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2.5等比数列前n项和的性质






等比数列的前n项和的性质

复习回顾 引入新课
1、等比数列前n项和公式: q ?1 , ?na1 ?na1 ? S n ? ? a1 ? a1 q n 或 Sn ? ? ? a1 ? an q q ? 1 。 ? 1-q ? 1-q ? ?

q ?1 , q ? 1。

2、数学思想:分类讨论思想,函数与方程思想. 3、重要求和方法:

错位相减法.

1 、数列1 ,a,a , ?,a , ?的前n项和为( D ) n ?1 n ?1 1? an 1 ? a 1 ? a A. B. D.以上均不正确 C . 1? a 1? a 1? a 2、若等比数列 {an }的前n项和为S n , 则数列 {S n }中( D )
A.任意一项都不为0 C.至多有有限项为0
B.必有一项为0

2

n?1

D.可以有无数项为0

3、若等比数列{an }的前n项和Sn ? 2n ? 1,数列{bn }满足: bn ? an ,则{bn }的前n项和Tn ?
2

1 n (4 ? 1) 。 3

合作探究 形成规律
a1 n a1 a1 ? a1q n ? Sn ? ? q ? Sn ? 1-q 1-q 1-q a1 令A ? ? ? 0 则:S n ? Aqn - A 1-q
这个形式和等比 数列等价吗?

等比数列前n项和的性质一:

数列 {an }是等比数列? S n ? Aqn - A( A ? 0)

1 、若等比数列 {an }的前n项和Sn ? 4n ? a,求a的值。
提示:

S n ? Aq - A( A ? 0)
n

系数和常数互为相反数

? a ? ?1
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n ? 3n?1 ? 2a,求a的值。
1 1 1 n 化简到: S n ? ? 3 ? 2a ? ? 2 a ? 0 ? a ? ? 3 3 6

我们知道,等差数列有这样的性质:
如果?an ?为等差数列 ,则Sk , S 2k ? Sk , S3k ? S 2k 也成等差数列。

等比数列前n项和的性质二:
如果?an ? 为等比数列, ?Sk ,S2k ? Sk ,S3k ? S2k 也成等比数列.

新等比数列首项为Sk,公比为qk .

2、等比数列 {an }的前n项和为S n,若S m ? 10 ,S 2m ? 30 , 求S 3m的值。
解:? S m,S 2m - S m,S3m - S 2m 成等比数列

? (S 2m - S m ) ? S m ? (S3m - S 2m )
2

即: (30 - 10) ? 10? (S3m - 30)
2

解得:S3m ? 70

2、等比数列 {a n }的前 n项和为 S n,若 S10 ? 20, S 20 ? 80,则 S 30 ?
260



3、任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项

和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是( D )
A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)

C.Y 2=XZ

D.Y(Y-X)=X(Z-X)

等比数列前n项和的性质三:

?an ?共有2n项,则: 若等比数列

S偶 S奇

?q

怎么 证明?

1 4、若等比数列 {a n }的公比为 ,且a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60, 3 则{a n }的前100项和为 80 。
解: 令X ? a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60
Y ? a2 ? a4 ? ? ? a100

Y 1 由等比数列前 n项和性质知: ? q ? X 3

则S100 ? X ? Y

? Y ? 20

即:S100 ? X ? Y ? 80

5、已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数,所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的项数? 提示:

q?

S偶 S奇

170 ? ?2 85

S n ? S 偶 ? S奇 ? 170? 85 ? 255
由等比数列前 n项和公式得:
1? 2 255 ? 1-2
n

?n?8

例3. 某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年增加10%,那么从第1年起,约几 年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同, 所以从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 { a } 其中

a1 ? 5000,

q ? 1 ? 10 0 0 ? 1.1

S n ? 30000

n

可得:

Sn ?
n

5000(1?1.1n ) 1?1.1

? 30000
1.1

可得: 1.1 ? 1.6 利用计算器得:

两边取对数,得: n lg

? lg

1.6

n?

0.20 0.041

? 5 (年 )

答:约5年内可以使总销售量达到30000台。

作业: 5、在等比数列 {an }中,a1 ? an ? 66 ,a2 ? an?1 ? 128 ,

前n项和S n ? 126 ,求n及公比q。

2.(大纲卷)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3, S4=15,求 S6

6、已知等比数列 {a n }前n项和为S n,若a 2 a3 ? 2a1, 5 且a 4 与2a7的等差中项为 ,求S 5。 4

S5 ? 31
S 3 ? 7,求S 5。

7、已知正项等比数列 {an }前n项和为S n,若a2 a4 ? 1 ,

31 S5 ? 4

5、在等比数列 {an }中,a1 ? an ? 66 ,a2 ? an?1 ? 128 , 前n项和S n ? 126 ,求n及公比q。
解:? a1an

? a2 ? an?1 ? 128

又有a1 ? an ? 66
两式联立解得:

?a1 ? 2 ?a1 ? 64 或? ? ?a n ? 64 ?a n ? 2
显然,q ? 1。

(1)当a1 ? 2,an ? 64时有:

2 - 64q Sn ? ? 126 1? q

a1 ? a n q Sn ? 1-q

解得:q ? 2

又an ? a1q 得:64 ? 2 ? 2

n?1

n ?1

解得:n ? 6 (2)当a1 ? 64 ,an ? 2时,同理可得: 1 q ? ,n ? 6 2
1 综上所述: n ? 6,q ? 或2。 2

[活学活用] 1.(大纲卷)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4= 15,则 S6= A.31 C.63 B.32 D.64 ( )

解析:法一:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 若 q=1,则有 Sn=na1,显然不符合题意,故 q≠1.
2 a ? 1 - q ? ? 1 ?S2= =3, 1-q ? 由已知可得? 4 a ? 1 - q ? 1 ? S4= =15, ? 1 - q ?

两式相除得 1+q2=5,

解得 q2=4.

8、已知数列 {an }的前n项和S n 满足:S n ? 4an ? 2, 求数列 {an }的通项公式。

2 4 n ?1 an ? ? ? ( ) 3 3


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