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2014数学复习题

2013 年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题: (共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确的字 母填涂在答题卡上相应的位置. 1. (4 分) (2013?凉山州)﹣2 是 2 的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.算术平方根 2. (4 分) (2013?凉山州)你认为下列各式正确的是( 2 2 3 3 A.a =(﹣a) B.a =(﹣a) ) 2 2 C.﹣a =|﹣a |

D.a3=|a3| )

3. (4 分) (2010?成都)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的形状是(

A.圆柱

B.圆锥
a+1 3

C.圆台 y 与

D.长方体 )

4. (4 分) (2013?凉山州)如果单项式﹣x A.a=2,b=3

是同类项,那么 a、b 的值分别为( C.a=1,b=3 )

B.a=1,b=2

D.a=2,b=2

5. (4 分) (2005?福州)如果代数式 A.x≥0 B.x≠1

有意义,那么 x 的取值范围是( C.x>0

D.x≥0 且 x≠1 ) D.

6. (4 分) (2013?凉山州)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A. B. C.

7. (4 分) (2013?凉山州)已知方程组 A.﹣1 B.0

,则 x+y 的值为( C .2

) D.3

8. (4 分) (2013?凉山州)下列说法中: ① 邻补角是互补的角; ② 数据 7、1、3、5、6、3 的中位数是 3,众数是 4; ③ |﹣5|的算术平方根是 5; ④ 点 P(1,﹣2)在第四象限, 其中正确的个数是( ) A .0 B.1

C .2

D.3 )

9. (4 分) (2013?凉山州)如图,菱形 ABCD 中,∠ B=60°,AB=4,则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为(

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A.14

B.15

C.16

D.17

10. (4 分) (2013?凉山州)已知⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别为 2cm 和 3cm,圆心距 O1O2 为 5cm,则⊙ O1 和⊙ O2 的位置关 系是( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 11. (4 分) (2013?凉山州)如图,∠ 3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证 ∠ 1 的度数为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

12. (4 分) (2013?凉山州)如图,正比例函数 y1 与反比例函数 y2 相交于点 E(﹣1,2) ,若 y1>y2>0,则 x 的取 值范围在数轴上表示正确的是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13. (4 分) (2013?凉山州)截止 5 月初,受 H7N9 禽流感的影响,家禽养殖业遭受了巨大的冲击,最新数据显示, 损失已超过 400 亿元,用科学记数法表示为 _________ 元. 14. (4 分) (2001?宁夏)购买一本书,打八折比打九折少花 2 元钱,那么这本书的原价是 _________ 元. 15. (4 分) (2011?福州)化简 的结果是 _________ .

16. (4 分) (2013?凉山州)如图,Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC=8,BC=6,两等圆⊙ A,⊙ B 外切,那么图中两个扇形 (即阴影部分)的面积之和为 _________ .

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17. (4 分) (2013?凉山州)已知实数 x,y 满足 是 _________ .

,则以 x,y 的值为两边长的等腰三角形的周长

三、解答题: (共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分) 18. (6 分) (2013?凉山州)计算: .

19. (6 分) (2013?凉山州)已知 x=3 是关于 x 的不等式

的解,求 a 的取值范围.

四、解答题: (共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 20. (8 分) (2013?凉山州)某车队要把 4000 吨货物运到雅安地震灾区(方案定后,每天的运量不变) . (1)从运输开始,每天运输的货物吨数 n(单位:吨)与运输时间 t(单位:天)之间有怎样的函数关系式? (2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运 20%,则推迟 1 天完成任务,求原计划完成任务的天数. 21. (8 分) (2013?凉山州)如图,△ ABO 与△ CDO 关于 O 点中心对称,点 E、F 在线段 AC 上,且 AF=CE. 求证:FD=BE.

22. (8 分) (2013?凉山州)根据图中给出的信息,解答下列问题: (1)放入一个小球水面升高 _________ cm,放入一个大球水面升高 _________ cm; (2)如果要使水面上升到 50cm,应放入大球、小球各多少个?

