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数值分析习题与参考答案

第一章 习题一

绪论

1.设 x>0,x*的相对误差为 δ ,求 f(x)=ln x 的误差限。 解:求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限,由公式 (1.2.4)有

已 知

x* 的 相 对 误 差 ,故

满 足

, 而

即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有 几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。

解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有 5 位有效数字,其误差限 ,相对误差限

有 2 位有效数字, 有 5 位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1 ) (2 )
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解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换 所给公式。 (1 )

(2 ) 4.近似数 x*=0.0310,是 5.计算 四个选项: 第二、三章 习题二、三 1. 给定 的数值表 插值与函数逼近 取 3 位有数数字。 式计算误差最小。

, 利用 :

用线性插值与二次插值计算 ln0.54 的近似值并估计误差限. 解: 仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton 插值, 并应用误差估计(5.8) 。线性插值时,用 0.5 及 0.6 两点, 用 Newton 插值






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,故

二次插值时,用 0.5,0.6,0.7 三点,作二次 Newton 插值





限 ,故

2. 在-4≤x≤4 上给出

的等距节点函数表,若用二次 ,函数表的步长 h

插值法求 的近似值,要使误差不超过 应取多少? 解:用误差估计式(5.8) ,

令 因 得

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3. 若

,求



.

解:由均差与导数关系

于是 4. 若 的值,这里 p≤n+1. 解 : 可知当 而当 P=n+1 时 有 , 由 均 差 对 称 性 互异,求

于是得

5. 求证

.

解:解:只要按差分定义直接展开得

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6. 已知

的函数表

求出三次 Newton 均差插值多项式, 计算 f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差. 解:根据给定函数表构造均差表

由式(5.14)当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得

由于

7. 给定 f(x)=cosx 的函数表

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用 Newton 等距插值公式计算 cos 0.048 及 cos 0.566 的近 似值并估计误差 解:先构造差分表

计算 公式

,用 n=4 得 Newton 前插

误差估计由公式(5.17)得

其中 计 算 时 用 Newton 后 插 公 式

(5.18)
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误差估计由公式(5.19)得

这里 仍为 0.565 8. 求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式 p(x), 使 它 满 足

解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处 可先造 使它满足 ,显然 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1 求出 A= ,于是 ,再令

9. 令 求 的表达式,并证明 多项式序列。 解:因

称为第二类 Chebyshev 多项式, 试 是[-1,1]上带权 的正交

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10. 用最小二乘法求一个形如 下列数据,并计算均方误差.

的经验公式, 使它拟合

解:本题给出拟合曲线 程系数

,即

,故法方

法方程为

解得 最小二乘拟合曲线为 均方程为

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11. 填空题 (1) 满 足 条 件 p(x)=( (2) =( ). (3) 设 数,则 =( 为互异节点, 为对应的四次插值基函 ), =( ). ). ,则 f[1,2,3,4]=( ),f[1,2,3,4,5] 的插 值多项式

(4) 设

是区间[0,1]上权函数为 ρ (x)=x 的 , 则

最高项系数为 1 的正交多项式序列, 其中 =( 答: (1 ) (2 ) (3 ) ), =( )

(4 )

第4章 习题 4

数 值 积 分与数值微分

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1. 分别用复合梯形公式及复合 Simpson 公式计算下列积分.



本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合 Simpson

公式(6.13)直接计算即可。 对 ,取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。 ,按式(6.13)求得 ,

按式(6.11)求出 积分 2. 用 Simpson 公式求积分

,并估计误差

解:直接用 Simpson 公式(6.7)得

由(6.8)式估计误差,因

,故

3. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量 高,并指明求积公式所具有的代数精确度. (1) (2) (3) 解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式 的参数。 (1)令 代入公式两端并使其相等,得

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解此方程组得

,于是有

再令

,得

故求积公式具有 3 次代数精确度。 (2)令 代入公式两端使其相等,得

解出



而对 (3)令

不准确成立,故求积公式具有 3 次代数精确度。 代入公式精确成立,得

解得

,得求积公式
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故求积公式具有 2 次代数精确度。 4. 计算积分 超过 ,问区间 ,若用复合 Simpson 公式要使误差不 要分为多少等分?若改用复合梯形公 应分为多少等分? 得

式达到同样精确度,区间 解:由 Simpson 公式余项及

即 超过

, 取 n=6, 即区间

分为 12 等分可使误差不

对梯形公式同样

,由余项公式得

即 取 n=255 才更使复合梯形公式误差不超过 5. 用 Romberg 求积算法求积分
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,取

解:本题只要对积分

使用 Romberg 算法(6.20) ,计算

到 K=3,结果如下表所示。

于是积分 6.

