当前位置:首页 >> 数学 >>

《线性代数》测试题 第五章补充题

基础课程教学资料 祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐!祝福同学们快乐成长,能够取得好成绩,为祖国奉献力量 练习五 矩阵的特征值和特征向量 一、选择题 1、 设 A 为 n 阶方阵,则下列结论中正确的是 (A) 祝福您及家人身体 健康、 万 事如意、 阖家欢 乐!祝 福同学 们快乐 成长, 能够取 得好成 绩,为 祖国奉 献力量! 祝 福您及 家人身 体健康 、万事 如意、 阖家欢 乐!祝 福同学 们快乐 成长, 能够取 得好成 绩,为 祖国奉 献力量! 若 A 可逆,则 A 的对应于 ? 的特征向量也是 A 的对应于 * | A| (B) 矩阵 A 的特征向量就是方程 (? E ? A) X ? 0 的全部解向量 (C) A 的特征向量的任一线性组合仍为 A 的特征向量 (D) A 与 A 具有相同的特征向量 T ? 的特征向量 祝福您及家人身 体健康 、万事 如意、 阖家欢 乐!祝 福同学 们快乐 成长, 能够取 得好成 绩,为 祖国奉 献力量! 祝 福您及 家人身 体健康 、万事 如意、 阖家欢 乐!祝 福同 学们快 乐成长 ,能够 取得好 成绩, 为祖国 奉献力 量 ! 2、设 A 为三阶矩阵,且 E-A,2E-A,-3E-A 均不可逆则下列结论中不正确的是 (A) 矩阵 A 可对角化 祝福您及家人 身体健 康、万 事如意 、阖家 欢乐! 祝福同 学们快 乐成长 ,能够 取得好 成绩, 为祖国 奉献力 量! 祝 福您及家 人身体 健康、 万事如 意、阖 家欢乐 !祝福 同学们 快乐成 长,能 够取得 好成绩 ,为祖 国奉献 力量 ! (B) 矩阵 A 是可逆矩阵 (C) A+E 也可能不可逆 (D) |A|=-6 3、设 A 是 n 阶实对称矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,已知 n 维列向量?是 A 的属于特征值λ 的 特征向量,则矩阵(P-1AP)T 属于特征值λ 的特征向量是( (A)P-1?; (B)PT?; (C)P?; ) 。 (D) (P-1)T?; 4、设 n 阶方阵 A 相似于对角阵,则下列结论中正确的是 (A) 矩阵 A 是可逆矩阵 (B) 矩阵 A 是实对称矩阵 (C) A 有 n 个不同的特征值 (D) A 必有 n 个线性无关的特征向量 5、设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则有( (A)λ E-A=λ E-B; (B)A 与 B 有相同的特征值和特征向量; (C)A 与 B 都相似于同一个对角矩阵; (D)对任意常数 t,tE-A 与 tE-B 相似。 ) 。 ?0 0 1 ? ? ? 6、设矩阵 B ? 0 1 0 ,已知 A~B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于( ? ? ? ? 1 0 0 ? ? (A)2; (B)3; (C)4; (D)5 ) 。 1 二、填空题: ?1 ?1 1、矩阵 A ? ? ?1 ? ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? 1? ? 的非零特征值是___________。 1? ? 1? 2、设 A 为 n 阶矩阵,|A|≠0,A*为 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵,若 A 有特征值λ , 则(A*)2+E 必有特征值___________。 3 、设 A 为 n 阶反对称矩阵,设 ? 是 A 的一个特征值,则除 ? 之外必有另一特征值为 ______________ 4、 设四阶矩阵 A 满足 | 2E ? A |? 0, AAT ? 3E,| A |? 0 ,其中 E 为四阶单位矩阵,则伴随 矩阵 A 必有一个特征值为______________ 5、已知三阶可逆方阵 A 的特征值是 1,1,-5,则 E+A-1 的特征值是____________________。 (其中 E 为三阶单位矩阵) * ?1 c ? ? a ? * b 3 ? 三、设矩阵 A ? 5 ? ? ,且|A|=-1,又 A 的伴随矩阵 A 有一个特征值λ 0,属于 ?1 ? c 0 ? a ? ? ? λ 0 的一个特征向量为 ? ? (?1,?1,1) ,求 a, b, c 和λ 0 的值。 四、设矩阵 T ? 1 ?1 1 ? ? ? A ? ? x 4 y? , ? ?3 ?3 5 ? ? ? P 已知 A 有 3 个线性无关的特征向量, 2 是 A 的二重特征值。 试求可逆矩阵 P , 使P A 为对角矩阵。 ?1 ? 2 ?1 2 ? ? T a 3? 五、已知 ? ? (1,1,?1) 是矩阵 A ? 5 ? ? 的一个特征向量。 ? ? ? 1 b ? 2? ? (1)试确定参数 a , b 及特征向量 ? 所对应的特征值; (2)问 A 能否相似于对角矩阵?并说明理由。 ? 1 ?1 1 ? ?2 0 0? ? ? ? 4 ? 2? , B ? ? 六、设矩阵 A 与 B 相似,且 A ? 2 ? ?0 2 0? ? ? ?? 3 ? 3 a ? ? ?0 0 b ? ? 2 (1)求 a , b 的值; (2)求可逆矩阵 P,使 P-1AP=B ?3 ? 七、 设矩阵 A ? ? k ? ?4 ? ?2 ? ?1 k ? 问 k 为何值时, 存在可逆矩阵 P, 使得 P-1AP 为对角矩阵? ?, ? 2 ?3 ? 2 并求出 P 和相应的对角矩阵。 ?2 2 0 ? ? ? 八、若矩阵 A ? 8 2 a 相似于对角矩阵∧,试确定常数 a 的值,并求可逆矩阵 P,使 ? ? ?0 0 6 ? ? ? P-1AP=∧。 九、设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1,2,3;矩阵 A 的属于特征值 1,2 的特征向量分别 是 ?1 ? (?1,?1,1)T , ? 2 ? (1,?2,?1)T 。 (1)求 A 的属于特征值 3 的特征向量 ? 3 ; (2)求矩阵 A ?1 1 a ? ? ? T 十、设矩阵 A