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北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案


北师大版高中数学选修 4-5《不等式选讲》全套教案

课 题: 第 01 课时 不等式的基本性质 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”“远 : 者小而近者大”“近者热而远者凉” 、 ,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中 息息相关的问题,如“自来水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢?”“电灯挂在写字台上 、 方怎样的高度最亮?”“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖 、 的盒子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?”等,都属于不等关系的问题, 需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式 等)和它们的证明,数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不 等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。还可从 引言中实际问题出发,说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题: 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0), a 若再加 m(m>0) 克糖,则糖水更甜了,为什么? 分析:起初的糖水浓度为 怎么证呢?

b b?m b?m b ,加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ,只要证 > 即可。 a a?m a?m a

二、不等式的基本性质: 1、实数的运算性质与大小顺序的关系: 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:

a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质: ①、如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b。(对称性) ②、如果 a>b,且 b>c,那么 a>c,即 a>b,b>c ? a>c。 ③、如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b ? a+c>b+c。 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.即 a>b, c>d ? a+c>b+d. ④、如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. ⑤、如果 a>b >0,那么 a ? b
n n

(n ? N,且 n>1)

⑥、如果 a>b >0,那么 n a ? n b (n ? N,且 n>1)。 三、典型例题: 例 1、已知 a>b,c<d,求证:a-c>b-d.

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例 2 已知 a>b>0,c<0,求证:

c c ? 。 a b

四、练习:

五、作业:

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 02 课时 含有绝对值的不等式的解法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础 上,本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。下 面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在于去掉绝对值符号, 化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。

? x,如果x ? 0 ? 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 x ? ?0,如果x ? 0 。 ?? x,如果x ? 0 ?
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ?a 的解集是

{x | ?a ? x ? a} ,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间(-a,a) ,如
图所示。

图 1-1 a ?a 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a } 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 (??,?a), (a, ?) 的并 集。如图 1-2 所示。

–a

a

图 1-2 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 二、典型例题: 例 1、解不等式 3x ? 1 ? x ? 2 。

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例 2、解不等式 3x ? 1 ? 2 ? x 。 方法 1:分域讨论

★方法 2:依题意, 3 x ? 1 ? 2 ? x 或 3x ? 1 ? x ? 2 , (为什么可以这么解?)

例 3、解不等式 2x ? 1 ? 3x ? 2 ? 5 。 例 4、解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 。 解 本题可以按照例 3 的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点 x 到 1,2 的距离的和大于等于 5。因为 1,2 的距离为 1,所以 x 在 2 的右边,与 2 的距离大于等于 2 (=(5-1) ? 2) ;或者 x 在 1 的左边,与 1 的距离大于等于 2。这就是说, x ? 4 或 x ? ?1. 例 5、不等式 x ? 1 ? x ? 3 > a ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。

三、小结: 四、练习:解不等式 1、 2 2 x ? 1 ? 1. 3、 2、 41 ? 3x ? 1 ? 0 4、 x ? 1 ? 2 ? x .
2 6、 x ? 1 ? x ? 2 .

3 ? 2x ? x ? 4 .

2 5、 x ? 2 x ? 4 ? 1

7、 x ? x ? 2 ? 4 9、 五、作业:

8、 x ? 1 ? x ? 3 ? 6. 10、

x ? x ?1 ? 2

x ? x ? 4 ? 2.

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 03 课时 含有绝对值的不等式的证明 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关 于绝对值的和、差、积、商的性质: (1) a ? b ? a ? b (3) a ? b ? a ? b (2) a ? b ? a ? b (4)

a b

?

a (b ? 0) b

请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质 a ? b ? a ? b 和

a b

?

a (b ? 0) 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出; b

而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明 a ? b ? a ? b 对于任意实数都 成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设 a 为实数, a 和 a 哪个大? 显然 a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立(即在 a ? 0 时,等号成立。在 a ? 0 时,等号不成立) 。 同样, a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时,等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中,常常利用 a ? ?a 、 a ? ?a 及绝对值的和的性质。 二、典型例题: 例 1、证明 (1) a ? b ? a ? b , (2) a ? b ? a ? b 。

证明(1)如果 a ? b ? 0, 那么 a ? b ? a ? b. 所以 a ? b ? a ? b ? a ? b . 如果 a ? b ? 0, 那么 a ? b ? ?(a ? b). 所以 a ? b ? ?a ? (?b) ? ?(a ? b) ? a ? b (2)根据(1)的结果,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 。

例 2、证明 a ? b ? a ? b ? a ? b 。

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例 3、证明 a ? b ? a ? c ? b ? c 。 思考:如何利用数轴给出例 3 的几何解释? (设 A,B,C 为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当 C 在 A,B 之间时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得到例 2 的后 半部分。 ) 探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式 a ? b ? a ? b 的几何解释? 含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例 1,例 2 和例 3 的 结果来证明。 例 4、已知 x ? a ?

c c , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2

证明 ( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b)

? x ?a ? y ?b

(1)

? x?a ?

c c , y ?b ? , 2 2

∴ x?a ? y ?b ?

c c ? ?c 2 2

(2)

由(1)(2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c , 例 5、已知 x ?

a a , y ? . 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 4 6

证明 ? x ?

a a a a , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2
a a ? ? a。 2 2

由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ?

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号 方向相同的不等式。 三、小结: 四、练习: 1、已知 A ? a ?

c c , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2
c c , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6

2、已知 x ? a ?

五、作业:

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链接:不等式的图形
借助图形的直观性来研究不等式的问题,是学习不等式的一个重要方法,特别是利用绝对值和 绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式,往往能使问题变得直观明了,帮助我们迅速 而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时,能否准确地把握不等式的图形,从而有效 地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。 1.解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 。 题意即是在数轴上找出到 ?1 ? 1 与 ? 2 ? 2 的距离之和不大于到点 ? 3 ? ?1 的距离的所有流动点

x。
首先在数轴上找到点 ?1 ? 1 , ? 2 ? 2 , ? 3 ? ?1 (如图) 。

?3
-1 0

x1 ? 1
1

? 2 x2
2 3

x

从图上判断,在 ? 1 与 ? 2 之间的一切点显示都合乎要求。事实上,这种点到 ? 1 与 ? 2 的距离和正 好是 1,而到 ? 3 的距离是 2 ? ( x ? 1) ? 1 ? x(1 ? x ? 2) 。 现在让流动点 x 由点 ? 1 向左移动,这样它到点 ? 3 的距离变,而到点 ? 1 与 ? 2 的距离增大,显然, 合乎要求的点只能是介于 ? 3 ? ?1 与 ?1 ? 1 之间的某一个点 x1 。 由 (1 ? x1 ) ? (2 ? x1 ) ? x1 ? (?1), 可得 x1 ?

2 . 3

再让流动点 x 由点 ? 2 向右移动,虽然这种点到 ? 1 与 ? 2 的距离的和及到 ? 3 的距离和都在增加, 但两相比较,到 ? 1 与 ? 2 的距离的和增加的要快。所以,要使这种点合乎要求,也只能流动到某一点

x2 而止。
由 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? x2 ? (?1), 可得 x 2 ? 4. 从而不等式的解为 2.画出不等式 x ? y ? 1的图形,并指出其解的范围。 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于:

2 ? x ? 4. 3

x?0

, y ? 0 , x ? y ? 1.

其图形是由第一象限中直线 y ? 1 ? x 下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等 式 四个等点分别在坐标轴上 x ? y ? 1的图形是以原点 O 为中心, 的正方形。不等式解的范围一目了然。

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探究:利用不等式的图形解不等式 1.

x ?1 ? x ?1 ? 1;

2. x ? 2 y ? 1. A组

1.解下列不等式: (1) 2 ? 3 x ?

1 2

(2) 1 ? 3x ? 4 ? 7

(3) 2 x ? 4 ? x ? 1

(4) x ? 2 x ?
2

1 x 2

2.解不等式: (1) 2x ? 1 ? x ? 1 3.解不等式: (1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3

(2)

x?2 ?1 x ?1

(2) x ? 2 ? x ? 1 ? 3 ? 0.

4. 利用绝对值的几何意义, 解决问题: 要使不等式 x ? 4 ? x ? 3 < a 有解,a 要满足什么条件? 5.已知 A ? a ?

s s s , B ? b ? , C ? c ? . 求证: 3 3 3

(1) ( A ? B ? C) ? (a ? b ? c) ? s ; (2) A ? B ? C) ? (a ? b ? c) ? s. 6.已知 x ?

a , y ? a . 求证: xy ? a.
x ? h. y
B组

7.已知 x ? ch, y ? c ? 0. 求证:

*****8.求证

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

.

