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推理与数学归纳法


推理与数学归纳法检测
一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,共 50 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1 1 1.使不等式a<b成立的条件是( A.a>b C.a>b 且 ab<0 解析 答案 ) B.a<b D.a>b 且 ab>0

1 1 1 1 若 a>b,ab>0,则 a×ab>b×ab,∴b>a. D )

2.下面使用类比推理正确的是(

A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“ c =c+c(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 解析 答案 C 选项中描述的是乘法的分配律,故 C 正确. C

1 3. 设 f(x)= x , 利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方 2+ 2 法,可求得 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为( A. 2 C.3 2 解析 答案 A.25 C.7
1

)

B.2 2 D.4 2 2 f(x)+f(1-x)= 2 . C ) B.6 D.8

4.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?中,第 25 项为(

解析 是 7. 答案

n?n+1? 6×7 对于 2 中,当 n=6 时,有 2 =21,所以第 25 项 C

1 3 1 1 5 1 1 1 7 5.观察式子:1+22<2,1+22+32<3,1+22+32+42<4,?,则 可归纳出式子为( ) 1 1 1 1 A.1+22+32+?n2< 2n-1 1 1 1 1 B.1+22+32+?n2< 2n+1 1 1 1 2n-1 C.1+22+32+?n2< n 1 1 1 2n D.1+22+32+?n2< 2n+1 解析 答案 用 n=2 代入选项判断. C )

6. “等式 sin(α+γ)=sin2β 成立”是“α, β, γ 成等数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析 若 α, β, γ 成等差数列, 则 2β=α+γ, 则 sin2β=sin(α+γ). 但 当 α=γ=30° ,β=60° 时,sin(α+γ)=sin2β,但不满足 α,β,γ 成等 差数列,故选 B. 答案 B 7.在证明命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的过程: “cos4θ - sin4θ = (cos2θ + sin2θ)(cos2θ - sin2θ) = cos2θ -sin2θ= cos2θ” 中应用了( ) B.综合法 D.间接证法
2

A.分析法 C.分析法和综合法

解析 答案

该证明过程是根据公式从等式的左边推到了等式的右边, B 1

故所用的证明方法是综合法.

8.已知等比数列 an= 的递推关系不满足( A.Sk+1=Sk+ak+1 1 B.Sk+1=1+3Sk 1 C.Sk+1=Sk+ k+1 3 )

3

n-1,其部分和

Sn=

ak,则 Sk+1 与 Sk

D.Sk+1=3Sk-3+ak+ak+1 解析 ∵Sn 表示{an}的前 n 项和,∴an+1=Sn+1-Sn, 1 ∴Sk+1=Sk+ak+1.∵ak+1=3k,∴C 选项错. 答案 C ?n+3??n+4? 9. 用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= (n 2 ∈N+)时,验证 n=1 时,左边应取的项是( A.1 C.1+2+3 解析 答案 D B.1+2 D.1+2+3+4 当 n=1 时,左边=1+2+?+(1+3)=1+2+3+4. )

→ ⊥AB → 时, 10.如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB 其离心率为 5-1 2 ,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭 )

圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于(

3

A.

5+1 2

B.

5-1 2 5+1 2 .事实上对直

C. 5-1 解析

D. 5+1

猜想出“黄金双曲线”的离心率 e 等于

角△ABF 应用勾股定理, 得|AF|2=|BF|2+|AB|2, 即有(a+c)2=(b2+c2) c +(a2+b2),注意到 b2=c2-a2,e=a,变形得 e2-e-1=0,从而 e = 5+1 2 . 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 4 个小题,共 20 分) 11. 对于等差数列{an}有如下命题: “若{an}是等差数列, a1=0, s,t 是互不相等的正整数,则有(s-1)at=(t-1)as”.类比此命题, 给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是:“___________________ _________________________________________________________” . 解析 答案 由类比推论可得. 若{bn}是等比数列,b1=1,s,t 是互不相等的正整数,则

-1 t-1 有 bs t =bs

12. 已知命题: “若数列{an}为等差数列, 且 am=a, an=b(m≠n, m,n∈N+),则 am+n= bn-am .”现已知数列{bn}(bn>0,n∈N+)为等 n-m

比数列,且 bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N+),若类比上述结论,则 可得到 bm+n=________.
4

解析

设{an}公差为 d,则 d=

an-am b-a = , n-m n-m

b-a bn-am ∴am+n=am+nd=a+n· = . n-m n-m 类比此推导方法易知:设{bn}公比为 q, 由 bn=bmqn-m 知,b=a· qn-m,∴q=
n

n-m b a.

