当前位置:首页 >> 理化生 >>

选修2-1第三章空间向量与立体几何


新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

第三章空间向量与立体几何教材分析 空间向量与立体几何教材分析 根据课程标准的设计思路, 对每一部分都有一个整体定位。 为了更好的把握空间向量与 立体几何这部分内容的要求, 首先需要明确整体定位。 标准对空间向量与立体几何这部分内 容的整体定位如下: “用空间向量处理立体几何问题,提供了新的视角。空间向量的引入,为解决三维空间 中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 在本模块中, 学生将在学习平面 向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关 系的问题, 体会向量方法在研究几何图形中的作用, 进一步发展空间想像能力和几何直观能 力。 ” 一、内容与课程学习目标 (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示。 ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量。 ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。 ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何 问题中的作用。 二、内容安排 本章包括 2 节,约需 9 课时,具体分配如下(仅供参考): 3 1 空间向量及其运算 约 6 课时 3 2 立体几何中的向量方法 约 3 课时 三、教学要求
王新敞
学案 新疆

王新敞
学案

新疆

空间向量的教学应引导学生运用类比的方法, 经历向量及其运算由平面向空间推广的过 程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中,可以鼓励学生灵活选择运用向量 方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题。 例如:如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G. (Ⅰ)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离. 本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想像能力和推理运算能力. 解法 1: (Ⅰ)连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠A1BG 是 A1B 与平面 ABD : 所成的角.

奎屯市第一高级中学

第1页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

条件: 条件: ①∠ACB=90°; ①∠ = ° ②侧棱 AA1=2; ; 上的射影是△ ③点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 选择适当位置建立坐标系 ∠EGB

确定 直三棱柱

底面 边长

用坐标描述所需要的点
z C1 B1

A1

向量 BE , BG

D E C G B y

重心 G 坐标

EG⊥DG ⊥
x

A

如图所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a, 则 A (2a,0,0),B (0,2a,0),D(0,0,1), A1(2a,0,2),E(a,a,1), G ( ∴ EG = ? ?

2a 2 a 1 , ,). 3 3 3

uuur

a 2 ? uuur ? 2a 2a 2? ? a , , ? , DG = ? ? ? , ,? ?. 3 3? 3? ? 3 ? 3 3

∵EG⊥DG, ∴ EG ? DG = ?

2 2 2 2 4 a ? a + = 0 ,解得 a=1. 9 9 9 uuu r 2 uuu r 4 1 又 BE = (1 , 1 , , BG = ( , , ) . - 1) - 3 3 3
A1

uuu uuur r

z C1 B1

2 4 1 uuur uuu r + + BA1 ? BG ∴ cos ∠A BG = uuur uuu = 3 3 3 = 7 . r 1 3 | BA1 | | BG | 21 2 3? 3
A1B 与平面 ABD 所成角是 arccos

D E K C B y

7 . 3

x

A

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).

uuu uuu r r AE ? ED = (?1 ,, ? (?1 , 1 , = 0 , 1 1) ? 0)

uuur uuu r AA1 ? ED = (0 , , ? (?1, 1, = 0 , 0 2) ? 0)
∴ ED⊥平面 AA1E,又 ED?平面 AED, ∴ 平面 AED⊥平面 AA1E,又面 AED I 面 AA1E=AE, ∴ 点 A1 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上. 设 AK = λ AE ,
奎屯市第一高级中学 第2页

uuur

uuu r

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

则 A1 K = A1 A + AK = ( ? λ , , ? 2) . λ λ 由 A1 K ? AE = 0 ,即λ+λ+λ-2=0, 解得 λ =

垂足 K 在哪儿?

垂足在 AE 上 条件

uuuu uuu r r

2 . 3 uuuu r 2 2 4 ∴ A1 K = ( ? , , ) . ? 3 3 3
∴ | A1 K |=

怎样确定 K

uuuu uuu r r A1 K ? AE = 0
设 K 的坐标

如何设定 K

uuuu r

2 6 2 6 .故 A1 到平面 AED 的距离为 . 3 3

uuur uuu r AK = λ AE

四、重、难点的分析 教学重点是: ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程, 使学生了解空间向量的概念, 掌握空间向量 的几何表示法和字母表示法,掌握空间向量的加减运算及其运算律. ②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量、共面向量的意义,掌握 它们的表示方法,并能理解共线向量定理(不要求学生会证明此定理)和共面向量定理及其 推论 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. ③了解两个向量的数量积(或称内积、点积)的计算方法及其应用. ④了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示,并会在简单 问题中选用空间三个不同向量 作为基底表示其它向量. ⑤掌握空间向量的坐标运算规律,理解直线的方向向量与平面的法向量,理解平行、共线向 量坐标间的关系式,会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直,掌握向量长度公式、两 向量的夹角公式、空间两点间的距离公式,并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹 角的计算问题及简单立体几何问题. ⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法, 体会向量方法在研究几何问题中的作 用. 教学的难点是: ①空间向量的基本定理 ②如何将立体几何问题转化为向量的计算问题