*****9.已知

a ? 1, b ? 1. 求证:

a?b ? 1. 1 ? ab
2

10.若 ? , ? 为任意实数, c 为正数,求证: ? ? ?

1 2 2 ? (1 ? c) ? ? (1 ? ) ? . c

(? ??

2

1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ,而 ? ? ? c ? ? ? c
2 2

2

2

?

c? ?
2

1 ? c

2

2



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选修 4_5
课 题: 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 第 03 课时 指数不等式的解法

不等式选讲

二、典型例题: 例 1、解不等式 2
x 2 ? 2 x ?3

1 ? ( ) 3( x ?1) 2
x 2 ?2 x ?3

解:原不等式可化为: 2

? 2 ?3( x?1)

∵底数 2>1
2

∴ x 2 ? 2 x ? 3 ? ?3( x ? 1)

整理得: x ? x ? 6 ? 0

解之,不等式的解集为{x|-3<x<2} 例 2、解不等式 3
x ?1

? 18 ? 3? x ? 29 。
2x

解:原不等式可化为: 3 ? 3

? 29 ? 3 x ? 18 ? 0
x 解之: 3 ? 9 或 3 ?
x

即: (3 x ? 9)(3 ? 3 x ? 2) ? 0

2 3

∴x>2 或 x ? log 3

2 3
2 } 3

∴不等式的解集为{x|x>2 或 x ? log 3 例 3、解不等式: a x
2

?2 x

? a x?4 , (a ? 0且a ? 1)
当 0<a<1 时 x ? (?1,4) )

(当 a>1 时 x ? (??,?1) ? (4,??) 例 4、解不等式: ( ) 三、小结: 四、练习: 五、作业:

1 2

x 2 ?3

? 4?x

(-1<x<3)

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选修 4_5
课 题: 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 第 04 课时 对数不等式的解法

不等式选讲

二、典型例题: 例 1、解不等式 logx?3 ( x ? 1) ? 2 。

解:原不等式等价于

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? 或 ?0 ? x ? 3 ? 1 ?x ? 3 ? 1 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? ?

解之得:4<x≤5

∴原不等式的解集为{x|4<x≤5} 例 2、解关于 x 的不等式: loga (4 ? 3x ? x 2 ) ? loga (2x ? 1) ? loga 2, (a ? 0, a ? 1) 解:原不等式可化为 loga (4 ? 3x ? x 2 ) ? loga 2(2x ? 1)

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?x ? 2 1 ? ? 2 当 a>1 时有 ?4 ? 3 x ? x ? 0 ? ?? 1 ? x ? 4 ? ? x ? 2 2 ?4 ? 3x ? x 2 ? 2(2 x ? 1) ?? 3 ? x ? 2 ? ? ?
(其实中间一个不等式可省)

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?x ? 2 ? ? 2 当 0<a<1 时有 ?4 ? 3x ? x ? 0 ? ?? 1 ? x ? 4 ?2? x?4 2 ?4 ? 3x ? x ? 2(2 x ? 1) ? x ? ?3或x ? 2 ? ? ?
∴当 a>1 时不等式的解集为 ? x

? 1 ? ? x ? 2? ; ? 2 ?

当 0<a<1 时不等式的解集为 x 2 ? x ? 4 。 例 3、解关于 x 的不等式 5 ? loga x ? 1 ? loga x 。 解:原不等式等价于

?

?

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?1 ? loga x ? 0 ? 2 Ⅰ: ?5 ? loga x ? (1 ? loga x) ?5 ? log x ? 0 a ?
解Ⅰ: ? 1 ? loga x ? 1 解Ⅱ: loga x ? ?1 当 a>1 时有 0<x<a ∴ loga x ? 1 当 0<a<1 时有 x>a

或 Ⅱ: ?

?5 ? loga x ? 0 ? loga x ? 1 ? 0

∴原不等式的解集为{x|0<x<a, a>1}或{x|x>a, 0<a<1} 例 4、解不等式 x
log a x

?

x4 x 。 a2

解:两边取以 a 为底的对数: 当 0<a<1 时原不等式化为: (log a x) ?
2

9 log a x ? 2 2
∴a ? x ?
4

∴ (loga x ? 4)(2 loga x ? 1) ? 0

1 ? log x ? 4 a 2
2

a

当 a>1 时原不等式化为: (log a x) ? ∴ (loga x ? 4)(2 loga x ? 1) ? 0 ∴ log a x ? 4或 log a x ?

9 log a x ? 2 2

1 2

∴ x ? a 或0 ? x ?
4

a

∴原不等式的解集为 {x | a 4 ? x ? 三、小结: 四、练习: 解下列不等式 1. log1 ( x ? 3x ? 4) ? log1 (2 x ? 10)
2 3 3

a ,0 ? a ? 1} 或 {x | x ? a 4或0 ? x ? a , a ? 1}

(-2<x<1 或 4<x<7) (a<x<1)

2.当 0 ? a ? 1 ,求不等式: loga (loga x) ? 0 3. a ? 1,0 ? b ? 1 ,求证: a 4. log a
logb ( 2 x ?1)

?1
(-1<x<0)

1? x ? 0, (a ? 0, a ? 1) 1? x

2x x x x?1 5. a ? 1 时解关于 x 的不等式 loga [a ? 2 (a ? 2 ) ? 1] ? 0

( a ? 2, x ? log a 2 ; 1 ? a ? 2, x ? log a 2 ; a ? 2, x ? ? )
2 2

五、作业:
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选修 4_5
课 题: 第 05 课时 无理不等式的解法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 1、无理不等式的类型: ①、

不等式选讲

? f ( x ) ? 0? ? ? 定义域 f ( x) ? g ( x)型 ? ? g ( x) ? 0 ? ? ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x)型 ? ? f ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x)型 ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

②、

③、

二、典型例题: 例 1、解不等式 3x ? 4 ? 解:∵根式有意义

x ?3 ? 0

∴必须有: ?

?3x ? 4 ? 0 ?x?3 ? x ?3? 0
x ?3
1 2

又有 ∵ 原不等式可化为 3x ? 4 ? 两边平方得: 3 x ? 4 ? x ? 3

解之: x ?

∴ {x | x ? 3} ? {x | x ? } ? {x | x ? 3} 例 2、解不等式 ? x 2 ? 3x ? 2 ? 4 ? 3x 解:原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集:

1 2

?4 ? 3 x ? 0 ? 2 Ⅰ: ?? x ? 3 x ? 2 ? 0 ?? x 2 ? 3 x ? 2 ? ( 4 ? 3 x ) 2 ?

Ⅱ: ?

?? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ?4 ? 3x ? 0

4 ? ?x ? 3 6 4 ? 解Ⅰ: ?1 ? x ? 2 ? ? x ? 5 3 ?6 ? x ? 3 ?5 2 ?
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解Ⅱ:

4 ?x?2 3

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6 ? x ? 2} 5

∴原不等式的解集为 { x |

例 3、解不等式 2x 2 ? 6x ? 4 ? x ? 2

?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 ? 解:原不等式等价于 ? x ? 2 ? 0 ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? ( x ? 2) 2 ?
? x ? 2或x ? 1 ? ? ? x ? ?2 ? {x | 2 ? x ? 10或0 ? x ? 1} ?0 ? x ? 10 ?
特别提醒注意:取等号的情况 例 4、解不等式 2x ? 1 ?

x ?1 ?1

解 :要使不等式有意义必须: ?

?2 x ? 1 ? 0 ? x ? ? 1 1 ? ?? 2?x?? 2 ? x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?
因为两边均为非负

原不等式可变形为

2x ? 1 ? 1 ? x ? 1

∴ ( 2x ? 1 ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ∵x+1≥0

即 2 2 x ? 1 ? ?( x ? 1)

∴不等式的解为 2x+1≥0 即 x ? ?

1 2

例 5、 解不等式 x 2 ? 1 ? ax ? 1(a ? 0)

例 6、解不等式 3 2 ? x ? 解:定义域 x-1≥0

x ?1 ? 1

x≥1

原不等式可化为: x ? 1 ? 1 ? 3 x ? 2 两边立方并整理得: ( x ? 2) x ? 1 ? 4( x ? 1) 在此条件下两边再平方, 整理得: ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 10) ? 0 解之并联系定义域得原不等式的解为 {x | 1 ? x ? 2或x ? 10} 三、小结:

四、练习:解下列不等式

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1. 2x ? 3 ? 3x ? 5 ? 5x ? 6 2. 3x ? 3 ?

