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江阴市2015届高三上学期暑期网络课程检测(开学检测)数学试题


一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) ⒈已知全集 ⒉函数 y ? ={1,2,3,4},集合 A={l,2,3},B={2,3,4},则 CU ( A

B) ? ___________.

1 3x ? 2

? lg( 2 x ? 1) 的定义域是_____________________.

⒊在曲线 y ? x3 ? 3x ? 1的所有切线中,斜率最小的切线的方程为________.

y ⒋若双曲线 x ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 3 ,则此双曲线方程为 a
2

2

______. ⒌已知集合 A ? x x2 ? x ≤ 0, x ? R ,设函数 f ( x) ? 2? x ? a ( x ? A )的值域为 B ,若 B ? A ,则 实数 a 的取值范围是___.

?

?

⒏设奇函数 f (x) 的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f (1)≥1,f (2)= 范围是________. ⒐ 已 知 函 数

2a ? 3 ,则 a 的取值 a ?1
), 如 果

f ( x) ? l

o x 2 ? 1 ? x) ? a( g

3 2

(

a ? 0, a ? 1

? ? f ?l o ? ( b ? 0, 5b ? 1),那么 f ? log 1 b ? 的值是______. 3 b? g ? 3 ?
⒑ 函 数 f ( x) ? ?

? x ? 1,x ? 0 , 则 函 数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的 所 有 零 点 所 构 成 的 集 合 为 ?log2 x, x ? 0

_____________. 11.已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2 (n∈N*),它的前 n 项和为 Sn,且 a3=10,S6=72.若 1 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值为_________. 2
2 12.对于任意 k ?? ?1, 1? , 函数f ( x) ? x ? (k ? 4) x ? 2k ? 4 的值恒大于零,则 x 的取值

范围是________.

1

13.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x2 ? y2 ? b2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 2 a b

引圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围 是 .

14.已知函数 f ( x) ?| lg x | , a ? b ? 0 , f (a) ? f (b) ,则
二、简答题:(本大题共 6 小题,共 90 分)

a 2 ? b2 的最小值等于_________. a ?b

15.(本小题满分 14 分) 定义:在 R 上的函数 f(X)满足:若任意 X 1 ,X 2 ∈R,都有 f(
2

x1 ? x2 1 )≤ [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] , 2 2

则称函数 f(X)是 R 上的凹函数.已知二次函数 f(X)= a X +X( a ∈R, a ≠0) . (1)求证:当 a >0 时,函数 f(X)是凹函数; (2)如果 x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求实数 a 的范围.

2

17. (本小题满分 14 分)我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个 月内(每月按 30 天计算)每天的旅游人数 f ? x ? 与第 x 天近似地满足 f ?x ? ? 8 ? 且参观民俗文化村的游客人均消费 g ? x ? 近似地满足 g ?x ? ? 143? x ? 22 (元) . (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p ? x ? (单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天纯收入的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回 投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?
8 (千人) , x

3

4

5

6

2014 年江阴市高三网络课堂教学检测(数学)答案
一、填空题

二、简答题

15. 解: (1)对任意 X 1 , x2 ? R,? a >0,

x ?x x ?x x1 ? x2 2 ) ? ax12 ? x1 ? ax 2 ? x2 ? 2 [ a ( 1 2 ) 2 ? 1 2 )] 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 = a X 1 ? ax 2 ? a( x1 ? x2 ? 2 x1 x 2 ) ? a ( x1 ? x2 ) ≥0. 2 2 x ? x2 1 ) ≤ [f ( x1 ) ? f ( x2 ) ]. ∴f( 1 2 2
∴[f(X 1 )+ f (X 2 )]-2 f( ∴函数 f(X)是凹函数. (2)由| f(X)|≤1 ? -1≤f(X) ≤1 ? -1≤ ax +X≤1.(*)
2

…………………………………6 分

当 X=0 时, a ∈R; 当 X∈(0,1]时,(*)即 ?
2 ? ?ax ? ? x ? 1, ?ax2 ? ? x ? 1恒成立, ?

7

1 1 1 1 1 ? a ? ? 2 ? ? ?( ? ) 2 ? ? ? x x x 2 4 即? ?a ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) 2 ? 1 恒成立. ? x2 x x 2 4 ?
∵X∈(0,1],∴

…………………………………10 分

1 ≥1. x 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ∴当 =1 时,-( + ) - 取得最大值是-2;当 =1 时,( - ) - 取得最小值是 0. x x 2 4 x x 2 4 ∴-2 ≤ a ≤0 ,结合 a ≠0,得-2≤ a <0. 综上, a 的范围是[-2,0). ………………………………14 分

(1)17. 解:⑴依据题意,有 p(x)=f (x)·g(x)= (8 ?

8 ) ? (143? | x ? 22 |) (1≤x≤30,x∈N*) x

968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N *) ? ? x =? ………4 分 ?? 8 x ? 1320 ? 1312.(22 ? x ? 30, x ? N *) ? x ?
* (2)1° 当 1 ? x ? 22 , x ? N 时,

8

p ( x) ? 8 x ?

968 968 ? 976 ? 2 8 x ? ? 976 ? 1152 (当且仅当 x ? 11 时,等号成立) , x x
……………………………8 分

因此,p(x)min=p(11)=1152(千元). 2°当 22<x≤30,x∈N*时,p(x)= ? 8 x ?

1320 ? 1312 . x 1320 ? 1312 在(22,30]上单调递减, 求导可得 p′(x) <0,所以 p(x)= ? 8 x ? x
于是 p(x)min=p(30)=1116(千元). 又 1152>1116,所以日最低收入为 1116 千元. ……………………………12 分

该村两年可收回的投资资金为 1116×20%×5%×30×12×2=8035.2(千元)=803.52(万 元) , 因 803.52 万元>800 万元,所以,该村两年内能收回全部投资资金. 分 …………14

9

(2)把 y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) ,代入
(5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .

x2 ? y 2 ? 1 ,得 5

……………………………………………8 分

当△ ? 0 , 5k 2 ? m2 ? 1 ? 0 时, xM ? ? 从而点 M (?

5mk m , yM ? 2 , 2 5k ? 1 5k ? 1
……………………………………………10 分

5mk m , 2 ). 2 5k ? 1 5k ? 1 1 x. 5k

所以直线 OM 的方程 y ? ?
1 ? y ? ? x, ? ? 5k 由? 2 x ? ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

25k 2 . ……………………………………………12 分 5k 2 ? 1

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP2 ? OM ? OQ ,
10

从而 xP 2 ? xM xQ ? ? 由 ∴

25mk . 2(5k 2 ? 1)

……………………………………………14 分

25k 2 25mk m ?? ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ……………15 分 2 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k

m 为常数 ?2 . k

………………………………………………………………16 分

20. 解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ? 列表: x
f ?( x) f ( x) (0,1)

1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x

………1 分

1
0 极大值

(1, ??)
?

+ ↗



所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?1 .

…………………………………………3 分

11

(3) g ( x) ? ln( x ? 1) ( x ? 1 ) . 由 g(
1 b ? ln(a ? 1) . ) ? g (a) 得 ln b ?1 b ?1

∵1 ? a ? b ,

∴ b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ? 1) ? 1 . …………………………………12 分

∵ 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? (b ? 1)2 ,∴ b ? 2 . 由 g (b) ? 2 g (

a?b ) 得, 2

12

13


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