奎屯市第一高级中学

第3页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

第 1 课时 § 3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算 教学要求:理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量加法、减法、数 : 乘向量及它们的运算律;能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律. : 教学难点:由平面向量类比学习空间向量. : 教学过程: : 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识:什么叫做向量?向量是怎样表示的呢? r r 既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:用有向线段表示;用字母 a 、 b 等表 示; uuur 用有向线段的起点与终点字母: AB .长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算: 向量的加法: 向量的减法: 实数与向量的积: r r r r 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,其长度和方向规定如下:|λ a |=|λ|| a | (2) v r r r r r 当 λ>0 时,λ a 与 a 同向; 当 λ<0 时,λ a 与 a 反向; 当 λ=0 时,λ a = 0 . r r r r 3. 向量的运算运算律:加法交换律: a + b = b + a 4. 三个力都是 200N,相互间夹角为 60°,能否提起一块重 500N 的钢板? 二、新课讲授 1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量. 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量 模. → 举例? 表示? (用有向线段表示)记法? → 零向量? 单位向量? 相反向量? → 讨论:相等向量? 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. → 讨论:空间任意两个向量是否共面? 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样: uuu uuu uuu r r r r r OB = OA + AB = a + b , uuu uuu uuu r r r AB = OB ? OA (指向被减向量) , uuuu r r OP = λ a (λ ∈ R ) (请学生说说数乘运算的定义?) 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律. r r r r ⑴加法交换律: a + b = b + a ; r r r r r r ⑵加法结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ); ; r r r r ⑶数乘分配律:λ( a + b ) =λ a +λ b ; r r ⑶数乘结合律:λ(u a ) =(λu) a . uuuur uuuuu uuuuu r r uuuuuur uuuur 4. 推广:⑴ A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An ?1 An = A1 An ; uuuur uuuuu uuuuu r r uuuuuur uuuur r ⑵ A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An ?1 An + An A1 = 0 ;⑶空间平行四边形法则. 5. 出示例:已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱) ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) , 化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量: uuur uuur uuur uuuu uuuu r r ⑴ AB + BC ; ⑵ AB + AD + AA '; uuuur uuuur 1 uuuuu r r r 1 uuur uuuu uuuu (3) AB + AD + CC ' ; ⑷ ( AB + AD + AA ' ). 2 3 师生共练 → 变式训练 6. 练习:课本 P92 7. 小结:概念、运算、思想(由平面向量类比学习空间向量) 三、巩固练习: 作业:P106 A 组 1、2 题.

奎屯市第一高级中学

第4页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

空间向量的数乘运算( 第 2 课时 §3.1.2 空间向量的数乘运算(二) 教学要求:了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法;理解共线向量定理及其推论;掌握 : 空间直线的向量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题. 教学重点:空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式. : 教学过程: : 一、复习引入 r r 1. 回顾平面向量向量知识:平行向量或共线向量?怎样判定向量 b 与非零向量 a 是否共 线? 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量 由于任何一组平行向量都可以平移到同一条 平行向量. 平行向量 直线上,所以平行向量也叫做共线向量 共线向量. 共线向量 r r r r 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使 b =λ a .称平面向量共线 定理, 二、新课讲授 1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这 r r r r 些向量叫做共线向量 平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 共线向量或平行向量 共线向量 平行向量. 2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: r r r r r r 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠0) a // b 的充要条件是存在实数 λ,使 a 空间任意两个向量 ) , , r =λ b . r r r r r ,则有 b = λ a ,其 理解:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 a ∥ b ( a ≠0) r r r r 中 λ 是唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数 λ ,使 b = λ a ( a ≠0) ,则有 a ∥ r r r r r r r b (若用此结论判断 a 、 b 所在直线平行,还需 a (或 b )上有一点不在 b (或 a )上). r r r r r r ⑵对于确定的 λ 和 a ,b = λ a 表示空间与 a 平行或共线, 长度为 | λ a |,当 λ >0 时与 a r 同向,当 λ <0 时与 a 反向的所有向量. r 3. 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 的直线, 如果 , uuur uuur r 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP = OA + t a .

