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对一道高考填空题解法的探究——兼谈二次分式函数最值的求解策略_图文

2 0 1 2年 第 8 期 

中 学 数 学 研 究 

3 7  

对 一 道 高 考填 空题 解 法 的探 究 
— —

兼 谈 二 次 分 式 函 数 最 值 的求 解 策 略 

江苏省南京市程桥高级 中学   ( 2 1 1 5 0 4 )   竺 宝林 
题 目将 边 长为 1的正 三 角形 薄 片 , 沿 一条 平 行  于底边 的直 线 剪 成 两 块 , 其 中一 块 是 梯 形 , 记 S=  

[ 塾±  ±   (  二 塾) ] :
( 0<   <1 ) . ( i v )  

一   一   一 3 二  一 一  
(   + 1 ) ( 1 — 2 x )  

1 / 2. (   + 1 ) . ( , 3 / 2 一   )  

梯形 面积  则 s的最 一 。 小值是   


本 题是 2 0 1 0 年 江苏高 考第 1 4 题, 是 一道 以平几  何 图形 为背 景 的函数应 用性 问题 , 处理 的关键 在于 :   1 . 如何 建立 函数模 型 2 . 用什 么方 法求 函数 最值 ? 下 
面就从 这两个 方 面来谈 谈对此 题 的处理 策略.  


方案 2 : 双变量  e . 如图( 5 ) , 设A D=  , D B =Y . 则 S=  

1 / 2   ? 等  (   + 1 ) ? √ 3   / 2 y   =   √ 4 3   ‘  - 4 - l   ’   Y . c   V  



关 于 建模 问题 
策略 1   以边 为变 量  方案 1: 单 变量  o . 如图 ( 1 ) , 设A D=  , 则梯 形高 为 h=   ( 1一  
图 L   5)   ( 6)  

策略 2   以角 为变量 
) ,  

所以S:  




:  

如 图 ( 6 ) , 设/ E B C = o ( o < 0 < 手 ) , 所 以  
/ _ BEC = 2   , 1 - 1 "


1 / 2 (   +1 )? √ 3 / 2 ( 1一  )  

( _  

( 0<   <1 ) (i)  


日 .  

在 A E B C 中,   由 正 弦 定 理 得:   E C  :   b .   如 图 ( 2 ) ,   设 B D =   ,   则 S =  
二   ±  :  
S 1 nO  

( 1 一  + 1 ) .  

, / 3 - x ( 1 一   )  

( 0<   <1 )(i i )  




旦 

s i n ( 2  ̄ r / 3—0 ) ‘  

舭 c  面  
:_ = = _   三一

=  

s i n 0  
—  .  

. DE = DE  : 1  一   EC = :  

4 3 c o t 0   4 - 1  

4 3 c o t 0   -1 4  

图 ( 1)  

图 ( 2)  

梯 形 高  =  ( 罴   0) , 所 以 . s =   4 ?  
_ (   里   2 , / 3 c o t 0  


C . 如图( 3 ) , 设B F=  , 则 S=  
1 / 2

- ?   (   1   一  + 2 x     1, ) ?   / 3   / 2 x = , /   3 ‘   L z 一  

( v i )  

<1 ) . ( i i i) i 

二、 关 于 求 最 值 问题 
策略 1  ( 导 数法 )以表达式 (i)为例 :   因为 s (  ):   4.   / ,
3   1一  。  
,  

∈( 0 , 1 ) .  

所以 S   (  ) =  
一   .

( 塾二 鱼 2 : (  二   : ) 二(  二  ) : : ( 二  )  
( 1一   )  

图 ( 3)  

图 ( 4)  



d . 如 图( 4 ) , 设D E =2 x , 则 S=  
 
 



二  i   二  2 (  =  
( 1一   )  

3 8  

中 学 数 学研 究 

2 0 1 2年 第 8期 

令 s  ) I ( 】 , 0   < 1 ,  ≥ .  
当  ∈ ( 0,   1] 时


(  

1一 “

2 m  4 一  

+  

+2 ( ) ‘  

S , (  )<0 递减; 当  ∈[   ,  

因为 + 6 A ≤ 一1 6

?

1 )时 ,  (  )>0递增 .  
故 当  :  1 一 时 S的最小 值是 


当且仅 当 :一 8时取 “:” .  
, 

.  

g (   )≥ 9 , 此时,   =一8 ,  :  1 ∈ ( 0




) .  
l+ 9) =  

点评 : 一 切 函数 均可 以用导 数法 求值 域 , 但离 开  初等 的思考 它将成 为 无源 之 水 , 会 让 人 们 陷入 繁 冗  的境地 . 随着 新课 程 中可 求导 函数类 型 的扩充 , 用 导  数方法 求 函数 最值 成 了最常用 的方法 之一 .   策略2 ( 二次 函数法 )以表达 式 ( i i )为 例 :  

所 以 s的 最 小 值 为 s … =  4 ?(


三  
3   ‘  

方 案 2: x C Y- (i )式 , 前 同上 得 : _ v: ( 3




 



 

令 I 厂 (   ) = 箸   ( 0 <   < 1 ) . 设   + 2 =   ,  
= t一 2f   2 < £< 3) .  

