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圆锥曲线1答案


1.【答案】B 【解析】抛物线的焦点为 ( 3, 0) ,即 c ?

3 .双曲线的渐近线方程为 y ?

b b x ,由 ? 2 ,即 b ? 2a ,所以 a a

b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? 3a 2 ,即 e 2 ? 3, e ? 3 ,即离心率为 3 ,选 B.

/>
2. 【答案】 C 【 解析】 椭圆的焦点为 (1, 0) ,顶点为 (2, 0) ,即双曲线中 a ? 1, c ? 2 ,所以双曲线的离心率为 e ?

c 2 ? ? 2, a 1

选 C. 抛物线的焦点坐标为 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 .由题意 PF ? PA ? 4 ,则 xP ? (?1) ? 4 ,即 xP ? 3 ,所以

3.【答案】B

yP 2 ? 4 ? 3 ,即 yP ? ?2 3 ,不妨取 P(?1, 2 3) ,则设直线 AF 的倾斜角等于 ? ,则 tan ? ?
选 B.
4.【答案】D

2 3 2? ? ? 3 ,所以 ? ? ?1 ? 1 3 ,

【解析】 当 x ? 0, y ? 0 ,方程为

x2 y 2 ? ? ?1 ,此时方程不成立. 16 9

x2 x2 y 2 ?1 .当 当 x ? 0, y ? 0 , 方程为 ? ? 1 , 此时 y ? ?3 16 16 9
x ? 0, y ? 0 , 方 程 为

x2 x2 y 2 ?1 . 当 ? ? ?1 , 即 y ? ?3 16 16 9

x ? 0, y ? 0 ,方程为 ?

x2 x2 y 2 ? 1 .做出函数的图象如图由图象可知,函数在 R 上单调递减.所以①成 ? ? ? 1 ,即 y ? 3 16 16 9

x2 y 2 x2 y 2 3 3 立 .②由 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3 x ? 0 得 f ( x) ? ? x . 因为双曲线 ? ? ?1 和 ? ? ? ?1 的渐近线为 y ? ? x , 所 16 9 16 9 4 4
以 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3 x 没有零点,所以②正确.由图象可函数的值域为 R,所以③正确.若函数 g ( x) 和 f ( x) 的图像关于原 点对称,则函数 y ? g ( x ) 的图像就是方程 5. 【答案】D 【解析】抛物线 y ? ?12 x 的准线为 x ? 3 ,双曲线
2

?x x 16

?

?y y 9

? ?1 ,即

xx 16

?

y y 9

? 1 ,所以④错误,所以选 D.

x2 y 2 3 3 ? ? 1 的两渐近线为 y ? x和y?? x ,令 x ? 3 ,分别解 9 3 3 3

得 y1 ?

1 3, y2 ? ? 3 ,所以三角形的低为 3 ? (? 3) ? 2 3 ,高为 3,所以三角形的面积为 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 ,选 D. 2

6. 【答案】A

【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 4 , 所以圆心坐标为 C (3, 0) , 半径 r ? 2 ,双曲线的渐近线为 y ? ?
2 2

b x , 不妨取 a

y?

3b b ? 2 , 即 9b 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) , 所以 x , 即 bx ? ay ? 0 , 因为渐近线与圆相切 , 所以圆心到直线的距离 d ? 2 2 a a ?b
9 3 5 4 2 9 ,选 A. a ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? c 2 ,所以 e 2 ? , e ? 5 5 5 5

5b 2 ? 4a 2 , b 2 ?
7. 【答案】D

【解析】 双曲线的右焦点为 (3, 0) ,双曲线的渐近线为 y ? ?

2 2 x ,不妨取渐近线 y ? x ,即 2 x ? 2 y ? 0 ,所以圆心到 2 2

直线的距离等于圆的半径,即 r ?

3 2 ( 2) 2 ? 22
1 4

?