uuur r l//a ,∴ 对于 l 上任意一点 P,存在唯一的实数 t,使得 AP = t a .(*) uuur uuur uuur 又∵ 对于空间任意一点 O,有 AP = OP ? OA , uuur uuur uuur uuur r r ∴ OP ? OA = t a , OP = OA + t a . ① uuur r uuur uuur uuur 若在 l 上取 AB = a ,则有 OP = OA + t AB .(**) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 又∵ AB = OB ? OA ∴ OP = OA + t (OB ? OA ) = (1 ? t )OA + tOB .② uuur 1 uuur uuur 1 当 t = 时, OP = (OA + OB ) .③ 2 2 理解:⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式 空间直线的向量参数表示式,③式是线段的中点公式 中点公式.事 空间直线的向量参数表示式 中点公式 实上,表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础,也是直线参数方程的表达形式. ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的,可以据此记忆这两个公式. ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定. A 空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,
∵ 是平面向量相关知识的推广. 4. 出示例 1: 用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平 行四边形. ( 分析:如何用向量方法来证明?) 5. 出示例 2:如图 O 是空间任意一点,C、D 是线段 AB 的三等分点,分 uuu uuu r r uuur uuur 别用 OA 、 OB 表示 OC 、 OD . 三、巩固练习: 作业: C D B
O

其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 方向向量. 方向向量 推论证明如下:

r

奎屯市第一高级中学

第5页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

空间向量的数乘运算( 第 3 课时 §3.1.2 空间向量的数乘运算(三) 教学要求:了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;理解 : 共面向量定理及其推论; 掌握点在已知平面内的充要条件; 会用上述知识解决立几中有关的 简单问题. 教学重点:点在已知平面内的充要条件. : 教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用. : 教学过程: : 一、复习引入 1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线 的向量表示式、中点公式. 2. 必修④《平面向量》 ,平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理:如果 e1、e2 是同 一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量 a,有且只有一对实数 λ1、 λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.其中不共线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 基底. 基底 二、新课讲授 1. 定义:如果表示空间向量 a 的有向线段所在直线与已知平面 α 平行或在平面 α 内,则称 如果表示空间向量 向量 a 平行于平面 α,记作 a//α. , . 向量与平面平行, 向量所在的直线可以在平面内, 而直线与平面平行时两者是没有公共点 的. 2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内的,但可 平行于同一平面的向量叫做共面向量. 平行于同一平面的向量叫做共面向量 以平移到同一平面内. 3. 讨论:空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明. 结论:空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如:对于空间四边形 uuur uuuu uuuu r r ABCD, AB 、 AC 、 AD 这三个向量就不是共面向量. 4. 讨论:空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢? 5. 得出共面向量定理 如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共 共面向量定理:如果两个向量 、 不共线, 共面向量定理 、 p= xa+yb . 面的充要条件是存在实数对 x,y,使得 , , 证明:必要性:由已知,两个向量 a、b 不共线. ∵ 向量 p 与向量 a、b 共面 ∴ 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对 x,y,使得 p= xa+yb. 充分性:如图,∵ xa,yb 分别与 a、b 共线, ∴ xa,yb 都在 a、b 确定的平面内. 又∵ xa+yb 是以|xa|、|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且 此平行四边形在 a、b 确定的平面内, ∴ p= xa+yb 在 a、b 确定的平面内,即向量 p 与向量 a、b 共面. 说明:当 p、a、b 都是非零向量时,共面向量定理实际上也是 p、a、b 所在的三条直线共 、 、 、 、 面的充要条件, 但用于判定时, 还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平 面内. 6. 共面向量定理的推论是:空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x,y, 空间一点 ,, uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuur uuuu r uuuu r ① ② , 有 OP = OM + xMA + yMB . 使得 MP = xMA + yMB , 或对于空间任意一定点 O, uuuur uuuuur uuuur uuuuu r 分析:⑴推论中的 x、y 是唯一的一对有序实数; ⑵由 OP = OM + xMA + yMB 得: uuuur uuuuur uuuu uuuuur r uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuu r uuuur OP = OM + x(OA ? OM ) + y (OB ? OM ) , ∴ OP = (1 ? x ? y )OM + xOA + yOB ③ 公式①②③都是 P、M、A、B 四点共面的充要条件. 7. 例题:课本 P95 例 1 ,解略. → 小结:向量方法证明四点共面 三、巩固练习 1. 练习:课本 P96 练习 3 题. 2. 作业:课本 P96 练习 2 题.

