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高中数学选修4-4坐标系与参数方程测试卷


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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ?

? ? ? ○ ? ? ? ?

绝密★启用前 考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.下列极坐标方程表示圆的是( A. ? ? 1 B. ? ? )

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?
2

C. ? sin ? ? 1 D. ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 2.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化成直角坐标方程为( A. x
2

)

? ( y ? 2) 2 ? 4 B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4
2

C. (x ? 2) 2 ? y

? 4 D. (x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

3.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t (t为参数) .曲线 C 的参数方 ?y ? t ? 4

(? 为参数) ,则直线 l 和曲线 C 的公共点有( ) ? ? y ? 2 ? 2 2 sin ? (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D)无数个
程为 ? 4.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1,

? ? x ? 2 ? 2 2 cos ?

?
2

)

B. (1, ?

? ) 2

C. (1, 0)

D. (1, ? ) )

5.已知点 P 的极坐标是(1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A. ? ? 1 B. ? ? cos?

? ??
C.

1 cos ?

??
D. ) D、 ? ?

1 cos ?

6.将直角坐标方程 y ? x 转化为极坐标方程,可以是( A、 ? ? 1 B、 ? ? ? C、 ? ? 1

? 4

试卷第 1 页,总 3 页

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

7.点 P 的极坐标为( 2,

3? )与其对应的直角坐标是_________. 4

8 . 在极 坐标 中, 已知 点 P 为 方 程 ? ? cos? ? sin 所 表示 的曲 线上一 动 点, ?? ? 2

? ?? Q ? 4, ? ,则 PQ 的最小值为. ? 3?
9.若直线的极坐标方程为 ? cos(? ? 为 d ,则 d 的最大值为 10.已知圆的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? ?

4

) ? 3 2 ,曲线 C : ? ? 1 上的点到直线的距离

? ?

??

? ,则该圆的半径是. 4?

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

11 . 已 知 直 线 l 经 过 点 P ( ,1) , 倾 斜 角 α =

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4

1 2

? ,圆 C 的极坐标方程为 6

(1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. 12. 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 cos 2? ? 8 , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ?
C 2 相交于 A 、 B 两点. ( ? ? R )

? , 曲线 C1 、 6

(Ⅰ)求 A 、 B 两点的极坐标;
? 3 x ?1? t ? ? 2 ( t 为参数)分别相交于 M , N 两点,求线段 MN 的长 (Ⅱ)曲线 C1 与直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

度. 13. 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已 知点 M 的极坐标为 (4 2,

?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ( ? 为参数) . ) ,曲线 C 的参数方程为 ? 4 ? ? y ? 2 sin ? ,

(1)求直线 OM 的直角坐标方程; (2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. 14.已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴 ? y ? 2sin ?
试卷第 2 页,总 3 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? ?2cos ? . (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程;

( 2, (2) 已知点 M 1 、 M 2 的极坐标分别是 (1, ? ) 、

?
2

), 直线 M1M 2 与曲线 C2 相交于 P 、

Q 两 点 , 射 线 OP 与 曲 线 C1 相 交 于 点 A , 射 线 OQ 与 曲 线 C1 相 交 于 点 B , 求

1 1 的值. ? 2 | OA | | OB |2
15.已知曲线 C 的参数方程为 ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? x ? 3cos ? (? 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 线 C 上的点按坐标变换 ? 得到曲线 C ? . ? y? ? 1 y ? ? 2
(1)求曲线 C ? 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C ? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C ? 上运动时,求 AB 中点 P 的 轨迹方程. 16.平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? 点,

? ?x ? t ( t 为参数),以坐标原点为极 ? ? y ? 3t

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin ? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 | AB | .

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析: ? ? 1 化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 1,表示圆心在原点半径为 1 的圆,故 A 正确;? ?

?
2

化为直角坐标方程为化 x ? 0 ? y ? 0? ,表示射线,故 B 不正确; ? sin ? ? 1 为

直角坐标方程为 y ? 1 ,表示直线,故 C 不正确; ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 化为直角坐标方程为

x ? y ? 1 ,表示直线,故 D 不正确.
考点:极坐标方程和直角坐标方程的互化. 2.B 【解析】 试题分析:极坐标与直角坐标之间的关系是 ?

? x ? ? cos? ,极坐标方程 ? ? 4 sin ? 两边同 ? y ? ? sin ?

