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1.计数原理 ---解析


一.两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有 .在第 1 类方案中有 m 种不同的方 法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 完成这件事共有 N= 法 能否 完成整个事件 种不同的方 分步乘法计数原理 完成一件事需要 ,做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法 完成这件事共有 N= 能否 完成整个事件 种不同的方法

条件<

br />
结论 依据

直接法 优先法 捆绑法

把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内 部排列 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在 前面元素排列的间隔中 “小集团”排列问题中先整体后局部 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排 列 正难则反,等价转化的方法

插空法 先整体 后局部 定序问题 除法处理 间接法

有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置;---优先
6 3 ? A6 ? 2160

(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边;---正难则反---内含优先 方法一:
7 6 6 5 A7 ? ( A6 ? A6 ? A5 ) ? 3720

若乙占了第一个位置,有6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720
方法二:

若乙没占第一个位置,有5 ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 3000 共3720种

(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起;----整体优先
5 3 A5 ? A3 ? 720

(4)全体排成一行,男、女各不相邻;---插空

4 3 A4 ? A3 ? 144

(5)全体排成一行,男生不能排在一起;----优先插空
3 4 A5 A4 ? 1440

(6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变;
4 方法一,插空 A7
7 3 A7 / A3

方法二,定序

(7)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人;---理解分组是障眼法 (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人.---整体 要点: 提取有用信息,抽象场景,例如男女之别在第一问就没有用,而在第四问有用;又例如第七 问的前后排站法其实是障眼法 考虑一下有多复杂,例如第一个问题就不太复杂,只有一个限定条件,而第二个问题较第一 个问题复杂,他有两个限定条件 确定优先条件,先确定哪个条件会让问题简单一点 寻找问题的反面,类似于集合的补集,例如第一问和第二问 用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 你一定听过一句话叫正难则反 我们来尝试正反各做一次,看看到底谁难谁简单 正:什么叫做有重复数字? 第一种情况,有两个重复的 先考虑没有 0 的,有 9*8*3 个 含 1 个 0 的,有 9*2 个 含 2 个 0 的,有 9 个 第二种情况,有三个重复的,只有 9 个 做差得 252 反:总共有 9*10*10 个三位数 无重复的有 9*9*8 个, 做差得 252 总结一下,①,结果一定一样 ②,穷举有序,不要遗漏 ③,穷举没那么麻烦 ④,反做的基础是精准的概括和分类

2.五名大学生被安排到 4 个不同的地区,每个地区至少一人,其中甲乙不能安排在相同的地

方,求不同的安排方法 __ __ __ __ 甲 乙 方法一:列举所有可能情况 12*3*2*2+12*3*2=216 甲或者乙不孤单的情况 第一个 12 是甲乙挑位置,有 12 种,3*2 是剩下的两个位置分配给两个人,最后的 2 是最后 一个人有 2 个位置可以选 甲乙各占一坑 第一个 12 是甲乙挑位置,有 12 种,3 是有一个位置可以有三种塞法,2 是,这个位置有两 种选法 方法二:正难则反 先不考虑甲乙的个性问题,所有情况有 5*4*3*2*4=240 种 甲乙在一起的情况有 A33*C41=24 种,做差得 216 种 分类例题: 将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有___种 注意读题,短短一句话,如何将场景构建出来? ①,四个球都要进盒子,不存在球不到盒子里的情况 ②,三个盒子不同,将盒子编号为甲乙丙 ③,四个小球也不同,将球编号为 ABCD 方法一:为了满足他的要求, 三个盒子放满,剩下一个可以任意放置,分析图如下: 甲 乙 丙 A B C,也可能是 BCD

操作过程就确定为,先给每个盒子分配一个球,再将剩下的球分配给三者之一
3 1 前面的过程是A4 , 后者是C3 3 1 共有A4 ? C3 ? 72种

方法二:从大局考虑,必然有一个盒子装了两个球,其他两个盒子各装一个球

三个盒子里面选两个盒子,各装一个球
2 共有C32 ? A4 种

挑完这两个,大局已定,所以一共就是36种
请思考,谁对谁错,错在哪个环节? 方法一错在有重复,刚好重复两倍,除以 2 就行了

变式:恰有一个盒子为空的放法有____种 要点,不要将这种情况等价于只有 2 个盒子

1 首先,把空盒子选出来C3

然后可能有两种分配情况, 2, 2或者1,3
2 1 2, 2有C4 种, 1,3有C4 种 1 2 1 所以共有C3 ? (C4 ? C4 )种

有没有遗漏?有, 13为不对等状态,还需要做一内部排列
1 2 1 2 C3 ? (C4 ? C4 ? A2 ) ? 42

用 1,2,3,4 四个数字在任取数(不重复取)作和,则取出这些数的不同的和共有____个 内容提取:既然要做和,就起码有 2 个数,最多 4 个数,可能的和为 3,4,5,6,7,8,9,10,共 8 个 变式:在 1,2,3,4 四个数字中任取数,所取数的总和有多少种情况____ 内容提取:没有了两个数的限制,可能的和就是 1-10,共 10 个