奎屯市第一高级中学

第6页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

第 4 课时 §3.1.3 空间向量的数量积运算 教学要求:掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;掌握两个向量数量积的概念、性质和 计算方法及运算律; 掌握两个向量数量积的主要用途, 会用它解决立体几何中的一些简单问 题. 教学重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用. : 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. : 教学过程: : 一、复习引入 1.复习平面向量数量积定义: 2. 平面向量中有两个平面向量的数量积,与其类似,空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授 1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量 a 与 b,在空间 uuu r uuu r 中任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的 夹角,记作<a,b>. 说明:⑴规定: 0 ≤ <a,b> ≤ π . 当<a、b>=0时,a 与 b 同向; 当<a、b>=π 时,a 与 b 反向; 时,称 a 与 b 垂直,记 a⊥b. 2 ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且<a,b>=<b,a>. ⑶ 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的. ②<a,b> ≠ (a,b) 2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量 a 与 b,|a||b|cos<a、b>叫做向量 a、b 的数 向量 、 量积,记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos<a,b>. 量积 说明:⑴零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0; ⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. uuur 几何意义:已知向量 AB =a 和轴 l,e 是 l 上和 l 同方向的单位向量.作点 A 在 l 上的射影 uuuuu r uuur A′,点 B 在 l 上的射影 B′,则 A ' B ' 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 方向上的正射影 方向上的正射影,简称射 向量 射 uuur 影.可以证明: A ' B ' =| AB |cos<a,e>=a·e.说明:一个向量在轴上的投影的概念, 就是 a·e 的几何意义. 3. 空间数量积的性质:根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下 性质: ⑴a·e=|a|·cos<a,e>; ⑵a⊥b ? a·b=0 ⑶当 a 与 b 同向时,a·b=|a|·|b|; 当 a 与 b 反向时,a·b=-|a|·|b|. 特别地,a·a=|a|2 或|a|= a ? a = a 2 . a ?b ⑷cos<a,b>= ; ⑸|a·b|≤|a|·|b|. a?b 4. 空间向量数量积的运算律: 与平面向量的数量积一样, 空间向量的数量积有如下运算律: ⑴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (数乘结合律); ⑵ a·b=b·a (交换律); ⑶a·(b+c)=a·b+a·c (分配律) 说明:⑴(a·b)c≠a(b·с) ;⑵有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)2=a2+2a·b+b2 5. 教学例题:课本 P98 例 2、例 3(略) 三、巩固练习 作业:课本 P101 例 4 当<a、b>=

π

奎屯市第一高级中学

第7页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

第 5 课时 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学要求: 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 掌握空间向量的坐标 : 运算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直. 教学重点:空间向量基本定理、向量的坐标运算. : 教学难点:理解空间向量基本定理. : 教学过程: : 一、新课引入 1. 回顾:平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算, 2. 复习:平面向量基本定理. 二、讲授新课 r 1. 类比:由平面向量的基本定理,对平面内的任意向量 a ,均可分解为不共线的两个向量 uu r uu r r uu r uu r uu uu r r λ1 a1 和 λ2 a2 ,使 a = λ1 a1 + λ2 a2 . 如果 a1 ⊥ a2 时,这种分解就是平面向量的正交分解. 如果 uu uu r r rr 取 a1 , a2 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量 i, j ,则存在一对实数 x、y,使得 r r r r a = xi + y j ,即得到平面向量的坐标表示 a = ( x, y ) . 推广到空间向量,结论会如何呢? r uu r uu r (1)空间向量的正交分解 空间向量的正交分解:对空间的任意向量 a ,均可分解为不共面的三个向量 λ1 a1 、λ2 a2 、 空间向量的正交分解 uu r r uu r uu r uu r uu uu uu r r r λ3 a3 ,使 a = λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 . 如果 a1 , a2 , a3 两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分 解. r rr u r (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在有序实数 r rr u r r r r r rr 组 {x, y, z} ,使得 p = xa + yb + zc . 把 {a, b, c} 叫做空间的一个基底(base) a, b, c 都叫做基 , 向量. 2. 单位正交基底:如果空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为 1, 则这个基底叫做单位正交基底 单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 单位正交基底 单位——三个基向量的长度都为 1;正交——三个基向量互相垂直. 选取空间一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k} ,以点 O 为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向建立三条坐标轴: 轴、 轴、 轴, x y z 得到空间直角坐标系 O-xyz, 空间直角坐标系 3. 空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i、j、k 为 坐标向量,则存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使 a= a1 i+ a2 j+ a3 k. 空间中相等的向量其坐标是相同的. →讨论: 向量坐标与点的坐标的关系? 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 uuur uuur uuur AB = OB - OA = ( x2 , y2 , z2 ) - ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 4. 向量的直角坐标运算:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; ⑶λa= (λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ ∈ R ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑷a·b= a1b1 + a2 b2 + a3b3

