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上海市静安区2016届高三上学期期末教学质量检测理科数学试卷


静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 理科数学试卷 (试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 考生注意: 本试卷共有 23 道题,答题前,请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知抛物线 y

? ax 的准线方程是 y ? ?
2

2016.1

1 ,则 a ? 4

.

2.在等差数列 ?an ? ( n ? N

?

)中 ,已知公差



,则

.

3. 设

,且

,则

的取值范围是

.

4. 已知球的半径为 24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面 积,则这个圆锥的体积是 cm .
3

5.方程

的解为

.

6.直线

关于直线

对称的直线方程是

.

7.已知复数

满足

,其中

为虚数单位,则

.

8.

的展开式中项

的系数等于

.(用数值作答)

9.在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从 100 件产品(已知其中有 3 件不合格品)中任 意抽出 4 件检查,恰好有 2 件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)

10. 经 过 直 线 是 .

与圆

的两个交点,且面积最小的圆的方程

11.在平面直角坐标系

中,坐标原点

、点

,将

向量

绕点

按逆时针方向旋转

后得向量

,则点

的横坐标是

.

12.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,若△ABC 的面积





. (用数值作答)

13. 已知各项皆为正数的等比数列



) , 满足



若存在两项 值为 .



使得

,则

的最小

14. 在平面直角坐标系

中,将直线

沿

轴正方向

平移 3 个单位, 沿

轴正方向平移 5 个单位,得到直线

.再将直线

沿

轴正方向平移 1 个单位, 沿

轴负方向平移 2

个单位,又与直线

重合.若直线

与直线

关于点

对称,则直线

的方程是

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.组合数

恒等于(

)

A.

B.

C.

D.

16.函数

的反函数是 (

)

A.

B.

C.

D.

17.已知数列

的通项公式为

,则

(

)

A.

B.0

C.2 )

D.不存在

18.下列四个命题中,真命题是 (

A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线; B.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线; C.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线; D.若 a、b 是异面直线, b、c 是异面直线,则 a、c 是异面直线.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

如图,在棱长为 1 的正方体 (1)异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值;

中,E 为 AB 的中点. 求:

(2)点 A 到平面

的距离.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 4 分. 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一 月初向银行贷款十万元做创业资金, 每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳 房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余 款全部投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款?

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

设 P1 和 P2 是双曲线 原点 O.

上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 P1P2 不经过坐标

(1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2=



(2)若双曲线的焦点分别为



,点 P1 的坐标为(2,1) ,直

线 OM 的斜率为

,求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积.

22.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分.

在平面直角坐标系

中,点

在 y

轴正半轴上,

A





轴上,其横坐标为

P2 P3 0 P1,且

是 x P4 ??

首项为 1、公比为 2 的等比数列,记





(1)若

,求点

的坐标;

(2)若点

的坐标为

,求

的最大值及相应

的值.

23.(本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

已知定义在实数集 R 上的偶函数

和奇函数

满足

.

(1)求



的解析式;

(2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数

,当

时,

,试求

在闭区间

上的表达

式,并证明

在闭区间

上单调递减;

(3)设 求 m 的取值范围.

(其中 m 为常数),若

对于

恒成立,

静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测

理科数学试卷参考答案及评分标准 说明

2016.01

1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分 标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.

1

2.2025

3.

.

4. 12288?

5.

6.

7.

8.

9. 13968

10.

11.

12.

13.

14.

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.D 16.B 17.A 18.C

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 .

19. 如图,在棱长为 1 的正方体 (1)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值;

中,E 为 AB 的中点。

(2)求点 A 到平面

的距离。

1 2

解(1)延长 DC 至 G,使 CG=

DC,连结 BG、

?CG/ /EB,∴四边形 EBGC 是平行四边形.
∴BG∥EC. ∴ ?D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角 .

在 ?D1 BG中D1 B ? 3,

BG ?

5 3 2 13 ,D1G ? 12 ? ( ) ? 2 2 2
2 2 2

5 13 ? D1 B ? BG ? D1G 4 4 ? 15 ? cos?D1 BG ? ? 2 D1 B ? BG 15 15 2? 2 3?
即异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值是 (2)过

15 . 15
底面 ABCD 如图所示.

A1作 A1 H ? CE交 CE 的延长线于 H.连结 AH.
1?

1 AH AE 5 1 CB ? AE 1 ? ? ? CE ? , AE ? ,? AH ? ? 2? CB CE 2 2 CE 5 5 2 1 6 在Rt ?A1 AH中,A1 A ? 1, AH ? ? A1 H ? . 5 5

由于∠AHE=∠B=90°,∠AEH=∠CEB,则△AHE∽△CBE

设点 A 到平面

的距离为

,则由三棱锥体积公式可得:

,即

。所以



即点 A 到平面

的距离为



20. 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年 一月初向银行贷款十万元做创业资金, 每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交 纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元, 余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款?

解法 1:(1)设

个月的余款为

,则



, 。。。。。。



=

(元),

法 2:



一般的,



构造





。 (2)194890-100000?1.05=89890(元), 能还清银行贷款。

21.设 P1 和 P2 是双曲线 点 O.

上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 P1P2 不经过坐标原

(1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2=



(2)若双曲线的焦点分别为



,点 P1 的坐标为(2,1) ,直

线 OM 的斜率为

,求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积.

(1)解法 1:设不经过点 O 的直线 P1P2 方程为

,代入双曲线

方程

得:

.

设 P1 坐标为

,P2 坐标为

,中点坐标为 M (x,y),则





,所以,

,k1k2=



另解:设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 M (x,y),则



(1)-(2)得:



因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0,

等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:



k1k2=

。????6 分

(2)由已知得

,求得双曲线方程为



直线 P1 P2 斜率为



直线 P1 P2 方程为

,

代入双曲线方程可解得

(中点 M 坐标为

.

面积

.

另解: 线段 P1 P2 中点 M 在直线

上.所以由中点 M((x,y),可得点 P2 的坐标



,代入双曲线方程可得

,即

,解得



),所以

。面积

.

22. 在平面直角坐标系

中,点



y A

轴正半轴上,点



轴上, 其横坐标为

, 且 0 P1 P2

P3

是首项为 P4 ?? x

1、公比为 2 的等比数列,记





(1)若

,求点

的坐标;

(2)若点

的坐标为

,求

的最大值及相应

的值.

解:(1)设

,根据题意,





,知







所以

,解得



.故点

的坐标为





(2)由题意,点

的坐标为







因为

,所以



当且仅当

,即

时等号成立.

易知



上为增函数,

因此,当

时,

最大,其最大值为



23.已知定义在实数集 R 上的偶函数

和奇函数

满足

.

(1)求



的解析式;

(2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数

,当

时,

,试求

在闭区间

上的表达

式,并证明

在闭区间

上单调递减;

(3)设 求 m 的取值范围.

(其中 m 为常数),若

对于

恒成立,

解:(1)假设

①,因为

是偶函数,

是奇函数

所以有

,即



∵ 由①和②解得,



定义在实数集 R 上,



.

(2)

是 R 上以 2 为正周期的周期函数, 所以当

时,

,

,即

在闭区间

上的表达式为

.

下面证明

在闭区间

上递减:

,当且仅当

,即

时等号成立.对于任意

,

,

因为

,所以

,

,



,

,

从而

,所以当

时,

递减.

(证明 也可)



上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到

(3)∵



单调递增,∴

.



对于

恒成立,



对于

恒成立,



,则

,当且仅当

时,等号成立,且

所以在区间



单调递减,



,∴

为 m 的取值范围.


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