乘以 ? 得 ? 2 ? 4? sin ? ,化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y ,即选 B。 考点:极坐标方程与直角坐标方程的转化。 3.B 【解析】 试题分析: ?
2

? ?x ? t ? x ? 2 ? 2 2 cos ? (? 为参数) (t为参数) 即 y=x+4, ? y ? 2 ? 2 2 sin ? ?y ? t ? 4 ? ?
2

即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 , 因为,

|2?2?4| ? 2 2 ,所以,直线与圆相切,直线 l 和曲线 C 的公共点有 1 个,选 B。 2

考点:本题主要考查参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系。 点评:小综合题,将参数方程化为普通方程,实现了“化生为熟” ,研究直线与圆的位置关 系,两种思路,一是“代数法” ,二是“几何法” 。 4.B 【解析】解:因为极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的直角坐标为(0,-1) ,那么极坐标 是 (1, ? 5. C 【解析】 6. D
答案第 1 页,总 7 页

? ) ,选 B 2

? cos? (??? ) , 1 所以 ? ? ?

1 . cos ?

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? y , ? ? si ?n?,? 【解析】由 x ? ? cos
7. ? ?1,1? 【解析】 试题分析: x ?

? s i? n?

? ?c ? o s ,? ? tan ?? ?1, .
4

2 cos

? 3? 2? 3? 2 ? 2 ?? ? ? ?1 , y ? 2 sin ? 2? ? 1 ,所以对 ? ? ? 4 4 2 ? 2 ?

应的直角坐标为 ? ?1,1? 。 考点:直角坐标和极坐标的互化。 8. 6 . 【解析】 试题分析:直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,点 Q ? 4,

? ?

??

? 的直角 3?

坐标为 2, 2 3 ,故 PQ 的最小值为

?

?

2?2 3 ?2 1 ? ? ?1?
2 2

? 6.

考点:1.极坐标与直角坐标的互化;2.点到直线的距离 9. 3 2 ? 1 【解析】 试题分析:由 ? cos(? ?

?
4

) ? 3 2 可得 ? cos? ? ? sin? ? 6,即 x+y=6 ,由 ? ? 1 可得

x2 ? y 2 ? 1
而点(0,0)到直线 x+y=6 的距离为 d1 ?

6 ? 3 2 ,所以 d 的最大值为 3 2 ? 1 . 2

考点: 1.极坐标方程和普通方程间的互化;2.直线与圆的位置关系;3.点到直线的距离. 10. 1 . 【解析】 试 题 分 析 : 圆 ? ? 2 cos( ? ?

?

? ?? ? ) 的 方 程 为 ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? , 即 4 4 4? ?

? ? 2 c o? s?
2

2 2 , 化 为 直 角 坐 标 方 程 得 x ? y ? 2x ? 2 y , 其 标 准 方 程 为 2 s? in
2

? 2? ? 2? 1 x ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,故该圆的半径长为 . 2 2 ? ? ? ?
考点:圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化
答案第 2 页,总 7 页

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11. (1) ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 1 ; (2) . 4 2

【解析】

1 ? ? x ? ? t cos ? ? 2 6 试题分析: ( 1 )由参数方程的概念可以写成 l 的参数方程为 ? ,化简为 ? y ? 1 ? t sin ? ? 6 ?
? 1 3 x? ? t ? ? ? 2 2 (t 为参数 ) ;在 ? ? 2 cos( ? ? )两边同时乘以 ? ,且 ρ 2 = x2+ y2, ? 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,∴ ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 .(2)在 l 取一点,用参数形式表示 2

? 1 3 x? ? t ? 1 1 1 2 1 2 1 ? 2 2 2 , 再代入 ( x ? ) ? ( y ? ) ? , 得到 t + t- =0, |PA|·|PB|=|t1t2| ? 2 4 2 2 2 1 ? y ? 1? t ? ? 2


1 1 .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 . 4 4

1 ? ? ? 1 3 x ? ? t cos x? ? t ? ? ? ? 2 6 2 2 试题解析:(1)直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? (t 为参数) ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
由? ?

2 cos(? ? ) ,得 ρ =cosθ +sinθ ,所以 ρ 2=ρ cosθ +ρ sinθ , 4 1 2 1 2 1 2 2 2 ∵ρ =x +y ,ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,∴ ( x ? ) ? ( y ? ) ? . 2 2 2

?

