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高中数学第6章6.2直接证明与间接证明6.2.1直接证明:分析法与综合法课堂讲义配套课件湘教版选修2_2_图文

6.2 直接证明与间接证明 6.2.1 直接证明:分析法与综合法 [学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和 综合法;了解分析法和综合法的思考过程 与特点. 2.结合已学过的数学实例,体会综合法的两 种形象化说法:“顺推证法”或“由因导 果法”;分析法又叫“逆推证法”或“执 果索因法”.了解综合法与分析法的流程 框图、思考过程及特点. [知识链接] 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还 是演绎推理? 答 综 合法与分析法的推理过程是演绎推 理,因为综合法与分析法的每一步推理都 是严密的逻辑推理,从而得到的每一个结 论都是正确的,不同于合情推理中的“猜 想”. a+b 2.必修五中基本不等式 2 ≥ ab(a>0,b>0)是怎样证明的? a+b 答 要证 2 ≥ ab, 只需证 a+b≥2 ab, 只需证 a+b-2 ab≥0, 只需证( a- b)2≥0, 因为( a- b)2≥0 显然成立,所以原不等式成立. [预习导引] 1.综合法 从数学题的 已知条件 出发,经过逐步的逻辑推理 最 后达到待证结论或需求的问题,它是由 已知走向求证 , 即“由因导果”. 2.分析法 从数学题的 待证结论或需求问题 出发,一步一步地探索 下去,最后达到 题设的已知条件,它是由 , 即“执果索因” 求证走向已知 . 要点一 综合法的应用 例1 在△ABC 中,三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、 c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成等比数列,求证: △ABC 为等边三角形. 证明 由 A、B、C 成等差数列,有 2B=A+C. ① 因为 A、B、C 为△ABC 的内角,所以 A+B+C=π. ② π 由①②,得 B=3. 由 a、b、c 成等比数列,有 b2=ac. ③ ④ 由余弦定理及③, 可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac. 再由④,得 a2+c2-ac=ac, 即(a-c)2=0,因此 a=c, 从而有 A=C. π 由②③⑤,得 A=B=C= .所以△ABC 为等边三角形. 3 ⑤ 规律方法 利用综合法证明问题的步骤: (1) 分析条件选择方向:仔细分析题目的已知条件 ( 包括隐含条件 ) ,分析已知与结论之间的联系与区 别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰 当的解题方法. (2)转化条件组织过程:把题目的已知条件,转化成 解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种 语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简 洁的语言,清晰的思路. (3)适当调整回顾反思:解题后回顾解题过程,可对 部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰, 反思总结解题方法的选取. 跟踪演练 1 证明 法一 1 1 已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:a+b≥4. ∵a,b 是正数且 a+b=1, 1 1 1 a+b 1 ∴a+b≥2 ab,∴ ab≤2,∴a+b= ab =ab≥4. 法二 ∵a,b 是正数,∴a+b≥2 ab>0, 1 ab>0, 1 1 a+b≥2 ?1 1? ∴(a+b)?a+b?≥4. ? ? 1 1 又 a+b=1,∴a+b≥4. 法三 1 1 a+b a+b b a + = + =1+ + +1≥2+2 a b a b a b ba ·=4.当且 ab 仅当 a=b 时,取“=”号. 要点二 分析法的应用 2 例 2 设 a,b 为实数,求证: a +b ≥ 2 (a+b). 2 2 证明 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0, 2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立. 2 2 当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 2 要证 a +b ≥ 2 (a+b), 2 2 只需证( a +b ) 2 2 2 2 2 ? ≥? ? ? ? 2 ?2 ? a + b ? ? , 2 ? 1 2 即证 a +b ≥2(a +b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, 2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证. 2 2 规律方法 用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本 性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本 理论; (2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式 出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后 得到的充分条件是已知(或已证)的不等式; (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地 用好 “ 要证明 ” 、 “ 只需证明 ” 、 “ 即证明 ” 等词语. a b 跟踪演练 2 已知 a,b 是正实数,求证: + ≥ a+ b. b a a b 证明 要证 + ≥ a+ b, b a 只要证 a a+b b≥ ab· ( a+ b). 即证(a+b- ab)( a+ b)≥ ab( a+ b), 因为 a,b 是正实数, 即证 a+b- ab≥ ab, 也就是要证 a+b≥2 ab, 即( a- b)2≥0. a b 该式显然成立,所以 + ≥ a+ b. b a 要点三 综合法和分析法的综合应用 例 3 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1. a+b b+c a+c 求证:logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc. 2 2 2 证明 要证明: a+b b+c a+c logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc, 2 2 2 只需要证明 ?a+b b+c a+c? ? logx? <logx(abc). · · ? 2 2 2 ? ? ? a+b b+c a+c 由已知 0<x<1,只需证明 · · >abc. 2 2 2 a+b b+c a+c 由公式 ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ac>0, 2 2 2 又∵a,b,c 是不全相等的正数, a+b b+c a+c ∴ 2 · 2 ·

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