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广东省2016届高三3月适应性考试数学(文)试卷(扫描版)_图文

2016 年适应性测试文科数学答案及评分参考

评分说明:

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的

主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内

容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一

半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.

一.选择题:

(1)A

(2)D

(7)B

(8)C

二.填空题

(13)(-?,-2)

三.解答题 (17)解:

(3)B (9)A

(4)C (10)D

(5)A (11)A

(6)C (12)D

(14)4

(15)纟???è- ? ,

2ú 3 ú?

(16) 3 4

(Ⅰ)由假设,当 n ? 1 时,有 4S1 ? 2a1 ? a12 ,即 4a1 ? 2a1 ? a12.

故 a1(a1 ? 2) ? 0. 由于 a1 ? 0 ,故 a1 ? 2.

(Ⅱ)由题设,对于 n ≥1,有 4Sn ? 2an ? an2



因此

4Sn?1

?

2an?1

?

a2 n?1

,

n≥ 2



………4 分
… …

由①-②得, 4an ? 2an ? 2an?1 ? an2 ? an2?1.

即 2(an ? an?1) ? (an ? an?1)(an ? an?1).

由于 an 和 an?1 均为正数,故 an ? an?1 ? 2, n ≥ 2.

从而?an? 是公差为 2,首项为 2 的等差数列.

因此, an ? 2n, n ≥1.

………12 分

(18)解:



(Ⅰ)在被调查的 100 名学生中,有(35+12)名学生喜欢篮球,因此全校 500 名…学生中喜欢

篮球的人数为: 500? 35 ?12 ? 235 (人). 100

………4 分

(Ⅱ)K 2

100? (35? 28 ?12? 25)2 ?
47 ? 53? 60? 40

? 7.7345 ?


6.635 …,所以有 99%的把握认为该学校的学

生是否喜欢篮球与性别有关. (Ⅲ)从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各选一名,一切可能的结果组成的基本事件有

N ? 6 ? 2 ? 4 ? 48 个,用 M 表示“ P1, B2 不全被选中”这一事件,则对立事件 M 表示“ P1, B2 全

被选中”这一事件,由于 M 包含 (P1, B2 ,V1) ,(P1, B2 ,V2 ) ,(P1, B2 ,V3 ) ,(P1, B2 ,V4 ) 4 个基本

事件,所以 P(M ) ? 4 ? 1 . 48 12

由对立事件的概率公式得 P(M ) ? 1? 1 ? 11 . 12 12

………12 分

(19)解:




(Ⅰ)因为 ABC ? DEF 是直三棱柱,所以 FC ? 平面 ABC ,而 AB ? 平面 ABC ,

所以, FC ? AB . 又 AB ? BC , BC FC ? C . ? AB ? 平面 BCFE ,又 EH ? 平面 BCFE , ? AB ? EH . 由题设知 ?EFH 与 △BCG 均为直角三角形,
EF ? 2 ? FH , BC ? 2 ? CG ,

? ?EHF ? 45 , ?BGC ? 45 .

设 BG EH ? P ,则 ?GPH ? 90 ,即 EH ? BG . 又 AB BG ? B ,? EH ? 平面 ABG .

………6 分

(Ⅱ)

AB

?

BC

? 2 , AB ?

BC ,

? S?ABC

?

1 2

AB ? BC

? 2 ….


CG

? 平面 ABC ,?VG?ABC

?

1 3

S?ABC

? CG

?

4 3

.

由(1)知 AB ? BG , CG ? 2 ? BC , BG ? BC2 ? CG2 ? 22 ? 22 ? 2 2 ,

? S?ABG

?

1 2

AB ?

BG

?

2

2.

设点 C 到平面 ABG 的距离为 h ,则

?VC? ABG

?

1 3 S?ABG

?h

??

2 3

2h

? VG? ABC

?

4 3



?h ? 2 .

即点 C 到平面 ABG 的距离为 2 .

………12 分

(20)解:

(Ⅰ)从题意知,设点

P

的坐标为

?

x,

y

?

,则

Q

的坐标为

? ??

?

1 2

,… …y ???



因此

QP

?

? ??

x

?

1 2

,

0

? ??

,

QF

?

?1,

?

y

?

,

FP

?

? ??

x

?

1 2

,

y

? ??

,

FQ

?

?

?1,

y

?

.

因 QP ?QF ? FP ? FQ ,得

? ??

x

?

1 2

,

0

? ??

?

?1,

?

y

?

?

? ??

x

?

1 2

,

y

? ??

?

?

?1,

y

?



即 x ? 1 ? 1 ? x ? y2 ,故动点 P(x, y) 的坐标满足方程 y2 ? 2x 22
设 N (x0 , y0 ) 是 y2 ? 2x 的 任 一 点 , 过 N 作 直 线 l 的 垂 线 , 垂 足 为 Q , 则 有 FN ? FQ ? QN ? QF ,即 y2 ? 2x 上的任一点都具有所需的性质.

综上,动点 P 的轨迹方程为 y2 ? 2x .
(Ⅱ)设 M ?a,b? 为圆 M 的圆心,则 b2 ? 2a . 圆 M 过点 A?1, 0? ,?圆 M 上的点 (x, y) 满足

………6 分
… …

? x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? ? a ?1?2 ? b2 .