( x ? 2)

x ? 3 ? 3x ? x ? 3
2? x
(

( x ? ?3)

3. 4 ? 1 ? x ?

? 5 ? 13 ? x ? 1 )s 2

4. ( x ? 1) x 2 ? x ? 2 ? 0 5. 2 ? x ? x ? 1 ? 1

( x ? 2或x ? ?1)
(?1 ? x ? 1? 5 ) 2

五、作业:

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选修 4_5
课 题: 第 06 课时 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 二、典型例题: 例 1、解关于 x 的不等式 解:原不等式等价于

不等式选讲

含有参数不等式的解法

l o ga x ? l o gx a
l o ga x ? 1 lo gx a
即:

(loga x ? 1)(loga x ? 1) ?0 loga x

∴ loga x ? ?1或0 ? loga x ? 1 若 a>1

0? x?

1 或1 ? x ? a , a

若 0<a<1

x?

1 或a ? x ? 1 。 a

例 2、解关于 x 的不等式 23 x ? 2 x ? m(2 x ? 2 ? x ) 解:原不等式可化为 2 4 x ? (1 ? m) ? 2 x ? m ? 0 即: (2
2x

? 1)(2 2 x ? m) ? 0 s
1 ? 22x ? m
∴0 ? x ? ∴x?φ ∴

当 m>1 时 当 m=1 时

1 log 2 m 2

(2 2 x ? 1) 2 ? 0
m ? 22x ? 1
x<0

当 0<m<1 时 当 m≤0 时 例 3、解关于 x 的不等式

1 log 2 m ? x ? 0 2

x 2 ? 4mx ? 4m2 ? m ? 3

解:原不等式等价于 | x ? 2m |? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时 ∴ x ? 3m ? 3或x ? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时

x ? 2m ? m ? 3或x ? 2m ? ?(m ? 3)

| x ? 6 |? 0
x?R。
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∴x??6

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( c o? ) ? x t
2

例 4、解关于 x 的不等式

?3 x ? 2

? 1, (0 ? ? ?

?
2

)

解:当 cot ? ? 1 即??(0,

? 2 )时 ? x ? 3x ? 2 ? 0 4

∴x>2 或 x<1

当 cot ? ? 1 即?=

? 时 x?φ 4
? ? 2 , )时 ? x ? 3x ? 2 ? 0 4 2
∴1<x<2

当 cot? ? (0,1) 即??( 例 5、满足 3 ? x ?

x ? 1 的 x 的集合为 A;满足 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的 x 的集合为 B。

1? 、若 A?B 求 a 的取值范围 2? 、若 A?B 求 a 的取值范围 3? 、若 A∩B 为仅含一个元素的集合,求 a 的值。 解:A=[1,2] 当 a≤1 时 当 a>2 时 B={x|(x-a)(x-1)≤0} B=[a,1] A?B 当 a>1 时 B=[1,a]

当 1≤a≤2 时 A?B 当 a≤1 时 A∩B 仅含一个元素 例 6、方程 a sin x ?
2

1 1 cos x ? ? a ? 0, (0 ? a ? 1,0 ? x ? ? ) 有相异两实根,求 a 的取值范 2 2

围。 解:原不等式可化为 2a cos x ? cos x ? 1 ? 0 ,令: t ? cos x 则 t ? [?1,1]
2

设 f (t ) ? 2at ? t ? 1
2

又∵a>0

?? ? 1 ? 8a ? 0 1 ? ? ?a ? ? 8 ? f (?1) ? 2a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ?1 ? f (1) ? 2a ? 2 ? 0 ? ?a ? 1 1 ?? 1 ? ?a ? 1 或a ? ? 1 ?1 4a ? ? 4 4 ? ?
三、小结:

四、练习:

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五、作业: 1. log 1 x ? (a ?
2 2

1 ) log 1 x ? 1 ? 0 a 2
1 ? ? ? 当a ? 1或 ? 1 ? a ? 0时( 1 ) a ? x ? ( 1 ) a ? 2 2 , a ? ?1时x ? ? ? ? 1 ? ? 1 1 当0 ? a ? 1或a ? ?1时( ) a a ? x ? ( ) a ? ? 2 2 ? ?

2. A ? {x | 3 ? x ? 求 a 的取值范围

x ? 1}

B ? {x || x ? 1 |? a, a ? 0} 若 A ? B ? ?
(a≥1)

3. a 2 ? 3x 2 ? x ? a, (a ? 0) 4. x
loga x ?1

(?

a ? x ? 0) 2

? a 2 x, (a ? 0)

(当0 ? a ? 1时a
2

2

? x ? a ? 2 ,当a ? 1时x ? a 2 或0 ? x ? a ? 2 )
1 2 log 2 a ? 1 ? 0 有两个 4

5.当 a 在什么范围内方程: x ? (log 2 a ? 4) x ?

不同的负根
2

? 1 ? ? (0, ) ? (4,4 2 ) ? ? 4 ?

6.若方程 x ? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0 的两根都对于 2,求实数 m 的范围。

??? 5,4??

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 07 课时 不等式的证明方法之一:比较法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:

a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
二、典型例题: 例 1、设 a ? b ,求证: a 2 ? 3b 2 ? 2b(a ? b) 。

例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法:

3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2
= 3 ? 3 x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x
2 4 2 4 2 3

= 2( x ? x ? x ? 1)
4 3

= 2( x ? 1) ( x ? x ? 1)
2 2

= 2( x ? 1) [( x ?
2

1 2 3 ) ? ]. 2 4

1 3 ? x ? 1, 从而 ( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4
∴ 2( x ? 1) [( x ? ) ? ] ? 0,
2 2

1 2

3 4

∴ 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .
2 4 2 2

讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换?

? 例 3、已知 a, b ? R , 求证 a b ? a b .
a b b a

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本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a, b 对称,不妨设 a ? b ? 0.

?a ? b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 0
2)商值比较法:设 a ? b ? 0,

,从而原不等式得证。

?

a a abb a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b

注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差 (或作商) 、变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时 间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走。如果 m ? n ,问甲、乙 两人谁先到达指定地点。 分析: 设从出发地点至指定地点的路程是 S , 甲、 乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 ,t 2 。 要回答题目中的问题,只要比较 t1 ,t 2 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 ,t 2 , 根据题意有

t1 t S S 2S S ( m ? n) ? ? t 2 ,可得 t1 ? m? 1 n ? S , , t2 ? , 2m 2n m?n 2mn 2 2
2S S ( m ? n ) S [ 4 m n ? ( m ? n) 2 ] S ( m ? n) 2 ? , ? ?? m?n 2mn 2(m ? n)m n 2(m ? n)m n

从而 t1 ? t 2 ?

其中 S , m, n 都是正数,且 m ? n 。于是 t1 ? t 2 ? 0 ,即 t1 ? t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果 m ? n ,甲、乙两人谁先到达指定地点? 例 5、设 f ( x) ? 2 x 2 ? 1, pq ? 0, p ? q ? 1. 求证;对任意实数 a, b ,恒有

pf (a) ? qf (b) ? f ( pa ? qb).
证明 考虑(1)式两边的差。

(1)

pf (a) ? qf (b) ? f ( pa ? qb).
= p(2a ? 1) ? q(2b ? 1) ? [2( pa ? qb) ? 1]
2 2 2

= 2 p(1 ? p)a ? 2q(1 ? q)b ? 4 pqab? p ? q ? 1.
2 2

(2)

? p ? q ? 1, pq ? 0,

? (2) ? 2 pqa2 ? 2 pqb2 ? 4 pqab

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? 2 pq(a ? b) 2 ? 0.
即(1)成立。 三、小结:

四、练习:

五、作业: 1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (1) x 与 x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 1 与 ( x ? 1) 2 .
2 2 2

2.已知 a ? 1. 求证: (1) a 2 ? 2a ? 1;

(2)
a ?b ? c 3

2a ? 1. 1? a2

3.若 a ? b ? c ? 0 ,求证 a a b b c c ? (abc)

.

4.比较 a4-b4 与 4a3(a-b)的大小. 解: a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
2 ?? b ? 2b 2 ? = - (a-b) ?? 3a ? ? ? ? ? 0 (当且仅当 d=b 时取等号) ? ? 3 ? 3? ?? ? ? 4 4 3 ∴a -b ? 4a (a-b)。

2

5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 6.已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小.
2 2

? x ? 1? 与 ? x ? 1? 的大小. 8.已知 a≠0,比较 ?a ? 2a ? 1??a ? 2a ? 1? 与 ?a
7.如果 x>0,比较
2 2

2

? a ? 1??a 2 ? a ? 1? 的大小.