? 1 3 x? ? t ? 1 2 1 2 1 ? 2 2 (2)把 ? 代入 ( x ? ) ? ( y ? ) ? . 2 2 2 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得t+
2

1 1 1 1 t- =0,|PA|·|PB|=|t1t2|= .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 . 2 4 4 4

考点:1.参数方程的应用;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.
? ? 7? 12. (Ⅰ) : A(4, ), B(?4, ) 或 B(4, ) ; (Ⅱ) 2 17 . 6 6 6

【解析】

答案第 3 页,总 7 页

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? ? 2 cos 2? ? 8 ? ? 2 试题分析: (Ⅰ)由 ? 得: ? cos ? 8 即可得到 ? .进而得到点 A, B 的极坐 ? 3 ?? ? 6 ?
标. (Ⅱ) 由曲线 C1 的极坐标方程 ? 2 cos 2? ? 8 化为 ?
2

? cos

2

? ? sin 2 ? ? ? 8 ,即可得到普通方程

? 3 x ?1? t ? ? 2 2 2 2 代 入 x 2 ? y 2 ? 8 , 整理得 t ? 2 3t ? 14? 0. 进 而得到 x ? y ? 8 . 将直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

MN .
?? 2 cos 2? ? 8 ? ? 试题解析: (Ⅰ)由 ? 得: ? 2 cos ? 8 ?? 2 ? 16 ,即 ? ? ?4 ? 3 ?? ? 6 ?

3分

? ? 7? 所以 A 、 B 两点的极坐标为: A(4, ), B(?4, ) 或 B(4, ) 6 6 6

5分 6分

(Ⅱ)由曲线 C1 的极坐标方程得其普通方程为 x 2 ? y 2 ? 8
? 3 x ?1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 8 ,整理得 t 2 ? 2 3t ? 14 ? 0 将直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

8分

所以 | MN |?

(2 3 ) 2 ? 4 ? (?14) 1

? 2 17

考点:1、点的极坐标和直角坐标的互化;2、参数方程化成普通方程. 13. (1) y ? x ; (2) 5 ? 2 . 【解析】 试题分析: (1)将点 M 极坐标 (4 2,

?
4

) ,化为直角坐标,然后在直线坐标系中求直线 OM

的方程; (2)由曲线 C 的参数方程化为普通方程为 (x ? 1) 2 ? y 2 ?

2 ,再数形结合考虑点

M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.
试题解析:(1)∵点 M 的极坐标为 (4 2, 直角坐标为 (4,4),∴直线 OM 的直角坐标方程 y ? x ;
? x ? 1 ? 2 cos ? , ? (2) 由曲线 C 的参数方程 ? ( ? 为参数), 化成普通方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 , ? ? y ? 2 sin ?
答案第 4 页,总 7 页

?
4

) ,∴ x ? ? cos? ? 4, y ? ? sin ? ? 4 ,点 M 的

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表示以 A( 为圆心,半径为 2 的圆,由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的 1,0) 距离最小值为 | MA | ? r ? 5 ? 2 .

y

M

x A

考点:1、极坐标和直角坐标的转化;2、参数方程和普通方程的互化. 14. (1) C1 : ? cos ? ?
2 2

? 2 sin 2 ?
4

5 ? 1 , C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ; (2) . 4

【解析】 试题分析: (1)题中参数方程化为普通方程只要消去参数 ? ,极坐标系与直角坐标系的互化 公式为: ?

? x ? ? cos ? ; (2)首先明确 PQ 是什么?可把点 M1、M 2 坐标化为直角坐标,发 ? y ? ? sin ?

现 M 1 就是圆心,从而线段 PQ 是圆的直径,因此题中有 OP ? OQ ,即 OA ?OB ,我们在 极坐标系中证明本题结论较方便, 因为可设 A( ?1 , ? ), B( ? 2 , ? ?
2 可得 ?12 , ?2 ,代入即可求得

?
2

), 代入 C1 的极坐标方程,

1 1 ? . 2 | OA | | OB |2
2

试题解析: (1)曲线 C1 的普通方程为 x ?

y2 ?1 4 ?1

1分

化为极坐标方程为: ? cos ? ?
2 2

? 2 sin 2 ?
4

3分

曲线 C2 的普通方程为: C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 (2)在直角坐标系下, M1 (?1,0), M 2 (0, 2) ,

5分

线段 PQ 是是圆 C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的一条直径, ∴ ?POQ ? 90? ,由 OP ? OQ ,有 OA ? OB 6分

答案第 5 页,总 7 页

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A, B 是 椭 圆 上 的 两 点 , 在 极 坐 标 系 下 , 设 A( ?1 ,? ), B( ? 2 , ? ? ) 分 别 代 入 2

?