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五、解答题: (共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 23. (8 分) (2013?凉山州)先阅读以下材料,然后解答问题: 材料:将二次函数 y=﹣x +2x+3 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,求平移后的抛物线的解析式(平 移后抛物线的形状不变) . 2 解:在抛物线 y=﹣x +2x+3 图象上任取两点 A(0,3) 、B(1,4) ,由题意知:点 A 向左平移 1 个单位得到 A′ (﹣ 1,3) ,再向下平移 2 个单位得到 A″ (﹣1,1) ;点 B 向左平移 1 个单位得到 B′ (0,4) ,再向下平移 2 个单位得 到 B″ (0,2) . 设平移后的抛物线的解析式为 y=﹣x +bx+c.则点 A″ (﹣1,1) ,B″ (0,2)在抛物线上.可得: 解得: .所以平移后的抛物线的解析式为:y=﹣x +2.
2 2 2



根据以上信息解答下列问题: 将直线 y=2x﹣3 向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,求平移后的直线的解析式. 24. (8 分) (2013?凉山州)小亮和小红在公园放风筝,不小心让风筝挂在树梢上,风筝固定在 A 处(如图) ,为测 量此时风筝的高度,他俩按如下步骤操作: 第一步:小亮在测点 D 处用测角仪测得仰角∠ ACE=β. 第二步:小红量得测点 D 处到树底部 B 的水平距离 BD=a. 第三步:量出测角仪的高度 CD=b. 之后,他俩又将每个步骤都测量了三次,把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图.

请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题. (1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中: β a b _________ _________ _________ 第一次
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www.vtigu.com 第二次 第三次 平均值

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_________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ , ,结果保留 3 个有

(2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度 AB(参考数据: 效数字) .

六、填空题: (共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 25. (5 分) (2013?凉山州)已知(2x﹣21) (3x﹣7)﹣(3x﹣7) (x﹣13)可分解因式为(3x+a) (x+b) ,其中 a、 b 均为整数,则 a+3b= _________ . 26. (5 分) (2013?凉山州)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为(10,0) , (0,4) , 点 D 是 OA 的中点,点 P 在 BC 上运动,当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时,点 P 的坐标为 _________ .

七、解答题: (共 2 小题,27 题 8 分,28 题 12 分,共 20 分) 27. (8 分) (2013?凉山州)在同一平面直角坐标系中有 5 个点:A(1,1) ,B(﹣3,﹣1) ,C(﹣3,1) ,D(﹣2, ﹣2) ,E(0,﹣3) . (1)画出△ ABC 的外接圆⊙ P,并指出点 D 与⊙ P 的位置关系; (2)若直线 l 经过点 D(﹣2,﹣2) ,E(0,﹣3) ,判断直线 l 与⊙ P 的位置关系.

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2

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28. (12 分) (2013?凉山州)如图,抛物线 y=ax ﹣2ax+c(a≠0)交 x 轴于 A、B 两点,A 点坐标为(3,0) ,与 y 轴交于点 C(0,4) ,以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴 l 在边 OA(不包括 O、A 两点)上平行移动,分别交 x 轴于点 E,交 CD 于点 F,交 AC 于 点 M,交抛物线于点 P,若点 M 的横坐标为 m,请用含 m 的代数式表示 PM 的长; (3)在(2)的条件下,连结 PC,则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P,使得以 P、C、F 为顶点的三 角形和△ AEM 相似?若存在,求出此时 m 的值,并直接判断△ PCM 的形状;若不存在,请说明理由.

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2013 年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题: (共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确的字 母填涂在答题卡上相应的位置. 1. (4 分) (2013?凉山州)﹣2 是 2 的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.算术平方根 考点: 相反数. 分析: 根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数可直接得到答案. 解答: 解:﹣2 是 2 的相反数, 故选:A. 点评: 此题主要考查了相反数,关键是掌握相反数的概念.
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2. (4 分) (2013?凉山州)你认为下列各式正确的是( 2 A.a =(﹣a)2 B.a3=(﹣a)3

) C.﹣a2=|﹣a2|

D.a3=|a3|

考点: 幂的乘方与积的乘方;绝对值. 专题: 计算题. 分析: A、B 选项利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可做出判断; C、D 选项利用绝对值的代数意义化简得到结果,即可做出判断. 2 2 解答: 解:A、a =(﹣a) ,本选项正确;
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B、a =﹣(﹣a) ,本选项错误; 2 2 C、﹣a =﹣|﹣a |,本选项错误; 3 3 D、当 a=﹣2 时,a =﹣8,|a |=8,本选项错误, 故选 A 点评: 此题考查了幂的乘方与积的乘方,以及绝对值的代数意义,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 3. (4 分) (2010?成都)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的形状是( )