9.设 x ? 1,比较 x3 与 x2-x+1 的大小. 说明: “变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形” 的常用方法。

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阅读材料:琴生不等式
例 5 中的不等式 pf (a) ? qf (b) ? f ( pa ? qb) 有着重要的数学背景,它与高等数学中的一类凸 函数有着密切的关系,也是琴生(Jensen)不等式的特例。 琴生在 1905 年给出了一个定义: 设函数 f (x) 的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数 x1 , x 2 ,都有

? x ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f? 1 . ?? 2 ? 2 ?
则称 f (x) 为[a,b]上的凸函数。

(1)

若把(1)式的不等号反向,则称这样的 f (x) 为[a,b]上的凹函数。 凸函数的几何意义是:过 y ? f (x) 曲线上任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方或在曲 线上。 其推广形式是:若函数 f (x) 的是[a,b]上的凸函数,则对[a,b]内的任意数 x1 , x2 ,? xn ,都有

? x ? x2 ? ? ? xn ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) f? 1 . ?? n n ? ?

(2)

当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。 更为一般的情况是:设 f (x) 是定义在区间[a,b]上的函数,如果对于[a,b]上的任意两点 x1 , x 2 , 有 pf ( x1 ) ? qf ( x2 ) ? f ( px1 ? qx2 ),
? 其 中 p, q ? R , p ? q ? 1 , 则 称 f (x) 是 区 间 [a,b] 上 的 凸 函 数 。 如 果 不 等 式 反 向 , 即 有

pf ( x1 ) ? qf ( x2 ) ? f ( px1 ? qx2 ), 则称 f (x) 是[a,b]上的凹函数。
其推广形式 ,设 q1 , q2 ,?, qn ? R ? , q1 ? q2 ? ? ? qn ? 1, f (x) 是[a,b]上的凸函数,则对任 意 x1 , x2 ,?, xn ? [a, b], 有 f (q1 x1 ? q2 x2 ? ? ? qn xn ) ? q1 f ( x1 ) ? q2 f ( x2 ) ? ? ? qn f ( xn ) , 当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时等号成立。 若 f (x) 是凹函数,则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于 一些具体的函数,可以推出许多著名不等式。

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 08 课时 不等式的证明方法之二:综合法与分析法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基本方法。由于两者 在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路 方法的特点。 所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步推导出要证的不等 式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是 “由因及果” ,后一种是“执果索因” 。打一个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐 步寻找,直至找到他,这是“综合法” ;而张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法” 。 以前得到的结论, 可以作为证明的根据。 特别的,A ? B ? 2 AB 是常常要用到的一个重要不等式。
2 2

二、典型例题: 例 1、 a, b 都是正数。求证:
2 2

a b ? ? 2. b a

证明:由重要不等式 A ? B ? 2 AB 可得

a b a b ? ?2 ? 2. b a b a
本例的证明是综合法。 例 2、设 a ? 0, b ? 0 ,求证 a ? b ? a b ? ab .
3 3 2 2

证法一 分析法 要证 a ? b ? a b ? ab 成立.
3 3 2 2

只需证 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) 成立,
2 2

又因 a ? b ? 0 , 只需证 a ? ab ? b ? ab 成立,
2 2

又需证 a ? 2ab ? b ? 0 成立,
2 2

即需证 (a ? b) ? 0 成立.
2

而 (a ? b) ? 0 显然成立. 由此命题得证。
2

证法二 综合法

(a ? b) 2 ? 0 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ab
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注意到 a ? 0, b ? 0 ,即 a ? b ? 0 , 由上式即得 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) , 从而 a ? b ? a b ? ab 成立。
3 3 2 2

议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗? 例 3、已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b. 求证: 证法一 要证(1) ,只需证 b(a ? m) ? a(b ? m)

a?m a ? . b?m b
(2)

(1)

要证(2) ,只需证 bm ? am (3) 要证(3) ,只需证 b ? a (4) 已知(4)成立,所以(1)成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b ? a, m 是正数,所以 bm ? am 两边同时加上 ab 得 b(a ? m) ? a(b ? m) 两边同时除以正数 b(b ? m) 得(1) 。 读一读:如果用 P ? Q 或 Q ? P 表示命题 P 可以推出命题 Q(命题 Q 可以由命题 P 推出) , 那么采用分析法的证法一就是 (1) ? (2) ? (3) ? (4). 而采用综合法的证法二就是

(4) ? (3) ? (2) ? (1).

如果命题 P 可以推出命题 Q,命题 Q 也可以推出命题 P,即同时有 P ? Q, Q ? P ,那么我 们就说命题 P 与命题 Q 等价,并记为 P ? Q. 在例 2 中,由于 b, m, b ? m 都是正数,实际上

(1) ? (2) ? (3) ? (4).
例 4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 L ,则 周长为 L 的圆的半径为
2

L L ? L ? ?L? ,截面积为 ? ? ? ;周长为 L 的正方形为 ,截面积为 ? ? 。所以 2? 4 ?4? ? 2? ?
2

2

2

本题只需证明 ? ?

? L ? ? L? ? ?? ? 。 ? 2? ? ?4? ? L ? ? ,截面是正方形的水管的 ? 2? ?
2

证明:设截面的周长为 L ,则截面是圆的水管的截面面积为 ? ?

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?L? ? L ? ? L? 截面面积为 ? ? 。只需证明: ? ? ? ?? ? 。 ?4? ? 2? ? ?4?

2

2

2

?L2 L2 ? 为了证明上式成立,只需证明 。 4? 2 16
两边同乘以正数

4 1 1 ,得: ? 。 2 ? 4 L

因此,只需证明 4 ? ? 。 上式显然成立,所以 ? ?

? L ? ? L? ? ?? ? 。 ? 2? ? ?4?

2

2

这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。
2 2 2

证法一

因为

a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ca
2 2 2

(2) (3) (4) (5)

所以三式相加得 2(a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) 两边同时除以 2 即得(1) 。 证法二 因为 a ? b ? c ? (ab ? bc ? ca ) ?
2 2 2

1 1 1 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0, 2 2 2

所以(1)成立。 例 6、证明: (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 . 证明 (1) ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ? 0 (1) (2)

? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ) ? 0 (3) ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2abcd ? 0 ? (bc ? ad) 2 ? 0
(5)显然成立。因此(1)成立。
3 3 3

(4) (5)

. 例 7、已知 a, b, c 都是正数,求证 a ? b ? c ? 3abc 并指出等号在什么时候成立?
分析:本题可以考虑利用因式分解公式

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)
着手。

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证明:

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc
= (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) =

1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ]. 2

由于 a, b, c 都是正数,所以 a ? b ? c ? 0. 而 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 , 可知 a ? b ? c ? 3abc ? 0
3 3 3 3 3 3 即 a ? b ? c ? 3abc(等号在 a ? b ? c 时成立)

探究:如果将不等式 a ? b ? c ? 3abc中的 a 3 , b 3 , c 3 分别用 a, b, c 来代替,并在两边同除以
3 3 3

3,会得到怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式:

(1 ? a ? b)(1 ? b ? c)(1 ? c ? a) ? 27 ,其中 a, b, c 是互不相等的正数,且 abc ? 1 .

三、小结: 解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或 代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都 和原来的不等式等价。这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、练习: 1、已知 x ? 0, 求证: x ?

1 ? 2. x

2、已知 x ? 0, y ? 0, x ? y, 求证

1 1 4 ? ? . x y x? y

3、已知 a ? b ? 0, 求证 a ? b ? 4、已知 a ? 0, b ? 0. 求证: (1) (a ? b)(a
?1

a ? b.

? b ?1 ) ? 4.
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(2) (a ? b)(a 2 ? b 2 )(a 3 ? b 3 ) ? 8a 3b 3 . 5、已知 a, b, c, d 都是正数。求证: (1)

a?b?c?d ? ab ? cd ; 2

(2)

a?b?c?d 4 ? abcd . 4

6、已知 a, b, c 都是互不相等的正数,求证 (a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc .

五、作业:

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 09 课时 不等式的证明方法之三:反证法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系列的逻 辑推理,证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用 间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假, 或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。其中,反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证法不直接 证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合理的逻辑推理, 而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。 二、典型例题: 例 1、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 )

例 1、设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
2 因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾,所以,原不
3 3 3 3

等式 a ? b ? 2 成立。 例 2、设二次函数 f ( x) ? x ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于
2

1 . 2

证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

1 ,则 2
(1)

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1)(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 、 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用 反证法进行。
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议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果 与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述 两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点? 例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

1 4

证:设(1 ? a)b >

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4
1 64

2

则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

又∵0 < a, b, c < 1

∴ 0 ? (1 ? a)a ? ?