,积分准确值为 0.713272

用三点 Gauss-Legendre 求积公式计算积分.

解:本题直接应用三点 Gauss 公式计算即可。 由于区间为 ,所以先做变换

于是

本题精确值 7. 用 三 点 Gauss-Chebyshev 求 积 公 式 计 算 积 分

解:本题直接用 Gauss-Chebyshev 求积公式计算

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即 于是 ,因 n=2,即为三点公式,于是 ,即

故 8. 试确定常数 A,B,C,及 α ,使求积公式

有尽可能高的代数精确度,并指出所得求积公式的代数精确 度是多少.它是否为 Gauss 型的求积公式? 解:本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程,令 对公式精确成立,得到

由(2) (4)得 A=C,这两个方程不独立。故可令 (5 ) 由(3) (5)解得 则有求积公式 ,代入(1)得

,得

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公式精确成立,故求积公式具有 5 次代数精确度。

三点求积公式最高代数精确度为 5 次,故它是 Gauss 型的。

第五章 习题五

解线性方程组的直接法

1. 用 Gauss 消去法求解下列方程组.



本题是 Gauss 消去法解具体方程组,只要直接用消元公

式及回代公式直接计算即可。


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2. 用列主元消去法求解方程组 系数矩阵 A 的行列式 detA 的值 解:先选列主元 ,2 行与 1 行交换得

并求出

消元

3 行与 2 行交换 回代得解

消元

行列式得

3. 用 Doolittle 分解法求 解. 解:由矩阵乘法得



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再由 由

求得 解得

4. 下述矩阵能否作 Doolittle 分解,若能分解,分解式是 否唯一?

解:A 中

,若 A 能分解,一步分解后, ,相互矛盾,故 A 不能分解,



,若 A 中 1 行与 2 行交换,则可分解为 LU ,但它仍可分解为

对 B,显然

分解不唯一, 为一任意常数,且 U 奇异。C 可分解,且唯 一。

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5. 用追赶法解三对角方程组 Ax=b,其中

解:用解对三角方程组的追赶法公式(3.1.2)和(3.1.3) 计算得

6. 用平方根法解方程组 解:用 分解直接算得





求得

7. 设 解: 即

,证明

,另一方面

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故 8. 设 计算 A 的行范数, 列范数及 F-范数和 2

范数 解:

故 9. 设 为 上任一种范数, 是非奇异的,定义

,证明 证明:根据矩阵算子定义和 定义,得



,因 P 非奇异,故 x 与 y 为一对一,于是

10. 求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计 ,即 ,即 解:记

.



的解

,而
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的解

故 而

由(3.12)的误差估计得

表明估计

略大,是符合实际的。

11. 是非题(若 " 是 " 在末尾()填 +," 不是 " 填 - ) :题目中

(1)若 A 对称正定, 范数 (2)定义 (3)定义 (4)只要 ( )

,则

是 上的一种向量

是一种范数矩阵 是一种范数矩阵

( (

) )

,则 A 总可分解为 A=LU,其中 L 为单位下 ( ) 的

三角阵,U 为非奇上三角阵 (5 ) 只要 解 ( )

, 则总可用列主元消去法求得方程组

(6)若 A 对称正定,则 A 可分解为 素为正的下三角阵 ( )
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,其中 L 为对角元

(7)对任何

都有

( (

) )

(8)若 A 为正交矩阵,则 答案:

( 1) (+) (2) (-) ( 3) (+) (4 ) (-) ( 5) (+) (6) (+) ( 7) (-) (8 ) (+) 第六章 解线性方程组的迭代法

习题六 1. 证明对于任意的矩阵 A, 序列 零矩阵 解:由于 故 2. 方程组 而 收敛于

(1) 考查用 Jacobi 法和 GS 法解此方程组的收敛性. (2) 写出用 J 法及 GS 法解此方程组的迭代公式并以 计算到 为止

解:因为 具有严格对角占优,故 J 法与 GS 法均收敛。 (2)J 法得迭代公式是

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,迭代到 18 次有

GS 迭代法计算公式为



3. 设方程组

证明解此方程的 Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 迭代法同 时收敛或发散

解:Jacobi 迭代为 其迭代矩阵

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, 谱半径为 迭代法为

, 而 Gauss-Seide

其迭代矩阵

,其谱半径为 由于 ,故 Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 法同

时收敛或同时发散。 4. 下列两个方程组 Ax=b,若分别用 J 法及 GS 法求解, 是否收敛?