证明方法:与平面向量一样,将 a= a1 i+ a2 j+ a3 k 和 b= b1 i+ b2 j+ b3 k 代入即可. 5. 两个向量共线或垂直的判定:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a//b ? a=λb ? a1 = λ b1 , a2 = λ b2 , a3 = λ b3 , (λ ∈ R ) ?

a1 a2 a3 = = ; b1 b2 b3

⑵a⊥b ? a·b=0 ? a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 . 6. 练习:已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b.解:略. 7. 出示例:课本 P101 例 4 . (解略) 三、巩固练习 作业:课本 P102 练习 2、3 题 .

奎屯市第一高级中学

第8页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

空间向量运算的坐标表示(夹角和距离公式) 第 6 课时 §3.1.5 空间向量运算的坐标表示(夹角和距离公式) 教学要求:掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并会用 : 这些公式解决有关问题. 教学重点:夹角公式、距离公式. : 教学难点:夹角公式、距离公式的应用. : 教学过程: : 一、复习引入 1. 向量的直角坐标运算法则:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; ⑶λa= (λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ ∈ R ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑷a·b= a1b1 + a2 b2 + a3b3

上述运算法则怎样证明呢?(将 a= a1 i+ a2 j+ a3 k 和 b= b1 i+ b2 j+ b3 k 代入即可) 2. 怎样求一个空间向量的坐标呢?(表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐 标. ) 二、新课讲授 ⒈ 向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,求这两个向量的模.
2 2 2 |a|= a12 + a2 + a3 ,|b|= b12 + b2 + b32 .这两个式子我们称为向量的长度公式 向量的长度公式. 向量的长度公式

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度. 2. 夹角公式推导:∵ a·b=|a||b|cos<a,b> ∴
2 2 2 a1b1 + a2 b2 + a3b3 = a12 + a2 + a3 · b12 + b2 + b32 ·cos<a,b>

由此可以得出:cos<a,b>=

a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 2 a + a2 + a3 b12 + b2 + b32 2 1

这个公式成为两个向量的夹角公式 两个向量的夹角公式.利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角,并 两个向量的夹角公式 可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系: 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 同向;当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 反向; 当 cos<a、b>=0 时,a⊥b. 3. 两点间距离共识:利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式 空间两点间的距离公式: 空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A、B = ( x2 ? x1 )2 + ( y1 ? y2 )2 + ( z1 ? z2 )2 ,其中 d A、B 表示 A 与 B 两点间的距离.
3. 练习:已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求:⑴线段 AB 的中点坐标和长度;⑵到 A、B 两点距 3 离相等的点 P ( x, y, z ) 的坐标 x、 z 满足的条件. y、 (答案: (2, ,3); 29 ; x + 6 y ? 8 z + 7 = 0 ) 4 2 uuuur 1 uuur uuur x + x2 y1 + y2 z1 + z2 说明:⑴中点坐标公式 OM = (OA + OB ) = ( 1 中点坐标公式: , , ); 中点坐标公式 2 2 2 2 ⑵中点 p 的轨迹是线段 AB 的垂直平分平面.在空间中,关于 x、y、z 的三 元一次方程的图形是平面. AB 4. 出示例 5: 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,B1 E1 = D1 F1 = 1 1 , BE1 求 4 与 DF1 所成的角的余弦值. 分析:如何建系? → 点的坐标? → 如何用向量运算求夹角? → 变式:课本 P104、 例6 5. 用向量方法证明:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行 如果两条直线同垂直于一个平面, 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行. 三.巩固练习 作业:课本 P105 练习 3 题.