? 2 cos 2 ? ?

? 2 sin 2 ?
4
2 1 2

? 1,

有 ?1 cos ? ?
2 2

? sin ?
4

2 ? 1 , ?2 cos2 (? ? ) ? 2

?

? 2 ?2 sin 2 (? ? )
4

2 ?1

8分

解得:

1

?12
1

? cos2 ? ?

sin 2 ? 1 cos2 ? , 2 ? sin 2 ? ? . 4 ?2 4 sin 2 ? cos2 ? 1 5 ? sin 2 ? ? ? 1? ? 4 4 4 4
10 分 9分



1

?12

?

2 ?2

? cos2 ? ?



1 1 5 ? ? . 2 2 4 | OA | | OB |

考点:(1)参数方程,极坐标方程与普通方程的互化;(2)极径的计算.
2 2 15. (1) x 2 ? y 2 ? 1; (2) ( x ? ) ? y ?

3 2

1 . 4

【解析】 试题分析:本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识,考查学生

? ? 1 x ? x ? ? 3 的转化能力、分析能力、计算能力.第一问,将曲线 C 的坐标直接代入 ? 中,得到曲 ? y? ? 1 y ? ? 2
线 C ? 的参数方程, 再利用参数方程与普通方程的互化公式, 将其转化为普通方程; 第二问, 设出 P、A 点坐标,利用中点坐标公式,得出 x0 , y0 ,由于点 A 在曲线 C ? 上,所以将得到的

x0 , y0 代入到曲线 C ? 中,得到 x, y 的关系,即为 AB 中点 P 的轨迹方程.
? ? 1 x ? x ? ? x ? 3cos ? ? x ? cos ? ? 3 试题解析: (1)将 ? 代入 ? ,得 C ? 的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? ? y ? sin ? ? y? ? 1 y ? ? 2
∴曲线 C ? 的普通方程为 x ? y ? 1.
2 2

5分

(2)设 P ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,又 B(3, 0) ,且 AB 中点为 P 所以有: ?

? x0 ? 2 x ? 3 ? y0 ? 2 y
答案第 6 页,总 7 页

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2 2 又点 A 在曲线 C ? 上,∴代入 C ? 的普通方程 x0 ? y0 ? 1得 (2x ? 3)2 ? (2 y)2 ? 1
2 2 ∴动点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) ? y ?

3 2

1 . 4

10 分

考点:参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式. 16.(Ⅰ) ? ?

?
3

? ? ? R ? ;(Ⅱ)

15 .

【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 先消去参数 t 求得直线的普通方程,然后将极坐标与直角坐标的关系式

? x ? ? cos? 代入直线方程,根据特殊角的三角函数值即可求解;(Ⅱ)直线的极坐标方程 ? ? y ? ? sin?
与曲线的极坐标方程联立方程组,消去一个未知数,求得 ? ? 3? ? 3 ? 0 ,根据方程的根
2

与系数的关系以及两点间的距离公式求解. 试题解析:(Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程为: y ? 3x . 由? 2分

? x ? ? cos ? 代入得, ? sin ? ? 3? cos? , ? y ? ? sin ?

解得 ? ?

?
3

? ? ? R? .
?
3
或? ?

(也可以是: ? ?

4? ? ? ? 0 ? .) 3

5分

? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 ? 2 (Ⅱ)由 ? 得, ? ? 3? ? 3 ? 0 , ? ??? 3 ?
设 A ? ?1 ,

? ?

??

?? ? ? , B ? ? 2 , ? ,则 AB ? ?1 ? ?2 ? 3? 3? ?

2 ?1?2 ??1 ??2 ? ? 4

? 15 .

10

分 考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.两点间的距离公式;3.极坐标方程的简单应用;4. 特殊角的三角函数值

答案第 7 页,总 7 页


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