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课件-17(导数及其应用小结)_图文

3.5《导数及其 应用小结》

教学 目标 ? 【知能目标】
? 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加 速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导数 的概念。 ? 2、熟记基本导数公式:xm(m为有理数)、sinx、 cosx、ex、ax、lnx、logax的导数;掌握两个函 数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导 法则,会求某些简单函数的导数。 ? 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解 可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一 般指单峰函数)的最大值和最小值。

? [教学方法] ? 1.采用“学案导学”方式进行教学。 ? 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教 学方法的综合运用。 ? [教学流程]:独立完成基础回顾,合作交流纠错, 老师点评;然后通过题目落实双基,根据学生 出现的问题有针对性的讲评. ? [教学重点和难点] ? 教学重点:导数的概念、四则运算、常用函数 的导数,导数的应用理解运动和物质的关系。 ? 教学难点:导数的定义,导数在求函数的单调 区间、极值、最值、证明中的应用

第三章 导数及其 应用

? 一、已知物体运动的路程作为时 间的函数,求物体在任意时刻的速 度与加速度等; ? 二、求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小 值; ? 四、求长度、面积、体积和重心 等。

微积分主要与四类问题的 处理相关:

3.1.1变化率问题
? 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹 气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加 越来越慢.从数学角度,如何描述这 种现象呢?

我们来分析一下:
? 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? r

3 3V 3 ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) ? 4? ? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0)
1? 0 ? 0.62(dm / L)

? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm 显然 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1)
2 ?1 ? 0.16(dm / L)0.62>0.16

思考?
? 当空气容量从V1增加到V2时,气球 的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对 于水面的高度h(单位:米)与起跳 后的时间t(单位:秒)存在函数 关系 2+6.5t+10. h(t)=-4.9t 请计 如何用运动员在某些时间段内的 算 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v? : 平均速度粗略地描述其运动状态

请计 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v : 算

平均速度不能反映他在这段时 间里运动状态, 需要用瞬时速度描述运动状态。

平均变化率定义:
f(x ) ? f ( x ) 2 1 ?上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

? 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)

?f ? 则平均变化率为 ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

思考?
? 观察函数f(x)的 图象 f(x2 ) ? f ( x1 )
x2 ? x1
y f(x2) f(x2)-f(x1) f(x1) A x O x1 x2 x2-x1 Y=f(x)

B

平均变化率 表示什么?
直线AB的斜 率

做两个题吧!
? 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的 D 一点A(-1,-2)及临近一点 B(-1+Δx,2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 2 2D 3-Δx C 3(Δx) ? 2、求y=x 在x=x 附近的平均速度。
0

2x0+Δx

小结:
?f ? 1.函数的平均变化率 ? ?x
f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 ? f f(x2 ) ? f ( x1 )

?x

?

x2 ? x1

练习:
?
3 过曲线y=f(x)=x 上两点P(1,1)

和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线, 求出当Δx=0.1时割线的斜率. K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3. 31

3.1.2

导数的概念

? 在高台跳水运动中,平均速度不能 反映他在这段时间里运动状态,需 要用瞬时速度描述运动状态。我们 把物体在某一时刻的速度称为瞬时 又如何求 速度. 瞬时速度呢?

如何求(比如, t=2时的)瞬时速度?

当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势? 通过列表看出平均速度的变化趋势



h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ? 我们用 ?t ?0 ?t

瞬时速度?

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速 度趋于确定值-13.1”. ? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬 h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) 时速度 ? lim
?t ? 0

?t

导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

应用:
1 2 s ? gt 其 例1 物体作自由落体运动,运动方程为: 2

中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.

解:

__

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __

v ? 2.05g ? 20.5m / s.

?s

(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式,得:
( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2,
__

v ? 2.005g ? 20.05m / s.

从而平均速度 v 的极限为: __ ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. s ?t ? 0 ?t ? 0 ? t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δ t 逐渐变小时,平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).

? 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶 等各种不同产品,需要对原由进行冷 却和加热。如果第 x(h)时,原由的温 度(单位:0C)为 f(x)=x2关键是求出: ?f 7x+15(0≤x≤8). 计算第2(h) 和第6(h) ?? x ? 3 时,原由温度的瞬时变化率,并说明 ?x 它说明在第2(h)附近,原油 ?f 它们的意义。 温度大约以3 0C/H的速度下降; 再求出lim 在第6(h)附近,原油温度大 ? x ?0 ? x 0
约以5 C/H的速度上升。

应用:

应用:
? 例3.质量为10kg的物体,按照 s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬 1 2 ( E ? mv ) 时速度; 2 (2)求运动开始后4s时物体的动 能。

? 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)f(1) ? f =6Δx+(Δx)2 ? 6 ?? x
?x
?y 再求 lim ?6
? x ?0

练习:

?x

再求

? 1求物体运动的瞬时速度: (1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) ?s v? ; (2)求平均速度 ? s ? t s(t ??t ) ? s(t ) . lim ?t ? lim ?t (3)求极限 ? 1由导数的定义可得求导数的一般步 骤: ?y (1)求函数的增量 ? x Δy=f(x0+Δt)-f(x0) ?y f ( x ) ? lim (2)求平均变化率 ? x
? x ?0 ? x ?0

小结:

'

0

? x ?0


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