? b 有 两 个 不 等 的 根 , 从 而 可 得 函 数

y ?| 2x ? 2 | 函数 y ? b 的图象有两个交点,结合函数的图象可得, 0 ? b ? 2 ,故答案为: 0 ? b ? 2 .

【纠错训练 2】(2015 贵阳市高三上期末)函数 y ?

x3 的图象大致是( 3x ? 1



3 x 【解析】 由题意得,x ? 0 , 排除 A, 当 x ? 0 时,x ? 0 ,3 ? 1 ? 0 , ∴

x3 ? 0 ,排除 B,又∵ x ??? 3x ? 1

时,

x3 ? 0? ,排除 D,故选 C. x 3 ?1

易错点 7 忽视分段函数各段的取值范围 【例 7】已知函数 f ? x ? ? ?

?2?2 x , x ? ?1, ?2 x ? 2, x ? ?1,

,不等式 f ? x ? ? 2 的解集为



1 1 ;由 2 x ? 2 ?2 ,得 x ? 0 ,所以 f ? x ? ? 2 的解集为 (?? ? ] ? [0, ??) . 2 2 【错因】解第一个不等式时,忽略了“ x ? ?1 ”这个大前提.
【错解】由 2
?2 x

? 2 ,得 x ? ?

2 ?( ?2 ) 【 正 解 】 f ( ? 2 )? ? ,6 f 2 ? 24 ? 1

? f (?2)? ? 2 ?16 ? 2 ? 34 ; 由 ?

? x ? ?1 ?2
?2 x

?2

, 得 x ? ?1 , 由

? x ? ?1 ,得 x ? 0 ,所以不等式 f ? x ? ? 2 的解集为 ( ?? ? 1] ? [0, ??) . ? ? 2 x ? 2? 2
2 ? ? x ? x,x ? 0, 若 f ? f ? t ? ? ? 2 ,则实数 t 的取值范围是 2 ? x , x ? 0, ? ?

【纠错训练 1】设函数 f ? x ? ? ? A. ??. 2 ?

?

?

B. ? 2. ? ?

?

?

C. ? ??. ? 2?

D. ? ?2. ? ? ? 或?

【解析】 令 m ? f (t ) , 则 f (m) ? 2 , 则?

?m ? 0
2 ?m ? m ? 2

?m ? 0
2 ?? m ? 2

, 即? 2 ? m ? 0或m ? 0 , 即 m ? ?2 ;

则 f (t ) ? ?2 ,即 ?

?t ? 0
2 ?t ? t ? ?2

或?

?t ? 0
2 ? ? t ? ?2

,即 ? t ? 0 或 0 ? t ?

2 ,即 t ? 2 ,故选 A.

?? log x ( x ? 0) 2 ? 【纠错训练 2】 (2015 上海普陀区三模)已知函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f (x ) ? 0 的解 2 ?1 ? x ( x ? 0) ?
集为_____.
2 【解析】试题分析:当 x ? 0 时, ? log2 x ? 0 ? log2 1 ,解得 0 ? x ? 1; 当 x ? 0 时, 1 ? x >0 ,解得

? 1 ? x ? 0 ,所以不等式 f (x ) ? 0 的解集为 (?1,1) .

易错点 8 分段函数单调性问题,忽略分界点函数值的比较

?? 2 ? a ? x ? 1 x ? 1 【例 8】已知 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,求 a 的取值范围. ? x a x ? 1 ? ?
【错解】 要使得 f ( x ) 在 R 上是增函数, 则两个函数 y ? ? 2 ? a ? x ? 1 与 y ? a x 均为增函数, 所以 1 ? a ? 2 . 【错因】只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数,忽视 f ( x ) 在分界点附近函数值大小关系. 【正解】要使得 f ( x ) 在 R 上是增函数,则两个函数 g ( x) ? ? 2 ? a ? x ?1 与 h( x) ? a x 均为增函数,并且还

?2 ? a ? 0 3 ? ?3 要满足在 x ? 1 处,有 g (1) ? f (1) ,即 ? a ? 1 ,解得 ? a ? 2 ,所以 a 的取值范围是 ? , 2) . 2 ?2 ?2 ? a ? 1 ? a ?