解:Jacobi 法的迭代矩阵是



,故

,J 法收敛、

GS 法的迭代矩阵为

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,解此方程组的 GS 法不收敛。

5. 设

, detA≠0, 用 ,b 表示解方程组 Ax=f

的 J 法及 GS 法收敛的充分必要条件. 解 J 法迭代矩阵为

,故 J 法收敛的充要条件是 代矩阵为

。GS 法迭

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得 GS 法收敛得充要条件是

6. 用 SOR 方法解方程组(分别取 ω =1.03,ω =1,ω =1.1)

精确解

,要求当

时迭代终止,并

对每一个 ω 值确定迭代次数 解:用 SOR 方法解此方程组的迭代公式为

取 若取

,当 ,迭代 6 次得

时,迭代 5 次达到要求

7. 对上题求出 SOR 迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速 度 , 并 求 J 法 与 GS 法 的 渐 近 收 敛 速 度 . 若 要 使

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那么 J 法 GS 法和 SOR 法各需迭代多少次? 解:J 法的迭代矩阵为

, 故 最优松弛因子

, 因 A 为对称正定三对角阵,

J 法收敛速度

由于

,故

若要求

,于是迭代次数

对于 J 法 对于 GS 法 对于 SOR 法 8. 填空题
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,取 K=15 ,取 K=8 ,取 K=5

(1)

要使

应满足(). ,则解此方程组的

(2) 已知方程组

Jacobi 迭代法是否收敛 () .它的渐近收敛速度 R(B)= () . (3) 设方程组 Ax=b,其中 阵是().GS 法的迭代矩阵是(). (4) 用 GS 法解方程组 方法收敛的充要条件是 a 满足(). (5) 给定方程组 ,a 为实数.当 a 满足 ,其中 a 为实数, 其 J 法的迭代矩

() ,且 0<ω <2 时 SOR 迭代法收敛. 答: (1) (2)J 法是收敛的,

(3)J 法迭代矩阵是 (4) 满足 (5) 满足 第七章 习题七
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,GS 法迭代矩阵

非线性方程求根

1. 用二分法求方程 解

的正根,使误差小于 0.05 。本题

使用二分法先要确定有根区间

f(x)=x2-x-1=0,因 f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根 区间。另一根在[-1,0]内,故正根在[1,2]内。用二分法 计算各次迭代值如表。

其误差 2. 求方程 在 =1.5 附近的一个根,将方程改

写成下列等价形式,并建立相应迭代公式. (1) (2) (3) ,迭代公式 ,迭代公式 ,迭代公式 . . .

试分析每种迭代公式的收敛性, 并选取一种收敛最快的方 法求具有 4 位有效数字的近似根 解: ( 1 )取区间 在 且 ,在 中 且 , ,则 L<1,

满足收敛定理条件,故迭代收敛。
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( 2 ) , 在 (3 ) 迭代法发散。

, 在 中有



, 且 , 故迭代收敛。

,在

附近

,故

在迭代(1)及(2)中,因为(2)的迭代因子 L 较小, 故它比(1)收敛快。用(2)迭代,取 ,则

3. 设方程

的迭代法

(1) 证明对

,均有

,其中 为方程的根. ,

(2) 取 =4, 求此迭代法的近似根,使误差不超过 并列出各次迭代值. (3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论 解 :( 1 ) 迭 代 函 数 , 对



, (2)取 ,则有各次迭代值



,其误差不超过
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(3 ) 故此迭代为线性收敛 4. 给定函数 证明对 方程 解:由于 , 设对一切 x, 存在, 而且 . 均收敛于

的任意常数 ,迭代法 的根 , 为单调增函数,故方程

的根 , ,由递

是唯一的(假定方程有根 ) 。迭代函数 。令 推有 ,即 ,则

5. 用 Steffensen 方法计算第 2 题中(2)、(3)的近似根, 精确到 解:在(2)中 ,令 , ,则有



,得

,与第 2 题中(2)的结果一致,可取 满足精度要求. 对(3)有 ,原迭代不收敛.现令

,则

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6. 用 Newton 法求下列方程的根, 计算准确到 4 位有效数 字. (1) (2) 解: (1 ) Newton 迭代法 在 =2 附近的根. 在 =1 附近的根



,则

,取

(2 ) 令 ,则 , 求立方根 ,取 的迭代公

7. 应用 Newton 法于方程 式,并讨论其收敛性. 解:方程 的根为

,用 Newton 迭代法

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,故迭代法 2 阶收敛。 还可证明迭代法整体收敛性。设 ,对

一般的,当

时有

这是因为 从而 ,即 ,表明序列



时成立。 ,

单调递减。故对

迭代序列收敛于

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