=  

2 ( 3-x ) 2 I _ ) ≥  
、  

2   ( 3- -   X )   2
、  



8 (以 

2  

则.   )=
_

8=  
t 2  


1 6   /

=  

略)   方案 3 _ 对于 ( V   s=   8?   2 3 -  

1  


1  

,1   1、  

8 『 ( 1 / f _ _ j  

二 - 1 / 舌 4 1 ’ f∈L 了’  
= 

所 以当  :   3 即: f



∈( 2 , 3 ) ,  =  1 ∈  

≥  ’  

=  
f   1  

2 2 y=    

( 0, 1 )时 , / = 1 1 1   ( £ ):8 . . - . S的最小值 是 

.  

3 _ 2 _ , / 3 -


当且 仅 当 

Y  

p  
{   一 3  

=” .  

点评 : 二次 函数是 中学 阶段 最 为常 见 也是 最 为  重要 的函数 , 很 多 函数 问题 通 过 换元 、 平方 、 有 理 化  等 常 见变形都 可 以转 化为 二次 函数 问题 来解 决.   策略3  ( “ A”判别式 法 )以表达 式 ( i i i ) 为例 :   令 Y: (   上  ( 0<   <  

? . . ?

所 以 s的最小值 是 

.  
/ 3 c o t O  一 . ( 4+ ̄




Y>O , y 有解 .  

方 案 4: 对于( v i ) 式, s:  

:  

2  

c o t O  

( Y +1 )?   +( 2一Y )?   +1 = 0  

由 △ ≥ 0解得 Y≥ 8或 y≤ 0 . 又 由于 Y>0得 
≥ 8.  
=   1   1  

( 3 c 砌 +  1 6 +8   )≥ 望 3  . 当且仅 当 l 6 3  
1 6 叭 删
=  

的最 / j 、 值 是3   3
. 

当 y=8时 ,  =  1 ∈ ( 0 ,   1) . 有Y




8, . ? .S  

的最小 值是≥   三
. 

点评: 不论 是 一元 变量 还是 双 元 变量 的最值 求  解 问题 , 基本 不等式 都是 不错 的选择 , 但 是要 注意 基  本 不等 式 的使 用条件 : 一正 、 二定 、 三相等 .   策略 5 ( 三角换 元法 )   : 8 - 案1 : 对 于 (i) 式, 令  =s i n O , 其 巾 0∈ ( 0 ,  
=  

点评 : 二 次 分式 函数 的值 域 问题 通 常用 判 别式  法, 但 这是 在分子 分母 没有公 因式 的前提 下进 行 的 ,   符分 子分母 有公 因式 时 , 需先 约去 公 因式 再求 值域.  




策略 4 ( 基本不 等式 法 )  
方案 1 : 对于 (i) 式, 令I 厂 (  ):  
<1 ),  

O   S O  

( 0<  

设  =  

, 它 的几 何 意 义 足 表 示 过 动 点 

设I I =6  一1 0 , . . .   :  
s :   (一 1 +   / 3  

,  ∈ ( 一1 0 ,一 4 ) .  
) : g (   ) :  

P( c o s O , s i n O ) 和定 点 A ( 0 , 3 ) 两点 的直 线斜 率 , H . 动  点 P的轨迹 是 圆  + Y  =1 上位 于第 一象 限 的一 段  弧. 如 图所 示 , 当过点 A( O, 3 )的直 线与 圆 。+   y  :   1相切 时 ,  取 最小 值 一2   , 此时 , s   :3   3
. 



二  )   一1  

2 0 1 2年 第 8期 

中学 数 学 研 究 

3 9  

无 可 奈 何 花 落去 , 似 曾相 识 燕 归 来 
湖北省孝感地 区安 陆市第 一高级 中学   ( 4 3 2 6 0 0 )   周 学员  
在 高考 的历 史 长河 中 , 利 用 函数 凸 凹性 定 义 解  题 的例子屡 见不鲜 , 今 年 湖北 省 高 考 数学 试 题 再 次  把 这个 内容拿 出来 , 并把它 赋予 了新课 改 的理念.   我们 知道 凸 凹函数 的定 义如 下 :   如果 函数 y =. 厂 (  )在 区 间 ( 。 , b )上 对 任 意 的 
。,  

( 。 , b )内是 凸的 ( 上凸) .  