【纠错训练】已知函数 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 在 R 是单调函数,则实数 a 的取值范围是 x ?1 ? loga x,



?3a ? 1 ? 0 ?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 ? 【解析】若函数 f ( x) ? ? 在 R 是单调递增函数,需满足 ?a ? 1 , x ?1 ? loga x, ?(3a ? 1) ? 1 ? 4a ? log 1 a ? ?3a ? 1 ? 0 ?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 ? 无解;若函数 f ( x) ? ? 在 R 是单调递减函数,需满足 ?0 ? a ? 1 ,解 x ?1 ? loga x, ?(3a ? 1) ? 1 ? 4a ? log 1 a ?


1 1 ?1 1 ? ? a ? ,所以实数 a 的取值范围是 ? , ? . 7 3 ?7 3 ?

易错点 9 误解“函数的零点”意义 【例 9 】 函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的零点是( A. ?1,0? 【错解】C 【错因】错误的原因是没有理解零点的概念,"望文生义",认为零点就是一个点.而函数的零点是一个 实数,即使 f ?x ? ? 0 成立的实数 x ,也是函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴交点的横坐标. 【正解】由 f ?x? ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 得, x =1 和 2,所以选 D. B. ?2,0? ) D.1,2

C. ?1,0? , ?2,0?

易错点 10 函数零点定理使用不当 【例 10】若函数 f ( x ) 在区间 [-2,2] 上的图象是连续不断的曲线,且 f ( x ) 在( -2,2 )内有一个零点,则

f (?2) ? f (2) 的值 (
A 大于 0 B 小于 0

) C 等于 0 D 不能确定

【错解】由函数零点存在定理知 f (?2) ? f (2) ? 0 ,故选 B. 【错因】没有正确理解函数零点的含义及存在性,若函数 f ( x ) 在(-2,2)内有一个零点,且该零点为“变 号零点” ,则 f (?2) ? f (2) ? 0 ,否则 f (?2) ? f (2) ? 0 .函数零点定理是指如果函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上 的图象是一条连续不断的曲线,并且有 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内有零点.函数零点 又分为“变号零点”和“不变号零点” ,函数零点定理仅适用于“变号零点” ,对“不变号零点”无能为力.

【正解】 f ( x ) 可能在端点处取得零点,即 f (?2) ? f (2) 可以等于 0; f ( x) ? x2 在 x ? 0 处取得零点,但

f (?2) ? f (2) ? 0 ; f ( x) ? x 在 x ? 0 处取得零点,但 f (?2) ? f (2) ? 0 ,故选 D.
【纠错训练】函数 f ? x ? ? x ? A.0 B.1

1 的零点个数为 x
C.2

( D.3



【解析】函数的定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? ,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 所以函数没 有零点.也可由 x ?

1 ? 0 得 x 2 ? 1 ? 0 方程无实数解. x

【错题纠正巩固】
1.判断函数

f ( x) ?

lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

的奇偶性.

2 ? ?1 ? x ? 0 解析:由函数的解析式知 x 满足 ? 即函数的定义域为 ? ?1,0? ? ? 0,1? 定义域关于原点对称,在定义域下 ? ? x ? 2 ? ?2

f ? x? ?

lg ?1 ? x 2 ? ?x

易证

f ? ?x ? ? ? f ? x ? 即函数为奇函数。

2.判断下列函数的奇偶性: ① f ? x? ?

4 ? x 2 ? x 2 ? 4 ② f ? x ? ? ? x ? 1?

1 ? sin x ? cos x 1? x ③ f ? x? ? 1 ? sin x ? cos x 1? x

解析:①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数


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