n-m ?b? n-m bn n ? ?= ∴bm+n=bm· q =a· am . ?a? 答案 n -m b n am

13.数列{an}所有项的和为 S(1),第二项及以后各项的和为 S(2), 第三项及以后各项的和为 S(3),?,第 n 项及以后各项的和为 S(n),若 1 1 S(1)=2,S(2)=1,S(3)=2,?,S(n)= n-2,则 an 等于________. 2 解析 设{an}的前 n 项和为 Tn, 2
n-1,

则 Tn=S(1)-S(n+1)=2-

1

? 1 ? ? 1 ? 1 当 n≥2 时,an=Tn-Tn-1=?2-2n-1?-?2-2n-2?= n-1. ? ? ? ? 2

1 当 n=1 时,a1=S(1)-S(2)=2-1=1,满足 an= n-1, 2 1 故 an= n-1. 2 答案 1 2
n-1

1 1 1 127 14.用数学归纳法证明不等式 1+2+4+?+ n-1> 64 成立,起 2 始值 n0 至少应取为________.

5

解析 1

1 1-2n 1 1 1 1 127 1+2+4+?+ n-1= = 2 - n-1> 1 64 , 2 2 1-2 1 64,∴n-1≥6,∴n≥7.



2

n-1<

答案

7

三、解答题(本题共有 4 个小题,其中 15、16、17 题每题 12 分, 18 题 14 分,共 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 15.(12 分)已知 a,b,c,d∈(0,1),试比较 abcd 与 a+b+c+d -3 的大小. 解 先考虑一个简单问题,比较 ab 与 a+b-1 的大小.事实上, 因为 ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)>0, 所以 ab>a+b-1. 所以 abc=(ab)c>ab+c-1>(a+b-1)+c-1=a+b+c-2. 更进一步,则有 abcd=(abc)d>abc+d-1>(a+b+c-2)+d-1 =a+b+c+d-3, 故有 abcd>a+b+c+d-3. 1 16.(12 分)证明:对于任意实数 x,y 都有 x4+y4≥2xy(x+y)2. 证明 1 (分析法)要证 x4+y4≥2xy(x+y)2,

只需证明 2(x4+y4)≥xy(x+y)2, 即 2(x4+y4)≥x3y+xy3+2x2y2, 要证 2(x4+y4)≥x3y+xy3+2x2y2, 只需 x4+y4≥x3y+xy3 与 x4+y4≥2x2y2 同时成立即可. 又知 x4+y4-2x2y2=(x2-y2)2≥0, 即 x4+y4≥2x2y2 成立. 只需再有 x4+y4≥x3y+xy3 成立即可. 由于 x4+y4-x3y-xy3=(x-y)(x3-y3), ∵x-y 与 x3-y3 同号,∴(x-y)(x3-y3)≥0,
6

即 x4+y4≥x3y+xy3 成立, 1 ∴对于任意实数 x,y 都有 x4+y4≥2xy(x+y)2 成立. x2 y2 17. (12 分)已知椭圆具有性质: 若 M, N 是椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0) 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上除 M,N 点外的任一点,当 直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之 x2 y2 积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)写出类 似的性质,并加以证明. 解 x2 y2 类似性质为:如果 M,N 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上关

于原点对称的两个点,P 是双曲线上除 M,N 点外的任一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是 与点 P 位置无关的定值. 证明如下:设点 M(m,n),P(x,y),则 N(-m,-n), ∵点 M,P 在双曲线上, b2 2 b2 2 2 2 ∴n =a2m -b ,y =a2x -b2.
2

y2-n2 b2 x2-m2 b2 故 kPM· kPN= 2 = 2· = 2(定值). x -m2 a x2-m2 a ax af?n? 18.(14 分)已知函数 f(x)= x (a>0 且 a≠1),an= ,对 f?1-n? a+ a 一切自然数 n,猜想,使 an>n2 成立的最小自然数 a,并证明之. 解 将 f(n), f(1-n)的表达式代入 an 的表达式, 化简得到 an=an, 猜想 a=3,即 3n>n2. 下面用数学归纳法证明. 当 n=1 时,3>1 显然成立, 假设当 n=k(k≥2)时,3k>k2, 那么,当 n=k+1 时,3k+1=3· 3k>3k2, 1? 3 ? 3k2-(k+1)2=2?k-2?2-2,∵k≥2,且 k∈N*,
? ?
7

1? 3 ? ∴2?k-2?2-2>0,故 3k2>(k+1)2.
? ?

∴3k+1>(k+1)2. ∴当 n=k+1 时成立. ∴对任意 n∈N*,都有 3n>n2.

8


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