3

3

A.圆柱 考点: 分析: 解答: 点评:

B.圆锥

C.圆台

D.长方体

由三视图判断几何体. 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形. 解:俯视图为圆的有球,圆锥,圆柱等几何体,主视图和左视图为三角形的只有圆锥,故选 B. 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.
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4. (4 分) (2013?凉山州)如果单项式﹣x A.a=2,b=3

a+1 3

y 与

是同类项,那么 a、b 的值分别为( C.a=1,b=3



B.a=1,b=2

D.a=2,b=2

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www.vtigu.com 考点: 同类项. 分析: 根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)列出方程,求出 a,b 的值. 解答: 解:根据题意得: ,
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则 a=1,b=3. 故选 C. 点评: 考查了同类项,同类项定义中的两个“相同”:相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点 5. (4 分) (2005?福州)如果代数式 A.x≥0 B.x≠1 有意义,那么 x 的取值范围是( C.x>0 ) D.x≥0 且 x≠1

考点: 分式有意义的条件;二次根式有意义的条件. 专题: 计算题. 分析: 代数式 有意义的条件为:x﹣1≠0,x≥0.即可求得 x 的范围.
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解答: 解:根据题意得:x≥0 且 x﹣1≠0.解得:x≥0 且 x≠1.故选 D. 点评: 式子必须同时满足分式有意义和二次根式有意义两个条件. 分式有意义的条件为:分母≠0; 二次根式有意义的条件为:被开方数≥0. 此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件,导致漏解情况. 6. (4 分) (2013?凉山州)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A. B. C. ) D.

考点: 中心对称图形;轴对称图形. 分析: 根据轴对称图形与中心对称图形的概念,结合选项所给图形进行判断即可. 解答: 解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; B、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意; C、是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意; D、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意. 故选 B. 点评: 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重 合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合.
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7. (4 分) (2013?凉山州)已知方程组 A.﹣1 B.0

,则 x+y 的值为( C .2

) D.3

考点: 解二元一次方程组. 专题: 计算题. 分析: 把第二个方程乘以 2,然后利用加减消元法求解得到 x、y 的值,再相加即可. 解答: 解: ,
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www.vtigu.com ② ×2 得,2x+6y=10③ , ③ ﹣① 得,5y=5, 解得 y=1, 把 y=1 代入① 得,2x+1=5, 解得 x=2, 所以,方程组的解是 ,

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所以,x+y=2+1=3. 故选 D. 点评: 本题考查的是二元一次方程组的解法,方程组中未知数的系数较小时可用代入法,当未知数的系数相等或 互为相反数时用加减消元法较简单. 8. (4 分) (2013?凉山州)下列说法中: ① 邻补角是互补的角; ② 数据 7、1、3、5、6、3 的中位数是 3,众数是 4; ③ |﹣5|的算术平方根是 5; ④ 点 P(1,﹣2)在第四象限, 其中正确的个数是( ) A .0 B.1

C .2

D.3

考点: 算术平方根;点的坐标;对顶角、邻补角;中位数;众数. 分析: 根据邻补角、算术平方根、中位数及众数的定义、点的坐标的知识,分别进行各项的判断即可. 解答: 解:① 邻补角是互补的角,说法正确; ② 数据 7、1、3、5、6、3 的中位数是 5,众数是 3,原说法错误; ③ |﹣5|的算术平方根是 ,原说法错误; ④ 点 P(1,﹣2)在第四象限,说法正确; 综上可得① ④ 正确,共 2 个. 故选 C. 点评: 本题考查了邻补角、中位数、众数及算术平方根的知识,掌握基础知识是解答此类题目的关键.
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9. (4 分) (2013?凉山州)如图,菱形 ABCD 中,∠ B=60°,AB=4,则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为(



A.14

B.15

C.16

D.17

考点: 菱形的性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析: 根据菱形得出 AB=BC,得出等边三角形 ABC,求出 AC,长,根据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4, 求出即可. 解答: 解:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB=BC, ∵ ∠ B=60°, ∴ △ ABC 是等边三角形, ∴ AC=AB=4, ∴ 正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=4×4=16,
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www.vtigu.com 故选 C. 点评: 本题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出 AC 的长.