函数 凸 凹性 定 义 对 正 整 数 的 推 广 

我们 将上述 定 义 由二 元推广 到 n元得 下 面两个  定理:   定理 1 : 如果 函数 Y=I 厂 (  )是 区 间 ( 。 , b )上 的  下 凸 函数 , 那 么 对 任 意 的  ,  , …,   ∈( n, b )都 

都 有  1 )  

≥ - 厂 (  妄  ) ( 当 且 仅 当  

时, 等号 成立 ) , 那么 我们就 说 函数 Y:l 厂 (  )是  区『 自 J ( n , b )上的下 凸 函数 ( 也 称为 “ 凹 函数 ” )  
=  

有 :  
且 n≥ 2 )  

凡  

≥  

≯  n   ) ( 当  

且 仅 当 ,=  。= … =   时, 等号成 立 ) ( n∈N  ,   定理 2 : 如 果 函数 Y =l 厂 (  )是 区 间 ( n , b )上 的  上 凸 函数 , 那 么 对 任 意 的  ,  , …,   ∈( o , b )都 


如果 函数 Y = 厂 (  )在 区 间 ( Ⅱ , b )上 对 任 意 的 

都有 
,   。
:  

_ )  

≤  

—   ) ( 当且仅当 

时, 等号 成立 ) , 那 么我们就 说 函数 Y= - 厂 (  )是 

区间 ( “ , b )上 的上 凸 函数.   函数 凸凹性 的判断 方法 

乍j: —

- 厂 (   1 ) + _ 厂 (   2 )+… + / (  )   ≤l , (  
— ~ ~
n 

— —  

‘  

) ( 当 

且 仅 当  =  :: … =   时, 等号 成立 ) ( n   E   N  ,  
且 n ≥ 2)  

曲线 Y=   厂 (  )的 凹凸性 可 以用 导数. 厂(  )的单  调 性来 判定. 而. 厂(  )的单 调性 又 可 以用 它 的导 数 ,   即 Y=   厂 (  ) 的二阶导 数厂   (  ) 的符号 来判 定 , 故 曲线 
Y= . 厂 ( X )的凹 凸性 与 尸   (  )的符号有 关. 由此提 出 了  函数 曲线 的凹 凸性 判定 定理 :   定理 : 设 函数 Y=. 厂 (  )在 ( 。 , b )内具有二 阶 导  数.  

下 面用 数学归 纳法证 明定 理 1  
证明 :  

( 1 )当 n =2时 , 由下 凸 函数 的定 义知 命题 成 
立.  

( 2 )假 设 n =   时, 命题成立 , 即对 任 意 的 , ,  


( 1 )如 果 在 ( n , b )内  厂   (  ) >0 , 那 么 曲线 在 
( “ , b )内是 凹的( ~ F凸 ) ;  



,  

∈( 。 , 6 ) 都有 :  

—  _ . .  

f 2 )如果在 ( 。 , 6 )内  (  ) <0, 那 么 曲线在  方案 2: 对 于 (i) 式, 令  =c o s O , 其 中 0∈( 0 ,  

≥ - 厂 (  

÷. . . +  ) ( 当 且 仅 当  :  : …:  

号 ) , s=( 3 - S 1 n c O o  2 s 0 ) . 记  =  
c o s 旦


、  
3  

2  

则 

+c 0 s  =3 ,  

1  

了式 子 自身 的几何 意 义 —— 斜 率解 决 问题 ; 而( 2 )   式则 是换元 后利 用辅 助 角 公式 变形 , 用三 角 函数 知  识求 最值.   “ 以能 力立 意 为 指 导 , 以考 查 能 力 和 素质 为 导  向”是数 学学科 高考 命 题 的 一 条基 本 原 则 , 本 题则  充分体 现 了这一命 题 的基 本原 则 . 本题 属 于 应 用性  质 的问题 , 将 几何 图形 与 函数 模 型相 结 合 , 表 述 简  洁, 立意新 颖 , 入手易, 方法 多 , 貌 似 简单 , 当深 入 解 

n  t  

、  

i n ( 0+   )=3 , 所 以 

n (   ) 一  _ 二, 其中  满  
足… 
≥ 8, S =

, s i n  

油 

≤  

决 问题时 发现对 于 函数 知 识 的要 求 相 当高 , 具 有 高  度 的综合 性 , 综合 考 查 了三 角 形 、 函数 、 导 数 与 不 等  式等 相关 知识. 对学 生 有 着较 高 的思 维 能力 和 运算  要求 , 有效 的考查 了学生现 阶段 的能力 , 同时又甄别  了学 生学 习 的潜 能.是一 道既 具考 查 知识 能力 又具  选拔 功能 的好题 , 值得 好好 品 味.  

筝  ≥ 学  . s   = 丁 3 2 , / 3 -  

点评 : 这两 种解法 虽然都 是采 用 的三角换 元 , 但 
换元 后所 采取 的措施 是不 - g 4 ̄ , 对于( 1 )式利 用 


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