方法致胜: 在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或 最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有______种 典型的整体法+特殊法,96

2.一生产过程有四道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、 乙两工人中安排 1 人, 第四道工序只能从甲、 丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有________种. 典型的特殊法 36 _ _ _ _ 甲 丙 乙 甲 乙 丙
2 3 ? A4 ? 36

3.电视台在直播 2014 年亚运会时要连续插播 5 个广告,其中 3 个不同的商业广告和 2 个不 同的奥运宣传广告,要求最后播放的是奥运宣传广告,且 2 个奥运宣传广告不能连播.则不 同的播放方式有 _ 奥 _ 奥 奥 奥 4*2*(3*2*1) _ _ _ 奥 奥 奥 奥

以下题型非常适合枚举: 1.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在 本班监考,则监考的方法有( ) 2.同室 4 人各写 1 张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方式有( ) 一二题是同一个问题 从枚举图中选出符合题意的选项: 1 2 3 4 1 2 3 A B C D× C A B A B D C× C A D A C B D× C B A A C D B× C B D A D B C× C D A A D C B× C D B B A C D× D A B B A D C D A C B C A D× D B A B C D A D B C B D A C D C A B D C A D C B 可以看到剩下了四种 课题:①树形枚举 ②快速排除 非枚举的做法比较科幻 先考虑甲,选择非配对对象有 3 种情况 选完以后,剩下的三个选择者中,必有一个,他的配对对象被甲选走了 他也有 3 种情况可选, 为了保证每个人都和自己的配对对象分开, 剩下的两个选择者别无选 择,所以就是 3X3=9 种

4 D× B D× A× B A C B× C× A× B× A

3.在编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子里放入两个小球,每个盒子中最多放一个小球,且不能在 两个编号连续的盒子中同时放入小球,则不同的放小球的方法有_____ 直接枚举 1 3456 2 456 3 56 46 10 种,完了

x2 y2 4.椭圆m+ n =1 的焦点在 y 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7}, 则这样的椭圆的个数为________.
条件的意思是 n>m m n 1 2,3,4,5,6,7 2 3,4,5,6,7 3 4,5,6,7 4 5,6,7 5 6,7 没了,20 种 5.设集合 I={1,2,3,4,5}. 选择集合 I 的两个非空子集 A 和 B, 若集合 B 中最小的元素大于集 合 A 中最大的元素,则不同的选择方法共有______

图形着色(选讲): 1.如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P?ABC 与正三棱柱 ABC?A1B1C1 组合而成,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1 不涂色),要求相邻的面均不同色,则不 同的染色方案共有________种.

[解析] 先涂三棱锥 PABC 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有 C×C×C×C=3× 2×1×2=12 种不同的涂法. [答案] 12 2.将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜 色,则不同的涂色方案有______种 只能对棱涂相同的颜色,3X2X1=6

3.用红、黄、蓝等 6 种颜色给如图所示的五连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同, 且红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为( ) 第一类:涂两个红色圆,共有 个红色圆,共有 种;故共有 630 种. 种;第二类:涂三

具体思维: 此类题在解题之前要进行划归,找出需要进行排列组合的环节,再通过排列组合计数,进行 求解 1.如果正整数 a 的各位数字之和等于 6, 那么称 a 为 “好数” (如: 6,24,2 013 等均为 “好数” ), 将所有“好数”从小到大排成一列 a1,a2,a3,?,若 an=2 013,则 n=( ) 首先考虑 1 位数有哪些,只有 6 2 位数有 15,24,33,42,51,60 3 位数就多了,6 可以拆分为 0+0+6,0+1+5,0+2+4,0+3+3 看来枚举很容易出错 换个思路,把 1 位数看做百位和十位是 0 的三位数,把 2 位数看做百位是 0 的三位数 6 拆分为 3 个数有如下情况 0 0 6 3 0 1 5 6 0 2 4 6 0 3 3 3 1 1 4 3 1 2 3 6 2 2 2 1 共 28 个 再考虑千位是 1 的,相当于后三位和为 5 5 可以拆分为 0 0 5 3 0 1 4 6 0 2 3 6 1 1 3 3 1 2 2 3 共 21 个 再考虑开头是 2,比 2013 小的数有多少个 4 可以拆分为 0 0 4 2004 2040(舍) 2400(舍) 0 1 3 2013 2031(舍) 2103(舍) 2130(舍) 0 2 2 2022(舍) 2202(舍) 2220(舍)

2301(舍)

2310(舍)

1 1 2 2112(舍) 共1个 所以是第 51 个

2121(舍) 2211(舍)

隐藏条件,重新建模 1.我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决 4 个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一 周中每天所解决问题个数的不同方案共有_____种 2.数列有,9 项,头尾均为 1,其中每一项可能是前项的 3 倍,1/3 或者相等,求这样的数列 有多少种_____ 变式一,头为 1,尾巴为 9,求数列有多少种 3.无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5 , 当 a1<a2, a2>a3, a3<a4, a4>a5 时称为波形数,则由 1, 2,3,4,5 任意组成的没有重复数字的波形数有多少个____


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