3 2 3 ? ? 3 ,所以圆的标准方程为 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3 ,选 D. 6 3

1 .因为|AF|+|BF|=3,所以设 A 到准线的距离为 AC ,B 到准线 4 3 的距离为 AD ,则 AC ? AD ? 3 ,则线段 AB 的中点 M 到准线的距离为 ,所以线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 2 3 1 5 ? ? ,选 A. 2 4 4 b 2 2 9.【答案】C 由题意知 2a ? 2, 2c ? 4 ,所以 a ? 1, c ? 2 ,所以 b ? c ? a ? 3 .又双曲线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 a
8. 【答案】A 抛物线的焦点为 F ( , 0) ,准线方程为 x ? ?

y ? ? 3 x ,选 C.
10. 【 答 案 】 D 双 曲 线 的 c ? m ? b , 椭 圆 的 c ? a ? b , 所 以 c ? a ? b ? m ? b , 即 m ? a ? 2b , 所 以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 a 2 ? 2b 2 a 2 2a 2 ? 2b 2 2(a 2 ? b 2 ) ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ,选 D . e12 e2 c2 c c2 c2
p p , 0) ,且 c ? ,所以 p ? 2c .根据 2 2 p p 对称性可知公共弦 AB ? x 轴 , 且 AB 的方程为 x ? ,当 x ? 2 2 p p 时 , y A ? p , 所 以 A( , p ) . 所 以 F1 (? , 0) , 即 2 2
11.【答案】B 抛物线的焦点为 F (

AF1 ? (?

p p 2 ? ) ? p 2 ? 2 p, AF ? p , 所 以 2 p ? p ? 2a , 即 2 2
所 以

( 2 ? 1) ? 2c ? 2a
B.

c 1 ? ? 2 ?1 a 2 ?1

,



12.【答案】D 【 解析】抛物线的焦点坐标为 F2 (c, 0) ,准线方程

为 x ? ?c . 圆的半径为 a , 因为 OE ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? (OF ? OP) , 所以 E 是 2

FP 的 中 点 , 又 E 是 切 点 , 所 以 OE ? FP , 连 结 PF2 , 则

PF2 ? FP ,且 PF2 ? 2a ,所以 PE ? b, PF ? 2b ,则 PF2 ? 2a ,
过 P 做 准 线 的 垂 线 PM , 则 PM ? PF2 ? 2a , 所 以

MF ? PF 2 ? PM 2 ? (2 b) 2 ? (2 a)2 ? 2 b2 ? a2 , 在直角三
角 形

FPF2 中 , PF ? PF2 ? FF2 ? MF

, 即

2c ? 2 b 2 ? a 2 ? 2b ? 2a , 所 以 c 2 (b 2 ? a 2 ) ? a 2b 2 , 即
3? 9 ? 4 3? 5 ,所以 ? 2 2

c 2 (c 2 ? 2a 2 ) ? a 2 (c 2 ? a 2 ) , 整 理 得 c 4 ? 3a 2c 2 ? a 4 ? 0 , 即 e 4 ? 3e 2 ? 1 ? 0 , 解 得 e 2 ?
3? 5 3 ? 5 6 ? 2 5 ( 5 ? 1) 2 1? 5 ,即 e 2 ? ,所以 e ? ,选 D ? ? 2 2 4 4 2

e2 ?

13.【答案】D 由题意知 2a ? 2 2, c ? 10 ,所以 a ?

2, b ? c ? a ? 10 ? 2 ? 8 ,所以双曲线方程为
2 2 2
2 2

x2 y 2 ? ? 1 .不妨 2 8

设点 P 在第一象限,则由题意知 ?

? ? PA ? PB ? 2a ? 2 2 ? ? PA ? PB ? (2c) ? 40
2
2 2

2

2

, 所 以 ( PA ? PB ) 2 ? PA ? PB ? 2 PA PB , 解 得

2 PA PB ? 32 ,所以 ( PA ? PB ) 2 ? PA ? PB ? 2 PA PB ? 72 ,所以 PA ? PB ? 72 ? 6 2 ,选 D.
14.【答案】A

由 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 得 (OP ? OF2 ) ? (OP ? OF2 ) ? 0 ,即 OP ? OF2

??? ?

???? ? ???? ?

??? ? ???? ?

??? ? ???? ?

??? ?2

???? ?2

??? ? ???? ? ? 0 ,所以 OP ? OF2 ? c ,所以△PF1F2 中,边

F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半,可得 PF1 ? PF2 ,所以 PF12 ? PF2 2 ? 4c 2 ,又 | PF1 |? 又 PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a ,所以

????