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10. (4 分) (2013?凉山州)已知⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别为 2cm 和 3cm,圆心距 O1O2 为 5cm,则⊙ O1 和⊙ O2 的位置关 系是( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 考点: 圆与圆的位置关系. 分析: 由⊙ O1 与⊙ O2 的半径分别为 2cm 和 3cm,且圆心距 O1O2 为 5cm,根据两圆位置关系与圆心距 d,两圆半径 R,r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系. 解答: 解:∵ ⊙ O1 与⊙ O2 的半径分别为 2cm 和 3cm,且圆心距 O1O2 为 5cm, 又∵ 2+3=5, ∴ 两圆的位置关系是外切. 故选 B. 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距 d,两圆半径 R,r 的数量关系间 的联系.
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11. (4 分) (2013?凉山州)如图,∠ 3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证 ∠ 1 的度数为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

考点: 生活中的轴对称现象;平行线的性质. 分析: 要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,则∠ 2=60°,根据∠ 1、∠ 2 对称,则能求出∠ 1 的度数. 解答: 解:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中, ∠ 2+∠ 3=90°, ∵ ∠ 3=30°, ∴ ∠ 2=60°, ∴ ∠ 1=60°. 故选 C. 点评: 本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想.
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12. (4 分) (2013?凉山州)如图,正比例函数 y1 与反比例函数 y2 相交于点 E(﹣1,2) ,若 y1>y2>0,则 x 的取 值范围在数轴上表示正确的是( )

A.

B.

C.

D.

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考点: 反比例函数与一次函数的交点问题;在数轴上表示不等式的解集. 分析: 根据两函数的交点坐标,结合图象即可求出 x 的范围,再在数轴上表示出来,即可得出选项. 解答: 解:∵ 正比例函数 y1 与反比例函数 y2 相交于点 E(﹣1,2) , ∴ 根据图象可知当 y1>y2>0 时 x 的取值范围是 x<﹣1,
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∴ 在数轴上表示为:



故选 A. 点评: 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的应用,关键是求出 x 的范围. 二、填空题: (共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13. (4 分) (2013?凉山州)截止 5 月初,受 H7N9 禽流感的影响,家禽养殖业遭受了巨大的冲击,最新数据显示, 10 损失已超过 400 亿元,用科学记数法表示为 4×10 元. 考点: 科学记数法—表示较大的数. 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝 对值<1 时,n 是负数. 解答: 解:将 400 亿用科学记数法表示为 4×1010. 10 故答案为:4×10 . 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示 时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
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14. (4 分) (2001?宁夏)购买一本书,打八折比打九折少花 2 元钱,那么这本书的原价是 20 元. 考点: 专题: 分析: 解答: 一元一次方程的应用. 经济问题. 等量关系为:打九折的售价﹣打八折的售价=2.根据这个等量关系,可列出方程,再求解. 解:设原价为 x 元, 由题意得:0.9x﹣0.8x=2 解得 x=20. 点评: 解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
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15. (4 分) (2011?福州)化简

的结果是 m .

考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 本题需先把(m+1)与括号里的每一项分别进行相乘,再把所得结果相加即可求出答案. 解答: 解:
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=(m+1)﹣1 =m 故答案为:m 点评: 本题主要考查了分式的混合运算,在解题时要把(m+1)分别进行相乘是解题的关键.

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www.vtigu.com 16. (4 分) (2013?凉山州)如图,Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC=8,BC=6,两等圆⊙ A,⊙ B 外切,那么图中两个扇形 (即阴影部分)的面积之和为 π .

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考点: 专题: 分析: 解答:

扇形面积的计算;勾股定理;相切两圆的性质. 计算题. 根据题意,可得阴影部分的面积等于圆心角为 90°的扇形的面积. 解:∵ ∠ C=90°,AC=8,BC=6, ∴ AB=10, ∴ 扇形的半径为 5,
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∴ 阴影部分的面积=

=

π.