奎屯市第一高级中学

第9页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

课时: 立体几何中的向量方法( 第 7 课时: §3.2 立体几何中的向量方法(一) 教学要求:向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能 解简单的立体几何问题. 教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用. : 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. : 教学过程: : 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是: ⑴如何把已知的几何条件 (如 线段、角度等)转化为向量表示; ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表 式; ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算,才能获得需要的结论? 2. 通法分析:利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢? r r a ⑴利用定义 a·b=|a||b|cos<a,b>或 cos<a,b>= r ? br ,可求两个向量的数量积或夹角
a ? b

问题; ⑵利用性质 a⊥b ? a·b=0可以解决线段或直线的垂直问题; ⑶利用性质 a·a=|a|2,可以解决线段的长或两点间的距离问题. 二、例题讲解 1. 出示例 1:已知空间四边形 OABC 中, OA ⊥ BC , OB ⊥ AC .求证: OC ⊥ AB . uuuu uuur uuuu uuur uuur r r uuuu uuur uuuu uuur r r 证明: OC · AB = OC ·(OB ? OA ) = OC ·OB - OC ·OA . uuur uuur uuur uuuu r ∵ OA ⊥ BC , OB ⊥ AC , ∴ OA ·BC = 0 , OB · AC = 0 , uuur uuuu uuur r uuur uuuu uuur r OA ·(OC ? OB ) = 0 , OB ·(OC ? OA ) = 0 . uuur uuuu uuur uuur uuur uuuu uuur uuur r r ∴ OA ·OC = OA ·OB , OB ·OC = OB ·OA . uuuu uuur uuuu uuur uuuu uuur r r r ∴ OC ·OB = OC ·OA , OC · AB =0. ∴ OC ⊥ AB 线段 BD⊥AB, 线段 DD ' ⊥ α , 2. 出示例 2: 如图, 已知线段 AB 在平面 α 内, 线段 AC ⊥ α , ∠DBD ' = 30o ,如果 AB=a,AC=BD=b,求 C、D 间的距离. 解:由 AC ⊥ α ,可知 AC ⊥ AB . uuu uuuu r r 由 ∠DBD ' = 30o 可知,< CA , BD >= 120o , uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu uuur r uuu uuuu r r ∴ | CD |2 = (CA + AB + BD ) 2 = | CA |2 + | AB |2 + | BD |2 + 2( CA · AB + CA ·BD + uuur uuuu r AB ·BD ) = b 2 + a 2 + b 2 + 2b 2 cos120o = a 2 + b 2 . ∴ CD = a 2 + b 2 . 3. 出示例 3:如图,M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的 棱 BB ' 、 B ' C ' 的中点.求异面直线 MN 与 CD ' 所成的角. uuuur 1 uuuur uuur uuuur uuuur uuuu r 解:∵ MN = (CC ' + BC ) , CD ' = CC ' + CD , 2 uuuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuu r uuur uuuur 1 uuuur uuur 1 ∴ MN ·CD ' = (CC ' + BC ) · (CC ' + CD ) = ( | CC ' |2 + CC ' CD + BC ·CC ' + 2 2 uuur uuuu r BC ·CD ). uuuur uuuu r uuur uuuur uuur uuuu r ∵ CC ' ⊥ CD , CC ' ⊥ BC , BC ⊥ CD ,∴ CC ' CD = 0 , BC ·CC ' = 0 , BC ·CD = 0 , uuuur uuuur 1 uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur 1 1 ∴ MN ·CD ' = | CC ' |2 = . …求得 cos< MN ,CD ' > = ,∴< MN ,CD ' >= 60o . 2 2 2 4. 小结:利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示式,并用已知向量 表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明. 三、巩固练习 作业:课本 P116 练习 1、2 题.