令 x ? 0, 得 y2 ? 2by ? 2a ?1 ? 0, 于 是 可 得 圆 M 与 y 轴 的 交 点 为 E1 ?0, y1 ? 和

E2 ?0, y2 ? ,其中 y1,2 ? b ? b2 ? 2a ?1 ? b ?1,
故 E1E2 ? y1 ? y2 ? 2 是一个常数.
(21)解:
(Ⅰ)由 f (x) ? loga (x ?1) 得:

………12 分
… …

f (x1) ? f (x2 ) ? loga (x1 ?1) ? loga (x2 ?1)

2

2

?

1 2

log

a

[(

x1

?

1)(

x2

? 1)]

? loga

(x1 ?1)(x2 ?1)

x1 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0 ,且 x1 ?1 ? x2 ?1 ,

?

( x1

? 1)( x2

? 1)

?

x1

?1? 2

x2

?1

?

x1

? 2

x2

?1

当 a ? 1时, loga x 单调递增, ?当 a ? 1时,

f

( x1 )

? 2

f

(x2 )

?

loga

( x1

? 1)( x2

? 1)

?

loga

(

x1

? 2

x2

?1) ?

f ( x1 ? x2 ) . 2

………4 分


(Ⅱ) f (x) 的定义域为 (?1, ??) ,若曲线 y ? f (x) 在点 (x, f (x)) 处的切线经…过点 (0,1) ,

则应有 f (x) ?1 ? f ?(x) ,即 loga (x ?1) ?1 ? 1 .

x

x

(x ?1) ln a

?(x ?1) ln a?[loga (x ?1) ?1] ? x ? 0 ( x ? ?1 ), (*)有解. 设 F (x) ? ?(x ?1) ln a?[loga (x ?1) ?1] ? x ( x ? ?1 ),



F

?(

x)

?[loga

(

x

?

1)

?1]

ln

a

?

?(

x

?1)

ln

a?

(

x

?

1 1)

ln

a

?1

?

[log a

(

x

?

1)

?1]

ln

a

,

令 F?(x) ? 0 ,解得 x ? a ?1 .

当 x ? a ?1时, F?(x) ? 0 ,当 x ? a ?1 时, F?(x) ? 0 ,

? F (a ?1) ?1? a 是 F (x) 的最小值.

因此,当1? a ? 0 ,即 0 ? a ? 1时,方程(*)无解,所以曲线 y ? f (x) 没有经过点 (0,1)

的切线.
当1? a ? 0 时,由于 ae ?1 ? a ?1时,
F (ae ?1) ? ?ae ln a? (loga ae ?1) ? ae ?1 ? 1 ? 0 ,所以方程(*)有解,故曲线 y ? f (x)

有经过点 (0,1) 的切线.

………12 分

(22)解:





(Ⅰ)连接 FC , OF , AB ? AF, OB ? OF ,

?点 G 是 BF 的中点, OG ? BF . 因为 BC 是 O 的直径,所以 CF ? BF . ?OG // CF . ??AOB ? ?FCB ,

??DAO ? 90? ? ?AOB, ?FBC ? 90? ? ?FCB ,

??DAO ? ?FBC.

………5 分

(Ⅱ)在 Rt△OAD 与 Rt△OBG 中,由(Ⅰ)知 ?DAO ? ?GBO ,

又 OA ? OB ,所以, △OAD ? △OBG ,于是 OD ? OG .

… …

? AG ? OA ? OG ? OB ? OD ? BD .

在 Rt△AGE 与 Rt△BDE 中,由于 ?DAO ? ?FBC , AG ? BD ,

所以, △AGE ? △BDE ,因此, AE ? BE .

………10 分

(23)解: …

(Ⅰ)由条件知,直线 l 的倾斜角? ? 45? , cos? ? sin ? ?

2
.



2

设点 M (x, y) 是直线 l 上的任意一点,点 P 到点 M 的有向距离为 t ,则

? ?? ?

x ?1?

2t 2

.

? ??

y

?

?2

?

2t 2

………5 分 …



(Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为 y2 ? 2x ,由此得 (?2 ? 2 t)2 ? 2(1? 2 t) ,

2

2

即 t2 ? 6 2t ? 4 ? 0 .

设 t1, t2 为此方程的两个根,因为 l 和 C 的交点为 A, B ,所以 t1, t2 分别是点 A, B 所对应的

参数,由韦达定理得 PA ? PB = t1t2 ? 4 .

………10 分

(24)解:



(Ⅰ) f (x) ?| x ?1| ?5x ≤ 5x ? 3 可得| x ?1|≤ 3 ,解得 ?4 ≤ x ≤ 2….

………4 分

(Ⅱ)

f

(

x)

?

?6x ??4x

? ?

a, a,

x x

≥a ?a



R

上是单调递增的.



f (x) 适合题设条件,则

f

(x) 的零

点 x 必须满足 x ≤ ?1.于是

(1)由

?a ≤ x ≤ ??6x ? a ?

?1
,得
0

a



?6



?x ? a

(2)由

? ?

x



?1

,得 a ≥ 4 .

??4x ? a ? 0

从而 a ????, ?6? ?4, ??? .

反之, ?a ? ???, ?6? ?4, ??? ,易计算此时 f (x) ? x ? a ? 5x 满足题设条件.

故满足题设条件的 a 的取值范围是 ???, ?6? ?4, ???

………10 分


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