点评: 解决本题的关键是把两个阴影部分的面积整理为一个规则扇形的面积. 17. (4 分) (2013?凉山州)已知实数 x,y 满足 是 20 . ,则以 x,y 的值为两边长的等腰三角形的周长

考点: 专题: 分析: 解答:

等腰三角形的性质;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根;三角形三边关系. 分类讨论. 先根据非负数的性质列式求出 x、y 的值,再分 4 是腰长与底边两种情况讨论求解. 解:根据题意得,x﹣4=0,y﹣8=0, 解得 x=4,y=8, ① 4 是腰长时,三角形的三边分别为 4、4、8, ∵ 4+4=8, ∴ 不能组成三角形, ② 4 是底边时,三角形的三边分别为 4、8、8, 能组成三角形,周长=4+8+8=20, 所以,三角形的周长为 20. 故答案为:20. 点评: 本题考查了等腰三角形的性质,绝对值非负数,算术平方根非负数的性质,根据几个非负数的和等于 0,则 每一个算式都等于 0 求出 x、y 的值是解题的关键,难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行 判断.
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三、解答题: (共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分) 18. (6 分) (2013?凉山州)计算: .

考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项表示 2 平方的相反数,第二项利用特殊角的三角函数值化简,第三项先计算绝对值里边的式子,
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www.vtigu.com 再利用绝对值的代数意义化简,第四项利用零指数幂法则计算,即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣4﹣ +3+1+ =0.

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点评: 此题考查了实数的运算,涉及的知识有:零指数、负指数幂,平方根的定义,绝对值的代数意义,熟练掌 握运算法则是解本题的关键.

19. (6 分) (2013?凉山州)已知 x=3 是关于 x 的不等式

的解,求 a 的取值范围.

考点: 不等式的解集. 分析: 先根据不等式的解的定义,将 x=3 代入不等式
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,得到 9﹣

>2,解此不等式,即可求

出 a 的取值范围. 解答: 解:∵ x=3 是关于 x 的不等式 ∴ 9﹣ >2, 的解,

解得 a<4. 故 a 的取值范围是 a<4. 点评: 本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法, 比较简单, 根据不等式的解的定义得出 9﹣ 2 是解题的关键. 四、解答题: (共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 20. (8 分) (2013?凉山州)某车队要把 4000 吨货物运到雅安地震灾区(方案定后,每天的运量不变) . (1)从运输开始,每天运输的货物吨数 n(单位:吨)与运输时间 t(单位:天)之间有怎样的函数关系式? (2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运 20%,则推迟 1 天完成任务,求原计划完成任务的天数. 考点: 反比例函数的应用;分式方程的应用. 分析: (1)根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式; (2)根据“实际每天比原计划少运 20%,则推迟 1 天完成任务”列出方程求解即可. 解答: 解: (1)∵ 每天运量×天数=总运量 ∴ nt=4000
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∴ n=



(2)设原计划 x 天完成,根据题意得:

解得:x=4 经检验:x=4 是原方程的根, 答:原计划 4 天完成. 点评: 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用,解题的关键是找到题目中的等量关系. 21. (8 分) (2013?凉山州)如图,△ ABO 与△ CDO 关于 O 点中心对称,点 E、F 在线段 AC 上,且 AF=CE. 求证:FD=BE.

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考点: 专题: 分析: 解答:

全等三角形的判定与性质;中心对称. 证明题. 根据中心对称得出 OB=OD,OA=OC,求出 OF=OE,根据 SAS 推出△ DOF≌ △ BOE 即可. 证明:∵ △ ABO 与△ CDO 关于 O 点中心对称, ∴ OB=OD,OA=OC, ∵ AF=CE, ∴ OF=OE, ∵ 在△ DOF 和△ BOE 中
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∴ △ DOF≌ △ BOE(SAS) , ∴ FD=BE. 点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,中心对称的应用,主要考查学生的推理能力. 22. (8 分) (2013?凉山州)根据图中给出的信息,解答下列问题: (1)放入一个小球水面升高 2 cm,放入一个大球水面升高 3 cm; (2)如果要使水面上升到 50cm,应放入大球、小球各多少个?