奎屯市第一高级中学

第 10 页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

课时: 立体几何中的向量方法( 第 8 课时: §3.2 立体几何中的向量方法(二) 教学要求:向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能 解简单的立体几何问题. 教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用. : 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. : 教学过程: : 一、复习引入 讨论:将立体几何问题转化为向量问题的途径? (1)通过一组基向量研究的向量法,它利用向量的概念及其运算解决问题; (2)通过空间直角坐标系研究的坐标法,它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问 题. 二、例题讲解 1. 出示例 1: 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 BB1 、

uuur uuuu r 证明:不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度,且设 DA =i,DC = uuuur j, DD1 =k.以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 D-xyz,则 uuuu r uuuur uuuu uuuur r 1 1 ∵ AD =(-1,0,0),D1 F =(0, ,-1), AD ·D1 F =(-1,0,0)· ∴ (0, ,-1)=0, D1 F ⊥ AD. ∴ 2 2 uuur uuur uuuur 1 1 1 ∴ D1 F ⊥ AE. 又 AE =(0,1, ),∴ AE · D1 F =(0,1, )·(0, ,-1)=0, 2 2 2 又 AD I AE = A , ∴ D1 F ⊥ 平面 ADE. 说明:⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧,通常可用于设定某些与题目要求无关 的一些数据,以使问题的解决简单化.如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线 与平面的位置关系时,可以约定一些基本的长度.⑵空间直角坐标些建立,可以选取任意一 点和一个单位正交基底,但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征,把它们放在 恰当的位置,才能方便计算和证明. 2. 出示例 2:课本 P116 例 3 分析:如何转化为向量问题?进行怎样的向量运算? 3. 出示例 3:课本 P118 例 4 分析:如何转化为向量问题?进行怎样的向量运算? 4. 出示例 4:证:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行. 改写为:已知:直线 OA⊥平面 α,直线 BD⊥平面 α,O、B 为垂足.求证:OA//BD. 证明: 以点 O 为原点, 以射线 OA 为非负 z 轴, 建立空间直角坐标系 O-xyz, uuuu r i,j,k 为沿 x 轴,y 轴,z 轴的坐标向量,且设 BD = ( x, y, z ) . uuuu r uuuu r ∵BD⊥α, ∴ BD ⊥i, BD ⊥j, uuuu r uuuu r ∴ BD ·i= ( x, y, z ) ·(1,0,0)=x=0, BD ·j= ( x, y, z ) ·(0,1,0)=y=0, uuuu r uuuu r uuuu r ∴ BD =(0,0,z).∴ BD =zk.即 BD //k.由已知 O、B 为两个不同的点,∴OA//BD. 5. 法向量定义: 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α, 则称这个向量垂直于平 向量垂直于平 面 α,记作 a⊥α.如果 a⊥α,那么向量 a 叫做平面 α 的法向量 平面 的法向量. 6. 小结: 向量法解题“三步曲”(1)化为向量问题 →(2)进行向量运算 →(3)回到图形问题 : 化为向量问题 回到图形问题. 化为向量问 进行向量运算 回到图形问题 三、巩固练习 作业:课本 P120、 习题 A 组 1、2 题.

CD 的中点,求证: D1 F ⊥ 平面 ADE.

奎屯市第一高级中学

第 11 页

新课标 人教版 高中数学

选修 2-1 第三章

空间向量与立体几何

王新敞

课时: 立体几何中的向量方法( 第 9 课时: §3.2 立体几何中的向量方法(三) 教学要求:向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能 解简单的立体几何问题. 教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用. : 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. : 教学过程: : 一、复习引入 r r 1. 法向量定义:如果直线 l ⊥ 平面α , 取直线 l 的方向向量为 a ,则向量 a 叫作平面α的法 向量(normal vectors). 利用法向量,可以巧妙的解决空间角度和距离. 2. 讨论:如何利用法向量求线面角? → 面面角? uuu r 直线 AB 与平面α所成的角 θ ,可看成是向量 AB 所在直线与平面α的法向量 n 所在直 线夹角的余角, 从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角, 根 r r r r ab 公式: 据两个向量所成角的余弦公式 cos a, b = r r ,我们可以得到如下向量法的公式 公式 a b
uuu r AB uuu r r sin θ = cos AB , n = uuu r AB r n r . n