1 ? (1 ? a) ? a ? ? ?4 2 ? ?

同理: (1 ? b)b ?

1 , 4

(1 ? c)c ?

1 4
1 64
与①矛盾

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

∴原式成立 例 4、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证:设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 三、小结:

四、练习: 1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b ,则

a?m a ? . b?m b

2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 x y
∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。

提示:反设

1? y 1? x ≥2, ≥2 x y

五、作业:

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 10 课时 不等式的证明方法之四:放缩法与贝努利不等式 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大(或缩小) ,使之得出明显的不等量关系后, 再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方 法,尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题: 例 1、若 n 是自然数,求证

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

证明:?

1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n
= ? ( ? ) ? ( ? ) ??? (

?

1 1

1 1

1 2

1 2

1 3

1 1 ? ) n ?1 n

=2?

1 ? 2. n

注意:实际上,我们在证明

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中,已经得到一个更强的结论 2 1 2 3 n

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 2 n 1 2 3 n

例 2、求证: 1 ? ?

1 1 1 1 ? ??? ? 3. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n

证明:由

1 1 1 ? ? k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 1? 2 ? 3 ? ?? k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2
1 1 1 1 ? ? ??? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n

得1 ?

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1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? 1 ? 2 2 2 2

1?

1 2 n ? 3 ? 1 ? 3. 1 2 n?1 1? 2

例 3、若 a, b, c, d?R+,求证: 1 ?

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

证:记 m =

a b c d ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

∵a, b, c, d?R+ ∴m ?

a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c
a b c d ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c
即原式成立。

m?

∴1 < m < 2

例 4、当 n > 2 时,求证: logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ logn (n ? 1) ? 0,

logn (n ? 1) ? 0
2 2

? logn (n 2 ? 1) ? ? logn (n ? 1) ? logn (n ? 1) ? ∴ logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? logn n 2 ? ?? ? ?1 ? 2 ?
∴n > 2 时, 三、小结:
2

logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1

四、练习: 1、设 n 为大于 1 的自然数,求证

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2

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2、设 n 为自然数,求证 (2 ?

1 3 5 2n ? 1 1 )( 2 ? )( 2 ? ) ? (2 ? )? . n n n n n!

五、作业: A组 1、对于任何实数 x ,求证: (1) x ? x ? 1 ?
2

3 1 2 ; (2) 1 ? x ? x ? 1 . 4 4

2、设 a ? b ,求证: (1) a ? 3b ? 2b(a ? b) ; (2) a ? 6a b ? b ? 4ab(a ? b ).
2 2 4 2 2 4 2 2

3、证明不等式 a ? b ? a b ? ab .
4 4 3 3

4、若 a, b, c 都是正数,求证: (a ? b ? c)(a ? b ? c ) ? (a ? b ? c ) .
3 3 3 2 2 2 2

5、若 a ? b ? c ? 0, 求证 a b c
2a 2b

2c

? a b ? c b a ? c c a ?b .
a b ? ? 2 ,并指出等号成立的条件. b a

6、如果 a, b 同号,且均不为 0. 求证:

7、设 a, b, c 是互不相等的正数,求证:

b?c?a c?a ?b a ?b?c ? ? ? 3. a b c

8、已知三个正数 a, b, c 的和是 1,求证这三个正数的倒数的和必不小于 9. 9、若 0 ? ? ?

?
2

,则 1 ? sin ? ? cos? ?

2.
1 1 )(1 ? ) ? 9. x y

10、设 x, y ? R ? ,且 x ? y ? 1, 求证: (1 ?

2 11、已知 x ? 0 ,求证: (1) x ?

1 x2 ? 3 ? 1; (2) ? 2. x2 ?1 x2 ? 2

12、设 a, b 是互不相等的正数,求证: ? ? 13、已知 a, b 都是正数,求证:

? b 2 a 2 ?? b a ?? 1 1 ? ? ?? ? ?? ? ? ? 8. b ?? a b ?? a b ? ? a ?

(1) (1 ? a ? b)(1 ? a ? b ) ? 9ab; (2) (a b ? a ? b )(ab ? a ? b) ? 9a b .
2 2 2 2 2 2 2 2

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14、已知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, 求证: ax ? by ? cz ? 1. 15、已知 a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1, 求证: ax ? by ? 1. 16、已知 a, b, c, d 都是正数,且有 x ? 求证: xy ? (ac ? bd)(ad ? bc) 17、已知 a1 , a2 , a3 ,?an 都是正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1 , 求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) ? 2 n 18、设 ?ABC 的三条边为 a, b, c, 求证 ab ? bc ? ca ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) . 19、已知 a, b, x, y 都是正数,设 a ? b ? 1, u ? ax ? by, v ? bx ? ay. 求证: uv ? xy . 20、设 n 是自然数,利用放缩法证明不等式

a2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

1 1 1 1 ? ? ??? ? 2. n ?1 n ? 2 n ? 3 3n

21、若 n 是大于 1 的自然数,试证

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? . 2 n ?1 2 n 3 n
B组

22、已知 a, b, c, x, y, z 都是正数,且

x y z x x? y?z z ? ? , 求证: ? ? . a b c a a?b?c c

23、设 a ? b ? 0 ,试用反证法证明

a?b a?b a sin x ? b 不能介于 与 之间。 a?b a?b a sin x ? b

24、若 n 是自然数,求证

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? . 2 4 1 2 3 n

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链接:放缩法与贝努利不等式
在用放缩法证明不等式时,有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说,如果在和式

a ? b ? c ? d ? e 里 d和e 都 是 正 数 , 可 以 舍 掉 d和e , 从 而 得 到 一 个 明 显 成 立 的 不 等 式
a?b?c?d ?e ? a?b?c. 例如,对于任何 x ? 0 和任何正整数 n ,由牛顿二项式定理可得

(1 ? x) n ? 1 ? nx ?

n(n ? 1) 2 n(n ? 1)( n ? 2) 2 x ? x ??? xn. 1? 2 1? 2 ? 3

舍掉等式右边第三项及其以后的各项,可以得到不等式: (1 ? x) n ? 1 ? nx . 在后面章节的学习中,我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当 n 是 正整数的时候成立,而且当 n 是任何大于 1 的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。 在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式:设 x ? ?1 ,则在 ? ? 1 或 ? ? 0 时,

(1 ? x)? ? 1 ? ?x ,在 0 ? ? ? 1 时, (1 ? x)? ? 1 ? ?x.

阅读材料:贝努利家族小史
在数学发展史上,17-18 世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利(Bernoulli)家族(瑞士) , 这个家族中的三代人中共出现了 8 位数学家, 它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。 其中, 又以第一代的雅各布?贝努利 (Jacob Bernoulli, 1654.12-1705.8) 约翰?贝努利 、 (Johann Bernoulli, 1667.8-1748.1)兄弟和第二代的丹尼尔?贝努利(Danial Bernoulli,1700.2-1782.3,约翰?贝努利的儿 子)最为著名。 在数学的多个分支中,以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的 “贝努利不等式”之外,将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”“贝努利级数判别法” 、 ,解 析几何中的“贝努利双纽线” ,概率论中的“贝努利定理” (即“大数定律”的早期形式)“贝努利 、 数”“贝努利多项式”等等。特别是,丹尼尔?贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中, 、 取得了卓著的成就,被推崇为数学物理方法的奠基人。 贝努利家族之所以取得如此大的数学成就,至少有以下几个方面的主要原因: (1)对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的 8 位数学家,可以发现一个共同的特点:都是从父 辈不同意他们研究数学,而要求他们经商、从医或做律师开始,到最终走上从事数学的生涯。这一 过程中,个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然,家族的数学传统和学习精神的 影响也是不容忽视的重要因素。 (2)广泛的学术交流。贝努利家族的成员们,都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术 交流和争辩,以此互相促进和提高。如雅各布?贝努利、约翰?贝努利与他们那个时代的大数学家、 微积分的创始人莱布尼茨之间, 丹尼尔?贝努利与当时欧洲数学界的中心人物——欧拉的频繁通信交 流成为数学史上的美谈。 (3)继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新,是贝努利家 族成员从事研究的又一个共同特点。 贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期: 一是从常量数学到变量数学的转折;二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新 思想、新方法,更是进行了大胆地改进、突破,取得了许多开创性的成就。 亲爱的同学们,你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢?

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 11 课时 几个著名的不等式之一:柯西不等式 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 除了前面已经介绍的贝努利不等式外,本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等 著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛,而且也是进一步学习数学的重要工具。 1、什么是柯西不等式: 定理 1: (柯西不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数,则

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ,
其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。 证明:

几何意义:设 ? , ? 为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量,它们的终点分别为 A( a, b ) , B( c, d ) ,那么它们的数量积为 ? ? ? ? ac ? bd , 而 | ? |?

a 2 ? b 2 , | ? |? c 2 ? d 2 ,

所以柯西不等式的几何意义就是: | ? | ? | ? |?| ? ? ? | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 2、定理 2: (柯西不等式的向量形式)设 ? , ? 为平面上的两个向量,则 | ? | ? | ? |?| ? ? ? | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 3、定理 3: (三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数,则:

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ( y 2 ? y3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y3 ) 2
分析:

思考:三角形不等式中等号成立的条件是什么? 4、定理 4: (柯西不等式的推广形式) :设 n 为大于 1 的自然数, ai , bi ( i ? 1,2,?, n )为

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任意实数, 则:

? ai
i ?1

n

2

? bi ? (? ai bi ) 2 ,其中等号当且仅当
2 i ?1 i ?1

n

n

b b1 b2 (当 ai ? 0 ? ? ? ? n 时成立 a1 a2 an

时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,?, n ) 。 证明:构造二次函数: f ( x) ? (a1 x ? b1 ) 2 ? (a2 x ? b2 ) 2 ? ? ? (an x ? bn ) 2 即构造了一个二次函数: f ( x) ? (

? ai ) x 2 ? 2(? ai bi ) x ? ? bi
2 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

2

由于对任意实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,则其 ? ? 0 , 即: ? ? 4(

? ai bi ) 2 ? 4(? ai )(? bi ) ? 0 ,
2 2 i ?1 i ?1 i ?1 n 2 n 2

n

n

n

即: (

? aibi )2 ? (? ai )(? bi ) ,
i ?1 i ?1 i ?1

n

等号当且仅当 a1 x ? b1 ? a2 x ? b2 ? ? ? an x ? bn ? 0 ,

即等号当且仅当

b b1 b2 。 ? ? ? ? n 时成立(当 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,?, n ) a1 a2 an

如果 a i ( 1 ? i ? n )全为 0,结论显然成立。

柯西不等式有两个很好的变式: 变式 1 设 ai ? R, bi ? 0(i ? 1,2,?, n),
2 (? a i ) 2 ai ? ,等号成立当且仅当 ?b i ?1 ? bi i n

bi ? ?ai (1 ? i ? n)
变式 2 设 ai,bi 同号且不为 0(i=1,2,?,n) ,则:
2 a i (? a i ) ? ,等号成立当且仅当 ?b i ?1 i ? ai bi n

b1 ? b2 ? ? ? bn 。
二、典型例题:
2 2 例 1、已知 a ? b ? 1 , x ? y ? 1 ,求证: | ax ? by |? 1。
2 2

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2 2 2 2 例 2、设 a, b, c, d ? R ,求证: a ? b ? c ? d ?

(a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 。

例 3、设 ? , ? , ? 为平面上的向量,则 | ? ? ? | ? | ? ? ? |?| ? ? ? | 。

例 4、已知 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 方法 1:

1 1 1 ? ? ? 9。 a b c

方法 2: (应用柯西不等式)

例 5:已知 a1 , a2 ,?, an 为实数,求证: 分析:

? ai ?
2 i ?1

n

1 n (? a i ) 2 。 n i ?1

推论:在 n 个实数 a1 , a2 ,?, an 的和为定值为 S 时,它们的平方和不小于

1 2 S ,当且仅当 n

1 a1 ? a2 ? ? ? an 时,平方和取最小值 S 2 。 n
三、小结:

四、练习:

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1、设 x1,x2,?,xn >0, 则

?
i ?1

n

xi 1 ? xi
n

?

?
i ?1

n

xi

n ?1

2、设 xi ? R ? (i=1,2,?,n)且

x ? 1 ? ix ? 1 求证: i ?1 i

?x
i ?1

n

i

?2

1?i ? j ? n

?x x
i

j



3、设 a 为实常数,试求函数 f ( x) ? sin x(a ? cos x) 4、求函数 f ( x) ? a ? sin x ? b cos x 在 (0,

(x∈R)的最大值.

?
2

) 上的最大值,其中 a,b 为正常数.

五、作业: 1、已知: a ? b ? 1 , m ? n ? 2 ,证明: ? 2 ? am ? bn ?
2 2 2 2

2。

提示:本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。 2、若 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z = a , x 2 ? y 2 ? z 2 =

1 2 a (a ? 0) ,求证: x, y, z 都是不大 2



2 a 的非负实数。 3
证明:由 z ? a ? x ? y 代入 x ? y ? z =
2 2 2

1 2 a 2

可得

2 x 2 ? 2(a ? y ) x ? (a ? y ) 2 ?
x?R

1 2 a ?0 2
2



∴△≥0

即 4(a ? y) ? 8? y ? (a ? y) ? a ? ? 0 2 ? ?
2 2 2

?

1

?

化简可得 : 3 y ? 2ay ? 0
2



a?0

∴0 ? y ?

2 a 3

同理可得: 0 ? x ?

2 a 3

, 0? z?

2 a 3

由此可见,在平常的解题中,一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用;只要能 灵活运用,就能收到事半功倍的效果。 3、设 a﹐b 为不相等的正數,试证:(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2。

4、设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=10,求

4 1 9 ? ? 的最小值。 x y z
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5、设 x,y,z?R,求

2x ? y ? z x 2 ? 2y 2 ? z 2

的最大值。

6、Δ ABC 之三边长为 4,5,6,P 为三角形內部一点 P,P 到三边的距离分別为 x,y,z,求 x2+y2+z2 的最小值。 解:s=

4 ? 5 ? 6 15 ? 2 2

?ABC 面积= s( s ? a)(s ? b)(s ? c) ? 且?ABC=?PAB+?PBC+?PAC

15 7 5 3 15 7 ? ? ? ? 2 2 2 2 4
C

15 7 1 15 7 ? ? (4 x ? 5 y ? 6 z ) ?4x+5y+6z= 4 2 2
由柯西不等式 (4x+5y+6z)2?(x2+y2+z2)(42+52+62)
6 F z x A D 4 P y

152 ? 7 2 2 2 ? ?(x +y +z )?77 4
?x2+y2+z2?

E 5

B

225 44

7、设三个正实数 a,b,c 满足 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 2(a 4 ?b 4 ?c 4 ) ,求证: a,b,c 一定是某三角 形的三边长。 8、求证 n(n ? 3) 个正实数 a1,a2,?,an 满足

(a1 ? a2 ? ?? an ) 2 ? (n ? 1)(a1 ? a2 ? ?? an )
2 2 2 4 4 4

x x2 y2 z2 ? 1 ??求证: 9、已知 x, y, z ? R ,且 ? ? ? ? 1。 2? x 2? x 2? y 2? z
?

10、设 x, y, z ? R ,?求证:

?

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1。 y 2 ? z 2 ? yz z ? x 2 ? zx x ? y 2 ? xy
1 2 3 ? ? 的最小值. x y z

11、设 x, y, z ? R ,且 x+2y+3z=36,求

?

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 12 课时 几个著名的不等式之二:排序不等式 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 1、问题:若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障,对其维修分别需要 45min,25 min 和 30 min, 每台电脑耽误 1 min,网吧就会损失 0.05 元。在只能逐台维修的条件下,按怎么样的顺序维修,才 能使经济损失降到最小? 分析: 二、排序不等式: 1、基本概念: 一般地,设有两组数: a1 ≤ a2 ≤ a3 , b1 ≤ b2 ≤ b3 ,我们考察这两组数两两对应之积的和,利 用排列组合的知识,我们知道共有 6 个不同的和数,它们是: 对 应 关 系 ( a1 , a2 , a3 ) ( b1 , b2 , b3 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b1 , b3 , b2 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b2 , b1 , b3 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b2 , b3 , b1 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b3 , b1 , b2 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b3 , b2 , b1 ) 根据上面的猜想,在这 6 个不同的和数中,应有结论: 同序和 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 最大,反序和 a1b3 ? a2 b2 ? a3b1 最小。 2、对引例的验证:
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S1 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3

同序和

S 2 ? a1b1 ? a2 b3 ? a3b2

乱序和

S3 ? a1b2 ? a2 b1 ? a3b3

乱序和

S 4 ? a1b2 ? a2 b3 ? a3b1

乱序和

S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2

乱序和

S 6 ? a1b3 ? a2 b2 ? a3b1

反序和

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对 应 关 系 (1,2,3) (25,30,45) (1,2,3) (25,45,30) (1,2,3) (30,25,45) (1,2,3) (30,45,25) (1,2,3) (45,25,30) (1,2,3) (45,30,25)







S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 220 S 2 ? a1b1 ? a2b3 ? a3b2 ? 205 S3 ? a1b2 ? a2b1 ? a3b3 ? 215 S 4 ? a1b2 ? a2b3 ? a3b1 ? 195 S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2 ? 185 S 6 ? a1b3 ? a2b2 ? a3b1 ? 180

同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和

3、类似的问题: 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水, 如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别是 4 分钟, 8 分钟,6 分钟,10 分钟,5 分钟。那么如何安排这 5 个人接水的顺序,才能使他们等待的总时间 最少? 分析:

4、排序不等式的一般情形: 一般地,设有两组实数: a1 , a2 , a3 ,?, an 与 b1 , b2 , b3 ,?, bn ,且它们满足:

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤?≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤?≤ bn ,
若 c1 , c2 , c3 ,?, cn 是 b1 , b2 , b3 ,?, bn 的任意一个排列,则和数 a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn 在 a1 , a2 , a3 ,?, an 与 b1 , b2 , b3 ,?, bn 同序时最大,反序时最小,即:

a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? an b1 ,
等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时成立。 分析:用逐步调整法

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北师大版高中数学选修 4-5《不等式选讲》全套教案

三、典型例题: 例 1、已知 a, b, c 为正数,求证:

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc。 a?b?c

a a a a 例 2、 a1 ,a2 ,a3 , 设 ?,an 为正数, 求证: 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an 。 a2 a3 an a1

2

2

2

2

四、小结: 五、练习: 六、作业: 1、求证: a ? b ? c ? d ? ab ? bc ? cd ? da 。
2 2 2 2

2、在△ABC 中,ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高,求证:asinA+bsinB+csinC ? ha + hb +hc .

a 6 ? b6 a ? b a 2 ? b 2 a3 ? b3 ? ? ? 3、若 a>0,b>0,则 . 2 2 2 2
4、在△ABC 中,求证: a 2 (b ? c ? a) ? b 2 (c ? a ? b) ? c 2 (a ? b ? c) ? 3abc. (IMO) 5、若 a1,a2,?,an 为两两不等的正整数,求证:

?k
k ?1

n

ak
2

n 1 ?? . k ?1 k

6、若 x1,x2,?,xn≥0,x1+x2+?+xn≤

1 1 ,则 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? (1 ? x n ) ? . 2 2

选修 4_5
课 题: 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 第 13 课时

不等式选讲

几个著名的不等式之三:平均不等式

2 2 1、定理 1:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )

证明: a ? b ? 2ab ? (a ? b)
2 2

2

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当a ? b时, ? b) 2 ? 0? (a 2 2 ? ? a ? b ? 2ab 2 当a ? b时, ? b) ? 0? (a
1.指出定理适用范围: a, b ? R 强调取“=”的条件 a ? b 。 2、定理 2:如果 a, b 是正数,那么 证明:∵ ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab 即:

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ) 2
∴ a ? b ? 2 ab 当且仅当 a ? b 时
?

a?b ? ab 2

a?b ? ab 2

注意:1.这个定理适用的范围: a ? R ; 2.语言表述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3 3 3 3、定理 3:如果 a, b, c ? R ? ,那么 a ? b ? c ? 3abc(当且仅当 a ? b ? c 时取“=” )

证明:∵ a ? b ? c ? 3abc ? (a ? b) ? c ? 3a b ? 3ab ? 3abc
3 3 3 3 3 2 2

? (a ? b ? c)[(a ? b) 2 ? (a ? b)c ? c 2 ] ? 3ab(a ? b ? c) ? (a ? b ? c)[a 2 ? 2ab ? b 2 ? ac ? bc ? c 2 ? 3ab] ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)
? 1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] 2
?

∵ a, b, c ? R

∴上式≥0

从而 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3

指出:这里 a, b, c ? R ?

∵ a ? b ? c ? 0 就不能保证。

推论:如果 a, b, c ? R ? ,那么

a?b?c 3 ? abc 。 (当且仅当 a ? b ? c 时取“=” ) 3

证明: (3 a ) 3 ? (3 b ) 3 ? (3 c ) 3 ? 33 a ? 3 b ? 3 c

? a ? b ? c ? 33 abc ?
a?b?c 3 ? abc 3

4、算术—几何平均不等式: ①.如果 a1 , a2 ,?, an ? R ? , n ? 1且n ? N ? 则:
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a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这 n 个正数的算术平 n

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均数, n a1a 2 ? a n 叫做这 n 个正数的几何平均数; ②.基本不等式:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ≥ a1a 2 ? a n ( n ? N * , ai ? R ? ,1 ? i ? n ) n

这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略) 语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③.

a?b ? ab 的几何解释: 2
则 CD ? CA ? CB ? ab ,
2

以 a ? b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,过 C 作弦 DD’?AB 从而 CD ?

ab ,而半径

a?b ? CD ? ab 。 2

D

A

a O C b

B

二、典型例题: 例 1、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。
2 2 2

证:∵ a ? b ? 2ab
2 2

b2 ? c2 ? 2bc
2 2 2

c 2 ? a 2 ? 2ca

以上三式相加: 2(a ? b ? c ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca ∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

例 2、设 a, b, c 为正数,求证: (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c 2 ) ? 16abc 。

例 3、设 a1 , a2 , a3 ,?, an 为正数,证明:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? 。 1 1 1 n ? ??? a1 a 2 an

例 4、若 x, y ? R ,设 Q( x, y) ?

?

x2 ? y2 2

A( x, y ) ?

x? y 2

G( x, y) ? xy

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H ( x, y ) ? 2 1 ? ? x y
求证: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y)

加权平均;算术平均;几何平均;调和平均 证:∵ (

x ? y 2 x 2 ? y 2 ? 2 xy x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 x 2 ? y ) ? ? ? 2 4 4 2



x2 ? y2 x ? y 即: Q( x, y) ? A( x, y) (俗称幂平均不等式) ? 2 2

由平均不等式 A( x, y) ? G( x, y)

H ( x, y) ?

2 xy 2 xy ? ? xy ? G( x, y) 即: G( x, y) ? H ( x, y) x ? y 2 xy

综上所述: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y) 三、小结: 四、练习: 五、作业: 1、若 a ? b ? 1, a, b ? R ? 求证 (a ?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2

证:由幂平均不等式: (a ?

1 2 1 ) ? (b ? ) 2 ? a b

(a ?

1 1 ? b ? )2 a b 2

?

(1 ?

a?b a?b 2 b a ? ) (3 ? ? ) 2 2 a b a b ? (3 ? 2) ? 25 ? 2 2 2 2

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选修 4_5

不等式选讲

课 题: 第 14 课时 利用平均不等式求最大(小)值 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 1、重要的结论: 已知 x,y 都是正数,则: (1)、如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; (2)、如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 二、典型例题: 例 1、当 x 取什么值时,函数 y ? 4 x ?
2

1 2 S 。 4

9 有最小值?最小值是多少? x2

例 2、求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 6 ( x ? 0 )的最小值。 x ?1

例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400 元的电脑。假定在电脑的使用过程中,每年的 维修费用约为:第一年为 200 元,第二年 400 元,第三年 600 元,?,按等差数列递增。这台电脑 使用多少年报废最合算? 分析:

例 4、如图,电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A 点的水平距离是 a ,那么电灯距 离桌面的高度 h 等于多少时,A 点处最亮?(亮度公式: I ? 照射点的距离, ? 是照射到某点的光线与水平面所成的角) 分析:
r h

k sin ? ,这里 k 为常数, r 是电灯到 r2

a O

A

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例 5、求函数 y ? 2 x ?
2

3 , ( x ? 0) 的最大值,下列解法是否正确?为什么? x

解一: y ? 2 x ?
2

3 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 x x x x x

∴ ymin ? 33 4 解二: y ? 2 x ?
2
3 3 3 3 12 时 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2 x 2 ? 即 x ? x 2 x x

y min ? 2 6 ?

3

12 ? 2 33 12 ? 26 324 2
2

答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=” ,即不存在 x 使得 2 x ?