考点: 二元一次方程组的应用;一元一次方程的应用. 分析: (1) 设一个小球使水面升高 x 厘米, 一个大球使水面升高 y 厘米, 根据图象提供的数据建立方程求解即可; (2)设应放入大球 m 个,小球 n 个,根据题意列一元二次方程组求解即可. 解答: 解: (1)设一个小球使水面升高 x 厘米,由图意,得 3x=32﹣26,解得 x=2; 设一个大球使水面升高 y 厘米,由图意,得 2y=32﹣26,解得:y=3. 所以,放入一个小球水面升高 2cm,放入一个大球水面升高 3cm;
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www.vtigu.com (2)设应放入大球 m 个,小球 n 个.由题意,得

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解得:



答:如果要使水面上升到 50cm,应放入大球 4 个,小球 6 个. 点评: 本题考查了列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题的运用,二元一次方程组及一元一次方程的解 法的运用,解答时认真图画含义是解答本题的关键. 五、解答题: (共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 23. (8 分) (2013?凉山州)先阅读以下材料,然后解答问题: 材料:将二次函数 y=﹣x +2x+3 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,求平移后的抛物线的解析式(平 移后抛物线的形状不变) . 解:在抛物线 y=﹣x +2x+3 图象上任取两点 A(0,3) 、B(1,4) ,由题意知:点 A 向左平移 1 个单位得到 A′ (﹣ 1,3) ,再向下平移 2 个单位得到 A″ (﹣1,1) ;点 B 向左平移 1 个单位得到 B′ (0,4) ,再向下平移 2 个单位得 到 B″ (0,2) . 设平移后的抛物线的解析式为 y=﹣x +bx+c.则点 A″ (﹣1,1) ,B″ (0,2)在抛物线上.可得: 解得: .所以平移后的抛物线的解析式为:y=﹣x +2.
2 2 2 2



根据以上信息解答下列问题: 将直线 y=2x﹣3 向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,求平移后的直线的解析式. 考点: 二次函数图象与几何变换;一次函数图象与几何变换. 专题: 阅读型. 分析: 根据上面例题可在直线 y=2x﹣3 上任取一点 A(0,﹣3) ,由题意算出 A 向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位得到 A′ 点坐标,再设平移后的解析式为 y=2x+b,再把 A′ 点坐标代入解析式即可. 解答: 解:在直线 y=2x﹣3 上任取一点 A(0,﹣3) ,由题意知 A 向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位得到 A′ (3,﹣2) , 设平移后的解析式为 y=2x+b, 则 A′ (3,﹣2)在 y=2x+b 的解析式上, ﹣2=2×3+b, 解得:b=﹣8, 所以平移后的直线的解析式为 y=2x﹣8. 点评: 此题主要考查了一次函数图象的几何变换,关键是掌握一次函数图象平移后 k 值不变.
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24. (8 分) (2013?凉山州)小亮和小红在公园放风筝,不小心让风筝挂在树梢上,风筝固定在 A 处(如图) ,为测 量此时风筝的高度,他俩按如下步骤操作: 第一步:小亮在测点 D 处用测角仪测得仰角∠ ACE=β. 第二步:小红量得测点 D 处到树底部 B 的水平距离 BD=a. 第三步:量出测角仪的高度 CD=b. 之后,他俩又将每个步骤都测量了三次,把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图.

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请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题. (1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中: β a b 29.5° 15.71 1.31 第一次 30.8° 15.83 1.33 第二次 29.7° 15.89 1.32 第三次 30° 15.81 1.32 平均值 (2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度 AB(参考数据: 效数字) .



,结果保留 3 个有

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题;条形统计图;折线统计图. 分析: (1)根据图中的信息将数据填入表格,并求平均值即可; (2)过 C 作 CE⊥ AB 于 E,可知四边形 EBDC 是矩形,可得 CE=BD=a,BE=CD=b,在 Rt△ AEC 中,根据 β=30°,解直角三角形求出 AE 的长度,继而可求得树 AB 的高度,即风筝的高度. 解答: 解: (1)填写表格如图: β a b 29.5° 15.71 1.31 第一次 30.8° 15.83 1.33 第二次 29.7° 15.89 1.32 第三次 30° 15.81 1.32 平均值 (2)过 C 作 CE⊥ AB 于 E, 则四边形 EBDC 是矩形, ∴ CE=BD=a,BE=CD=b, 在 Rt△ AEC 中, ∵ β=30°,a=15.81,
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∴ AE=BEtan30°=15.81×

≈9.128(米) ,

则 AB=AE+EB=9.128+1.32=10.448≈10.4(米) . 答:风筝的高度 AB 为 10.4 米.