3. 讨论:如何利用向量求空间距离? 两异面直线的距离,转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长. 点到平面的距离,转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长. 二、例题讲解: 1. 出示例 1:长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AD= AA1 =2,AB=4,E、F 分别是 A1 D1 、AB 的中 , 点,O 是 BC1与B1C 的交点. 求直线 OF 与平面 DEF 所成角的正弦. 解:以点 D 为空间直角坐标系的原点,DA、DC、 DD1 为坐标轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. 则 D (2, 2,0), E (1,0, 2), F (2, 2,0), O (1, 4,1), C (0, 4,0) . r 设平面 DEF 的法向量为 n = ( x, y, z ) , r uuur uuur uuur ?n ⊥ DE ? 则 ? r uuur , 而 DE = (1,0, 2) , DF = (2, 2,0) . ?n ⊥ DF ? r uuur r ?n DE = 0 ?x + 2z = 0 ? ∴ ? r uuur ,即 ? , 解得 x : y : z = ?2 : 2 :1 , ∴ n = ( ?2, 2,1) . ?2 x + 2 y = 0 ?n DF = 0 ? r uuur r uuur uuur ∵ n ? OF =| n || OF | cos α , 而 OF = (1, ?2, ?1) . r uuu r n ? OF ?2 × 1 + 2 × (?2) + 1 × (?1) 7 6 uuur = ∴ cos α = r =? 2 2 2 2 2 18 | n | ? | OF | (?2) + 2 + 1 1 + (?2) + (?1)

7 6 . 18 2. 变式: 用向量法求:二面角 A1 ? DE ? O 余弦;OF 与 DE 的距离;O 点到平面 DEF 的距 离. 三、巩固练习 作业:课本 P121、 习题 A 组 5、6 题.
所以,直线 OF 与平面 DEF 所成角的正弦为

奎屯市第一高级中学

第 12 页


相关文章:
高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含....doc
高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)(精华版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)(...
选修2-1第三章空间向量与立体几何.doc
选修2-1第三章空间向量与立体几何 - 新课标 人教版 高中数学 选修 2-1 第三章 空间向量与立体几何 王新敞 第三章空间向量与立体几何教材分析 空间向量与立体...
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案2[1].doc
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案2[1] - 课 题:空间向量及其线性运算
【精选】高中数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何-数学.doc
【精选】高中数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何-数学 - 数学、高中数学、
选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》.doc
选修2-1 第三章空间向量与立体几何》_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1 第三章空间向量与立体几何》 一、本章知识结构 二、典型问题 设平面 ...
选修2-1:第三章空间向量与立体几何复习_图文.ppt
选修2-1:第三章空间向量与立体几何复习 - 第3章 空间向量与立体几何复习 中
选修2-1 第三章 空间向量与立体几何知识点(推荐).doc
选修2-1 第三章 空间向量与立体几何知识点(推荐)_数学_高中教育_教育专区。
选修2-1第三章+空间向量与立体几何.doc
选修2-1第三章+空间向量与立体几何 - 有德教育 空间向量与立体几何 一、选择
选修2-1第三章空间向量与立体几何.doc
选修2-1第三章空间向量与立体几何 - 1、例 1 在正方体 ABCD ? A1
高中数学人教a版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.....doc
高中数学人教a版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1、3.1.2
...数学-高二选修2-1-第三章__空间向量与立体几何-3.2_....ppt
人教A版-数学-高二选修2-1-第三章__空间向量与立体几何-3.2_空间几何_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。 第三章 空间向量与立 体几何 3.2 立体几何...
高中数学人教a版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.....doc
高中数学人教a版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 含答案 -
...人教a版高二选修2-1_第三章_空间向量与立体几何_3.1....doc
高中数学人教a版高二选修2-1_第三章_空间向量与立体几何_3.1.3 有答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教 a 版高二选修 2-1_第三章_空间向量与立体几何...
...高中数学选修2-1导学案:第三章空间向量与立体几何复....doc
重庆市人教版高中数学选修2-1导学案:第三章空间向量与立体几何复习 - 第三章空间向量与立体几何复习 设计者:曾刚 审核者: 执教: 使用时间: 学习目标 1.掌握...
选修2-1第三章空间向量与立体几何测试(含解析答案).doc
选修2-1第三章空间向量与立体几何测试(含解析答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修2-1第三章空间向量与立体几何测试(含解析答案) ...
选修2-1第三章 空间向量与立体几何 章末知识整合.doc
选修2-1第三章 空间向量与立体几何 章末知识整合 - 一、空间向量的线性运算
...数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1....doc
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3
高中数学人教a版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.....doc
高中数学人教a版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.2第3课时 含答案
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几_知识点+习题+答案.doc
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几_知识点+习题+答案 - 空间向量与立体几何 1、空间向量的概念: ?1? 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量. ? 2 ?...
数学选修2-1《第三章空间向量与立体几何》本章归纳整合....ppt
数学选修2-1第三章空间向量与立体几何》本章归纳整合 - 本章归纳整合 知识网
更多相关标签: