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2018-2019学年高中数学(人教A版)选修1-1配套课件:1.1.3四种命题间的相互关系_图文

1.1.3 四种命题间的相互关系

主题1 四种命题之间的关系 1.观察下面四个命题,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件 和结论之间分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数. (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数.

(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数. (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.

提示:命题(1)的条件是命题(2)的结论,且命题(1)的结 论是命题(2)的条件,对于命题(1)和(3),其中一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论 的否定;对于命题(1)和(4),其中一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定.

2.通过问题1中的探究,你发现其中任意两个命题之间 的相互关系吗?你能用数学语言描述出来吗? 提示:命题(2)(3)是互为逆否命题,命题(2)(4)是互否 命题,命题(3)(4)是互逆命题.

结论:四种命题间的关系:

若q,则p

若﹁p,则﹁q

若﹁q,则﹁p

【微思考】 1.判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论 的哪方面? 提示:判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件 和结论之间是否互换了,是否都否定了.

2.能不能说“若p,则q”是逆命题或否命题?为什么? 提示:不能,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的, 只有确定了原命题,才有逆命题、否命题的说法,它们 与原命题互为逆命题、互为否命题.

3.如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题? 提示:原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题, 所以只需写出原命题的逆命题的否命题,即得原命题的 逆否命题.

主题2 四种命题的真假性关系 1.主题1问题1中的四个命题,它们的真假性如何? 提示:命题(1)为真命题,(2)是假命题,(3)是假命 题,(4)是真命题.

2.若命题(1)为原命题,你发现哪两个命题的真假性相 同?这种关系是否对任意的有这种关系的两个命题都成 立? 提示:原命题与逆否命题,逆命题与否命题,真假性相同. 且这种关系对任意两个互为逆否的命题都成立.

结论: 1.两个命题互为逆否命题,它们有_相__同__的真假性. 2.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 _没__有__关__系__.

【微思考】 1.一个命题的逆命题与否命题是同真同假命题吗? 提示:可以通过命题的结构形式,即它的条件和结论分 析,逆命题与否命题是互为逆否命题,故逆命题与否命 题是同真同假的.

2.在四种命题中,真命题的个数可能有几个? 提示:因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为 逆否命题,它们同真或同假,所以真命题的个数可能是 0,2或4.

【预习自测】 1.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的同真同假 命题是 ( ) A.若q正确,则p不正确 B.若q不正确,则p正确 C.若p正确,则q不正确 D.若p正确,则q正确

【解析】选D.与逆命题同真同假的命题是否命题,否命 题是“若p正确,则q正确”.

2.已知命题p:“若|a|=|b|,则a=b”,则命题p及其逆

命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.因为a=-b时,|a|=|b|,则命题p为假命题, 命题p的逆命题为:若a=b,则|a|=|b|,为真命题; 又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题,原命题与 其逆否命题互为逆否命题,故真命题的个数是2个.

3.在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、 否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.

【解析】逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”; 否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”; 逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”; 全为真命题. 答案:4

4.已知a,b∈R,则命题“若a>b,则 1 ? 1 ”的逆命题、
ab
否命题、逆否命题,这三个命题中真命题的个数为
______.

【解析】原命题“a>b,则 1 ? 1 ”是假命题,其逆命题
ab
“若 1 ? 1 ,则a>b”也是假命题,又原命题与逆否命题
ab
同真同假,逆命题与否命题同真同假,故三个命题都是
假命题.
答案:0

类型一 四种命题之间的相互关系 【典例1】(1)命题“若-1<x<1,则x2<1”的逆否命题 是( ) A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 B.若x2<1,则-1<x<1 C.若x2>1,则x>1或x<-1 D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1

(2)命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题

“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( )

A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.无关命题

【解题指南】 (1)根据互为逆否命题的概念结合选项进行判断. (2)分清涉及的命题的条件和结论,比较两个命题的条 件与结论之间的关系即可解决.

【解析】(1)选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题 为“若?q,则?p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则 x≥1或x≤-1”. (2)选A.从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因 此为逆命题.

【方法总结】判断四种命题关系的关键 关键是正确找出原命题的条件和结论,若原命题不是 “若p,则q”的形式,应改写成“若p,则q”的形式,并 写出条件和结论的否定:

(1)“换位”得到“若q,则p”为逆命题. (2)“换质”(分别否定)得到“若?p,则?q”为否命题. (3)“换位”又“换质”得到“若?q,则?p”为逆否命 题.

【巩固训练】命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆 否命题是 ( ) A.a,b都不是奇数,则a+b是偶数 B.a+b是偶数,则a,b都是奇数 C.a+b不是偶数,则a,b都不是奇数 D.a+b不是偶数,则a,b不都是奇数

【解析】选D.“都是”的否定是“不都是”,而不是 “都不是”,故该命题的逆否命题是:“a+b不是偶数, 则a,b不都是奇数”.

【补偿训练】下列命题中: ①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; ②若一个四边形对角互补,则它内接于圆; ③正方形的四条边相等; ④圆内接四边形对角互补;

⑤对角不互补的四边形不内接于圆; ⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形. 其中互为逆命题的有________;互为否命题的有 ________;互为逆否命题的有________.

【解析】命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则 它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是 圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为 “若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再 依据四种命题间的关系便不难判断. 答案:②和④,③和⑥ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和 ⑤

类型二 四种命题的真假性

【典例2】(1)原命题为“若

an

? a n?1 2

<an,n∈N*,则{an}

为递减数列”,关于逆命题、否命题、逆否命题真假性

的判断依次如下,正确的是 ( )

A.真、真、真 B.假、假、真

C.真、真、假 D.假、假、假

(2)原命题:“a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆

命题、否命题、逆否命题中,真命题共有 ( )

A.0个

B.1个

C.2个

D.4个

【解题指南】(1)因为原命题和其逆否命题同真假,逆 命题和否命题同真假,所以只要判断原命题和它的逆命 题的真假即可. (2)写出逆命题、否命题及逆否命题,然后判断真假.

【解析】(1)选A.由已知条件可以判断原命题为真,所 以它的逆否命题也为真;而它的逆命题为真,所以它的 否命题亦为真.

(2)选C.对原命题:当c=0时ac2=bc2,故原命题为假命题. 又逆命题为“a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,由不等式 性质,可得此命题为真命题.由命题的同真同假性知,原 命题与逆否命题为假命题,逆命题与否命题为真命题.

【延伸探究】若把本例(1)中“若

an

? a n?1 2

<an,n∈N*”

改为“在等比数列{an}中,若a1>a2>a3”,其他条件不

变,则结果如何?

【解析】由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆 否命题也为真,而它的逆命题为真,所以它的否命题亦 为真.

【方法总结】判断四种命题真假的两种方法 (1)直接判断:利用命题真假判断的方法判断. (2)同真同假转化:由于互为逆否命题的真假具有同真 同假性,因而在判断四种命题的真假时,可以转化为先 判断原命题和逆(否)命题的真假,再利用互为逆否命题 的真假具有同真同假性即可完成.

【拓展延伸】转化与化归的数学思想 转化与化归的思想方法是应用等价转化的思想方
法去解决数学问题;它可以在数与数、形与形、数与 形之间进行转换;它可以将较为烦琐、复杂的问题,变 成比较简单的问题;通过观察、分析、类比、联想等

思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问 题转化为一个新问题(相对来说,自己较熟悉的问题), 并通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.

【巩固训练】已知x∈R,a=x2+ 1 ,b=-x+2,c=x2-x+1.
2
求证:a,b,c中至少有一个不小于1.

【证明】假设a,b,c均小于1,则a+b+c<3.

又a+b+c=2x2-2x+ 7 =2 ( x ? 1 ) 2 +3≥3,与假设矛盾.

2

2

所以a,b,c中至少有一个不小于1.

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 命题真假判断的重要途径 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直 接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它 的逆否命题为真命题,从而间接地证明原命题为真命题.


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