???? ? 3 | PF2 | ,解得 PF1 ? 3c, PF2 ? c ,

c 2 ? ? 3 ? 1 ,所以双曲线的离心率为为 3 ? 1 ,选 A. a 3 ?1

15. 【答案】C

因为三个数 2,m, 8 构成一个等比数列 ,所以 m 2 ? 2 ? 8 ? 16 , 即 m ? ?4 .若 m ? 4 , 则圆锥曲线方程为

x2 y 2 c 3 ? ? 1 ,此时为椭圆,其中 a 2 ? 4, b 2 ? 2, c 2 ? 4 ? 2 ? 2 ,所以 a ? 2, c ? 3 ,离心率为 e ? ? .若 m ? ?4 ,则圆 4 2 a 2
锥曲线方程为

y 2 x2 ? ? 1 , 此 时 为 双 曲 线 , 其 中 a 2 ? 2, b 2 ? 4, c 2 ? 4 ? 2 ? 6 , 所 以 a ? 2, c ? 6 , 离 心 率 为 2 4

e?

c 6 ? ? 3 .所以选 C. a 2
抛物线的焦点为 (

16.【答案】B

p p p , 0) ,准线为 x ? ? .双曲线的右焦点为 (3, 0) ,所以 ? 3 ,即 p ? 6 ,即 y 2 ? 6 x .过 F 2 2 2

做准线的垂线 , 垂足为 M, 则 AK ?

2 AF ? 2 AM , 即 KM ? AM , 设 A( x, y ) , 则 y ? x ? 3 代入 y 2 ? 6 x , 解得

x ? 3 .选 B.
17.【答案】A

【解析】因为 OE ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? ( OF ? OP ) , 所以 E 是 F , P 的中点 . 设右焦点为 F1 , 则 F1 也是抛物线的焦点 . 连接 PF1 , 则 2

PF1 ? 2a ,且 PF ? PF1 ,所以 PF ? 4c 2 ? 4a 2 ? 2b ,设 P( x, y ) ,则 x ? c ? 2a ,则 x ? 2a ? c, 过点 F 作 x 轴的垂线,
点 P 到该垂线的距离为 2a ,由勾股定理得 y ? 4a ? 4b ,即 4c(2a ? c) ? 4a ? 4(c ? a ) ,解得 e ?
2 2 2 2 2 2

5 ?1 ,选 A. 2

18.【答案】D 因为

PF1 ∶ F1 F2 ∶ PF2 =4∶3∶2,所以设 PF1 ? 4 x, F1 F2 ? 3x , PF2 ? 2 x, x ? 0 .若曲线为椭圆,则有

2c 3 x 1 ? ? .若曲线为双曲线,则有 2a 6 x 2 2c 3 x 3 PF1 ? PF2 ? 4 x ? 2 x ? 2 x ? 2a, F1 F2 ? 3x ? 2c ,所以椭圆的离心率为 D. ? ? .所以选 2a 2 x 2

PF1 ? PF2 ? 4 x ? 2 x ? 6 x ? 2a, F1 F2 ? 3x ? 2c , 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为

19.【答案】B

b b x , l2 : y ? ? x ,因为点 P 在第一象限内且在 l1 上, a a 1 b 所以设 P ( x0 , y0 ), x0 ? 0 ,因为 l2 ⊥PF1, l2 //PF2,所以 PF1 ? PF2 ,即 OP ? F1 F2 ? c ,即 x0 2 ? y0 2 ? c 2 ,又 y0 ? x0 ,代 2 a b ? b b l 入 得 x0 2 ? ( x0 ) 2 ? c 2 , 解 得 x0 ? a, y0 ? b , 即 P (a, b) . 所 以 k PF1 ? , l2 的 斜 率 为 a , 因 为 2 ⊥PF1, 所 以 a a?c
【解析】双曲线的左焦点 F1 (?c, 0) ,右焦点 F2 (c, 0) ,渐近线 l1 : y ?

b b ? ( ? ) ? ?1 2 2 2 2 a?c a ,即 b ? a (a ? c ) ? a ? ac ? c ? a , 所以 c 2 ? ac ? 2a 2 ? 0 , 所以 e 2 ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? 2 , 所以双
曲线的离心率 e ? 2 ,所以选
20.【答案】

B.

5

b b x ,不妨取 y ? x ,因为 AF ? x ,所以 x A ? 1 ,所以 y A ? ?2 , a a b b 不妨取 A(1, 2) , 又因为点 A(1, 2) 也在 y ? x 上 , 所以 ? 2 , 即 b ? 2a , 所以 b 2 ? 4a 2 ? c 2 ? a 2 , 即 c 2 ? 5a 2 , 所以 a a
【解析】 抛物线的焦点为 F (1, 0) .双曲线的渐近线为 y ? ?

e 2 ? 5 ,即 e ? 5 ,所以双曲线的离心率为 5 .