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点评: 本题考查了解直角三角形的应用,涉及了条形统计图和折线统计图的知识,要求学生能借助仰角构造直角 三角形并解直角三角形,锻炼了同学们读图的能力. 六、填空题: (共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 25. (5 分) (2013?凉山州)已知(2x﹣21) (3x﹣7)﹣(3x﹣7) (x﹣13)可分解因式为(3x+a) (x+b) ,其中 a、 b 均为整数,则 a+3b= ﹣31 . 考点: 因式分解-提公因式法. 分析: 首先提取公因式 3x﹣7,再合并同类项即可得到 a、b 的值,进而可算出 a+3b 的值. 解答: 解: (2x﹣21) (3x﹣7)﹣(3x﹣7) (x﹣13) , =(3x﹣7) (2x﹣21﹣x+13) , =(3x﹣7) (x﹣8) , 则 a=﹣7,b=﹣8, a+3b=﹣7﹣24=﹣31, 故答案为:﹣31. 点评: 此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是找准公因式.
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26. (5 分) (2013?凉山州)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为(10,0) , (0,4) , 点 D 是 OA 的中点,点 P 在 BC 上运动,当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时,点 P 的坐标为 (2,4)或(3,4) 或(8,4) .

考点: 专题: 分析: 解答:

矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质;勾股定理. 动点型. 当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论. 解:由题意,当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时,有三种情况: (1)如答图① 所示,PD=OD=5,点 P 在点 D 的左侧.
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过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E,则 PE=4. 在 Rt△ PDE 中,由勾股定理得:DE= ∴ OE=OD﹣DE=5﹣3=2, ∴ 此时点 P 坐标为(2,4) ; (2)如答图② 所示,OP=OD=5. = =3,

过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E,则 PE=4. 在 Rt△ POE 中,由勾股定理得:OE= = =3,

∴ 此时点 P 坐标为(3,4) ; (3)如答图① 所示,PD=OD=5,点 P 在点 D 的右侧.

过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E,则 PE=4. 在 Rt△ PDE 中,由勾股定理得:DE= = =3,

∴ OE=OD+DE=5+3=8, ∴ 此时点 P 坐标为(8,4) . 综上所述,点 P 的坐标为: (2,4)或(3,4)或(8,4) . 点评: 本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏. 七、解答题: (共 2 小题,27 题 8 分,28 题 12 分,共 20 分) 27. (8 分) (2013?凉山州)在同一平面直角坐标系中有 5 个点:A(1,1) ,B(﹣3,﹣1) ,C(﹣3,1) ,D(﹣2, ﹣2) ,E(0,﹣3) . (1)画出△ ABC 的外接圆⊙ P,并指出点 D 与⊙ P 的位置关系; (2)若直线 l 经过点 D(﹣2,﹣2) ,E(0,﹣3) ,判断直线 l 与⊙ P 的位置关系.
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考点: 直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系;作图—复杂作图. 专题: 探究型. 分析: (1)在直角坐标系内描出各点,画出△ ABC 的外接圆,并指出点 D 与⊙ P 的位置关系即可; (2)连接 OD,用待定系数法求出直线 PD 与 PE 的位置关系即可. 解答: 解: (1)如图所示: △ ABC 外接圆的圆心为(﹣1,0) ,点 D 在⊙ P 上;
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(2)连接 OD, 设过点 P、D 的直线解析式为 y=kx+b, ∵ P(﹣1,0) 、D(﹣2,﹣2) , ∴ ,

解得



∴ 此直线的解析式为 y=2x+2; 设过点 D、E 的直线解析式为 y=ax+c, ∵ D(﹣2,﹣2) ,E(0,﹣3) , ∴ ,

解得



∴ 此直线的解析式为 y=﹣ x﹣3, ∵ 2×(﹣ )=﹣1, ∴ PD⊥ PE, ∵ 点 D 在⊙ P 上, ∴ 直线 l 与⊙ P 相切.