1 2 ? ;解二错在 x x

2 6x 不是定值(常数)
正确的解法是: y ? 2 x ?
2

3 3 3 3 3 9 3 ? 2x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 ? 3 36 x 2x 2x 2x 2x 2 2

当且仅当 2 x ?
2

3 3 3 6 即x ? 时 y min ? 3 36 2x 2 2

x 2 ? 2x ? 2 例 6、若 ? 4 ? x ? 1 ,求 的最值。 2x ? 2
解:

x 2 ? 2 x ? 2 1 ( x ? 1) 2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? [(x ? 1) ? ] ? ? [?( x ? 1) ? ] 2x ? 2 2 x ?1 2 x ?1 2 ? ( x ? 1)
∵? 4 ? x ?1 ∴ ? ( x ? 1) ? 0

1 ?0 ? ( x ? 1)

从而 [?( x ? 1) ?

1 ]? 2 ? ( x ? 1)

1 1 ? [?( x ? 1) ? ] ? ?1 2 ? ( x ? 1)

即(

x 2 ? 2x ? 2 ) min ? ?1。 2x ? 2

例 7、设 x ? R 且 x ?
2

?

y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值 2

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解:∵ x ? 0 ∴ x 1? y2 ?

1 y2 2 ? x2 ( ? ) 2 2

1 y2 y2 1 3 2 ) ? (x ? ) ? ? 又x ?( ? 2 2 2 2 2
2

∴ x 1? y ?
2

1 3 3 2 2( ? ) ? 2 2 4 3 2 4
a b ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y a x b ay xb ) ? a?b? ? y x y

即 ( x 1 ? y ) max ?
2

例 8、已知 a, b, x, y ? R ? 且

解: x ? y ? ( x ? y ) ? 1 ? ( x ? y )( ?

? a?b?2
ay xb x 即 ? ? x y y

ay xb ? ? ( a ? b)2 x y

当且仅当

a 时 ( x ? y) min ? ( a ? b ) 2 b

三、小结:

四、练习: 1.求下列函数的最值: 1? 、 y ? 2 x ?
2

4 , (x ? R ? ) x

(min=6)

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2?、 y ? x(a ? 2 x) , (0 ? x ?
2

a ) 2

( max ?

2a 3 ) 27

2.1?、 x ? 0 时求 y ?

6 6 9 ? 3 x 2 的最小值, y ? 2 ? 3 x 的最小值 (9, 3 4 ) x 2 x

2?、设 x ? [ ,27 ] ,求 y ? log 3

1 9

x ? log 3 (3x) 的最大值(5) 27

3?、若 0 ? x ? 1 , 求 y ? x 4 (1 ? x 2 ) 的最大值 ( 4?、若 x, y ? R ? 且 2 x ? y ? 1 ,求

4 2 3 ,x ? ) 27 3

1 1 ? 的最小值 (3 ? 2 2 ) x y

3.若 a ? b ? 0 ,求证: a ?
3

1 的最小值为 3 b( a ? b)

4. 制作一个容积为 16?m 的圆柱形容器(有底有盖), 问圆柱底半径和高各取多少时, 用料最省? (不计加工时的损耗及接缝用料) ( R ? 2m, h ? 4m)

五、作业: 1、将一块边长为 a 的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形) ,作成一个无盖的铁盒, 要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少? 解:设剪去的小正方形的边长为 x 则其容积为 V ? x(a ? 2 x) , (0 ? x ?
2

a ) 2

V ?

1 ? 4 x ? (a ? 2 x) ? (a ? 2 x) 4

1 4 x ? ( a ? 2 x ) ? ( a ? 2 x ) 3 2a 3 ? [ ] ? 4 3 27
当且仅当 4 x ? a ? 2 x 即 x ?

a 时取“=” 6
a 2a 3 时,铁盒的容积为 6 27

即当剪去的小正方形的边长为

2、某种汽车购买时的费用是 10 万元,每年的保险费、养路费及汽油费合计为 9 千元;汽车的 维修费平均为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依等差数列逐年递增。问这种汽车 使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)? 解:设这种汽车使用 n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为
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0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? ? ? 0.2n ? n(n ? 1) ? 0.2 ? 0.1(n 2 ? n) (万元) 2

年平均费用 y=

10 ? 0.9n ? 0.1(n 2 ? n) 10 n 10 n ? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 3 n n 10 n 10

当且仅当

10 n ? 即 n=10 时取等号。 n 10

答:这种汽车使用 10 年报废最合算。 3、设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为λ (λ >1),画面的上、下 各留 8cm 的空白,左、右各留 5cm 的空白。怎样确定画面的高与宽尺才,能使宣传画所用纸张面积 最小?(2001 年全国文科高考题) 解:设画面的宽为 x cm,则画面的高为
2

4840 ,设纸张面积为 S x cm

S= ( x ? 10)(

4840 3025 3025 ? 16) ? 5000? 16( x ? ) ? 5000? 16 ? 2 x ? ? 6760 x x x

当且仅当 x=

3025 4840 ? 88 ,即 x= 55 cm,此时高 x 55

??

55 5 ? ?1 88 8

答:画面高为 88cm,宽为 55cm 时,能使所用纸张面积最小。 评注:在应用均值不等式解决这类实际问题时,应注意: ① 设变量,一般把要求最大值和最小值的变量设为函数; ② 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; ③ 在定义域内,求函数的最大值或最小值;正确写出答案。

第 49 页

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选修 4_5
课 题: 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 第 15 课时

不等式选讲

利用柯西不等式求最大(小)值

1、柯西不等式:

? a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

? (? ai bi ) 2 。
i ?1

n

二、典型例题: 例 1、把一条长是 m 的绳子截成三段,各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面 积和最小?

例 2、如图,等腰直角三角形 AOB 的直角边为 1,在这个三角形内任意取一点 P,过 P 分别引 三边的平行线,与各边围成以 P 点为顶点的三个三角形(图中阴影部分) ,求这三个三角形面积和的 最小值,以及取到最小值时点 P 的位置。 分析:
B

D

E

F

G P J C A

三、小结:

O

四、练习:

五、作业:

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选修 4_5
课 题: 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 第 16 课时 数学归纳法与不等式

不等式选讲

数学归纳法是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在 n=1(或 n 0 )时成立,这 是递推的基础; 第二步是假设在 n=k 时命题成立, 再证明 n=k+1 时命题也成立, 这是递推的依据。 实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。证明时,关键是 k+1 步的推证,要有目标意识。 二、典型例题: 例 1、证明: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 2 。

* 例 2、设 x ? ?1 , n ? N ,证明贝努利不等式: (1 ? x) n ? 1 ? nx 。

例 3、设 a, b 为正数, n ? N ,证明:
*

an ? bn a?b n ?( ) 。 2 2

例 4、设数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若对于所有的自然数 n,都有 S n = n(a1 ? a n ) ,证明{a n }
2

是等差数列。 (94 年全国文)

8 例 5、已知数列 2 ·12 ,得,?, 1 ·3

8·n ,?。S n 为其前 n 项和,求 S 1 、S 2 、S 3 、 ( 2n ? 1)2 · (2n ? 1)2

S 4 ,推测 S n 公式,并用数学归纳法证明。 (93 年全国理)
2 解:计算得 S 1 = 8 ,S 2 = 24 ,S 3 = 48 ,S 4 = 80 , 猜测 S n = ( 2n ? 1) ? 1 2

9

25

49

81

( 2n ? 1)

(n∈N)

【注】 从试验、观察出发,用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这 是探索性问题的证法,数列中经常用到。 (试值 → 猜想 → 证明) 【另解】 用裂项相消法求和

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例 6、设 a n = 1×2 + 2×3 +?+ n(n ?1) (n∈N),证明: 1 n(n+1)<a n < 1 (n+1)
2 2
2



三、小结:

四、练习:

五、作业: 1、设 f(log a x)= a( x 2 ? 1) , ①.求 f(x)的定义域; ②.在 y=f(x)的图像上是否存在两个不
2

x( a ? 1)

同点,使经过这两点的直线与 x 轴平行?证明你的结论。

③.求证:f(n)>n

(n>1 且 n∈N)。

2、 已知数列{a n }满足 a 1 =1, n =a n?1 cosx+cos[(n-1)x], (x≠kπ , a n≥2 且 n∈N)。 求 ①. a2和 a3 ; ②.猜测 a n ,并用数学归纳法证明你的猜测。

3、用数学归纳法证明等式:cos x ·cos x2 ·cos x3 ·?·cos xn =
2 2

sin x x 2 · sin n 2
n

(81 年全国高考)

2

2

4、用数学归纳法证明:6

2 n?1

+1

(n∈N)能被 7 整除。

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