2 3 21. 【答案】 3

b ? ( ?c ) 5 b 抛物线的焦点坐标为 ( , 0) , 由题意知 2 ? , c ? 2b , 所以 c 2 ? 4b 2 ? 4(c 2 ? a 2 ) , 即 b 3 2 c? 2

4a 2 ? 3c 2 ,所以 2a ? 3c ,所以 e ?

c 2 2 3 . ? ? a 3 3

22.【答案】 y ?
2

x2 ?1 3 y 2 x2 ? ?1 , 即 n ?m

抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 (0, 2) , 所 以 双 曲 线 的 焦 点 在 y 轴 上 且 c ? 2 , 所 以 双 曲 线 的 方 程 为

a 2 ? n ? 0, b 2 ? ?m ? 0 ,所以 a ? n ,又 e ?
x2 ? 1. 3

c 2 ? ? 2 ,解得 n ? 1 ,所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,即 ?m ? 3, m ? ?3 , a n

所以双曲线的方程为 y ?
2

23. 【答案】

5

双曲线的渐近线为 y ? ?

b 1 b x .直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 y ? ? .因为 y ? x 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 a 2 a

垂直,所以

b 1 ? (? ) ? ?1 ,即 b ? 2a .所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 5a 2 ,即 e 2 ? 5, e ? 5 . a 2

24.【答案】 x ?
2

y2 ?1 3
b x ? ? 3x , 即 b ? 3 , 所以双曲线 的方程为 a

抛物线的 焦点坐标为 (1, 0) , 即 a ? 1 . 双 曲线的渐近线方程 为 y ? ?

x2 ?

y2 ?1 3 .

25.【答案】

a2 ? 9 ?1

2 【解析】当 x ? 4 时, y ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A 在抛物线的外侧,延长 PM 交直线

x ? ?1 , 由抛物线的定义可知 PN ? PM ? 1 ? PF , 当 , 三点 A, P, F 共线
时, | PA | ? | PF | 最小,此时为 | PA | ? | PF |? AF ,又焦点坐标为 F (1, 0) ,所 以 AF ?

(4 ? 1) 2 ? a 2 ? 9 ? a 2 ,即 PM ? 1 ? PA 的最小值为 a 2 ? 9 ,
2

所以 PM ? PA 的最小值为 a ? 9 ? 1 .

26.【答案】

5 4 1 4 1 .,过 M,N 分别作准线的垂 4
, 以 中 所 位 以 线

【解析】 抛物线的焦点为 (0, ) ,准线为 y ? ? 线 , 则

MM ' ? MF , NN ' ? NF
, 所

MM ' ? NN ' ? MF ? NF ? 3
PP ' ?
PP ' ? 1 3 1 5 ? ? ? . 4 2 4 4
2

MM ' ? NN ' 2

?

3 , 所 以 中 点 到 x 轴 的 距 离 为 2

27.【答案】 ( x ? 1)

? y 2 ? 13
2

【 解析】抛物线的焦点为 (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 ,则圆心到准线的距离为 2,则圆的半径为 2 ? ( ) ? 13 ,所以圆
2

6 2

的标准方程为 ( x ? 1) ? y ? 13 .
2 2

28.【答案】

3 1 c 1 因为椭圆的离心率为 ,所以 e ? ? ,即 a ? 2c .设直线 PF1 的斜率为 k , ( k ? 0) ,则直线 PF1 的方程 5 2 a 2

为 y ? k ( x ? c ) , 因 为 S ?PF1 A : S ?PF1 F2 ? 2 :1 , 即 S ?PF1 A ? 2 S ?PF1F2 , 即

kc ? b 2kc 1 1 ,所以 ? PF1 ? ? 2 ? ? PF1 ? 2 2 2 k ?1 k 2 ?1

kc ? b ? 4 kc , 解得 b ? ?3kc ,( 舍去 ) 或 b ? 5kc , 又 a 2 ? b 2 ? c 2 , 即 a 2 ? 25k 2 c 2 ? c 2 , 所以 4c 2 ? 25k 2 c 2 ? c 2 , 解得
k2 ?

3 3 ,所以 k ? . 5 25


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