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点评: 本题考查的是直线与圆的位置关系,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键. 28. (12 分) (2013?凉山州)如图,抛物线 y=ax ﹣2ax+c(a≠0)交 x 轴于 A、B 两点,A 点坐标为(3,0) ,与 y 轴交于点 C(0,4) ,以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴 l 在边 OA(不包括 O、A 两点)上平行移动,分别交 x 轴于点 E,交 CD 于点 F,交 AC 于 点 M,交抛物线于点 P,若点 M 的横坐标为 m,请用含 m 的代数式表示 PM 的长; (3)在(2)的条件下,连结 PC,则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P,使得以 P、C、F 为顶点的三 角形和△ AEM 相似?若存在,求出此时 m 的值,并直接判断△ PCM 的形状;若不存在,请说明理由.
2

考点: 二次函数综合题. 2 分析: (1)将 A(3,0) ,C(0,4)代入 y=ax ﹣2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)先根据 A、C 的坐标,用待定系数法求出直线 AC 的解析式,进而根据抛物线和直线 AC 的解析式分 别表示出点 P、点 M 的坐标,即可得到 PM 的长; (3)由于∠ PFC 和∠ AEM 都是直角,F 和 E 对应,则若以 P、C、F 为顶点的三角形和△ AEM 相似时,分两 种情况进行讨论:① △ PFC∽ △ AEM,② △ CFP∽ △ AEM;可分别用含 m 的代数式表示出 AE、EM、CF、PF 的长, 根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求出 m 的值,再根据相似三角形的性质,直角三角形、等腰 三角形的判定判断出△ PCM 的形状. 2 解答: 解: (1)∵ 抛物线 y=ax ﹣2ax+c(a≠0)经过点 A(3,0) ,点 C(0,4) ,
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,解得



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www.vtigu.com ∴ 抛物线的解析式为 y=﹣ x + x+4;
2

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(2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b, ∵ A(3,0) ,点 C(0,4) , ∴ ,解得 ,

∴ 直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+4. ∵ 点 M 的横坐标为 m,点 M 在 AC 上, ∴ M 点的坐标为(m,﹣ m+4) , ∵ 点 P 的横坐标为 m,点 P 在抛物线 y=﹣ x + x+4 上, ∴ 点 P 的坐标为(m,﹣ m + m+4) , ∴ PM=PE﹣ME=(﹣ m + m+4)﹣(﹣ m+4)=﹣ m +4m, 即 PM=﹣ m +4m(0<m<3) ;
2 2 2 2 2

(3)在(2)的条件下,连结 PC,在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P,使得以 P、C、F 为顶点的三 角形和△ AEM 相似.理由如下: 由题意,可得 AE=3﹣m,EM=﹣ m+4,CF=m,PF=﹣ m + m+4﹣4=﹣ m + m. 若以 P、C、F 为顶点的三角形和△ AEM 相似,分两种情况: ① 若△ PFC∽ △ AEM,则 PF:AE=FC:EM, 即(﹣ m + m) : (3﹣m)=m: (﹣ m+4) , ∵ m≠0 且 m≠3, ∴ m= .
2 2 2

∵ △ PFC∽ △ AEM,∴ ∠ PCF=∠ AME, ∵ ∠ AME=∠ CMF,∴ ∠ PCF=∠ CMF. 在直角△ CMF 中,∵ ∠ CMF+∠ MCF=90°, ∴ ∠ PCF+∠ MCF=90°,即∠ PCM=90°, ∴ △ PCM 为直角三角形; ② 若△ CFP∽ △ AEM,则 CF:AE=PF:EM, 即 m: (3﹣m)=(﹣ m + m) : (﹣ m+4) , ∵ m≠0 且 m≠3, ∴ m=1. ∵ △ CFP∽ △ AEM,∴ ∠ CPF=∠ AME, ∵ ∠ AME=∠ CMF,∴ ∠ CPF=∠ CMF. ∴ CP=CM, ∴ △ PCM 为等腰三角形.
2

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www.vtigu.com 综上所述,存在这样的点 P 使△ PFC 与△ AEM 相似.此时 m 的值为 形.

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或 1,△ PCM 为直角三角形或等腰三角

点评: 此题是二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,矩形的性质,相 似三角形的判定和性质,直角三角形、等腰三角形的判定,难度适中.要注意的是当相似三角形的对应边 和对应角不明确时,要分类讨论,以免漏解.

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