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新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案


高中数学教案选修全套 【选修 2-2 教案|全套】
目 录
目 录 ...................................................................................................................................................

................. I 第一章 导数及其应用 ........................................................................................................................................... 1 § 1.1.1 变化率问题 ............................................................................................................................................ 1 导数与导函数的概念 ....................................................................................................................................... 4 § 1.1.2 导数的概念 ............................................................................................................................................ 6 § 1.1.3 导数的几何意义 .................................................................................................................................... 9 § 1.2.1 几个常用函数的导数 .......................................................................................................................... 13 § 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则................................................................................... 16 § 1.2.2 复合函数的求导法则 .......................................................................................................................... 20 § 1.3.1 函数的单调性与导数(2 课时) ....................................................................................................... 23 § 1.3.2 函数的极值与导数(2 课时) ........................................................................................................... 28 § 1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2 课时)............................................................................................ 32 § 生活中的优化问题举例(2 课时) ...................................................................................................... 35 1.4 § 1.5.3 定积分的概念 ...................................................................................................................................... 39 第二章 推理与证明 ............................................................................................................................................... 43 合情推理 ......................................................................................................................................................... 43 类比推理 ......................................................................................................................................................... 46 演绎推理 ......................................................................................................................................................... 49 推理案例赏识 ................................................................................................................................................. 51 直接证明--综合法与分析法 ........................................................................................................................... 53 间接证明--反证法........................................................................................................................................... 55 数学归纳法 ..................................................................................................................................................... 57 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 ....................................................................................................................... 68 § 数系的扩充和复数的概念 ..................................................................................................................... 68 3.1 § 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 .................................................................................................................. 68 § 3.1.2 复数的几何意义 ................................................................................................................................ 71 § 复数代数形式的四则运算 ..................................................................................................................... 74 3.2 § 3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义............................................................................................... 74 § 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 .................................................................................................................. 78

第一章

导数及其应用

§1.1.1 变化率问题
教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积 分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3

4 3 ?r 3

3V 4?

分析: r (V ) ? 3

3V , 4?
h

⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0

⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1
o t

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

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问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v

h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s) ; 0.5 ? 0 h(2) ? h(1) 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v ? ? ?8.2(m / s) 2 ?1 65 探究:计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v ? ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49

65 ) ? h(0) 49 所以 v ? ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0( s / m) ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 49 h(
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念: 1.上述问题中的变化率可用式子

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 表示, x 2 ? x1

称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率

2. 若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代替 x2,同样

?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) )
3. 则平均变化率为

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? x 2 ? x1 ?x ?x ?x

思考:观察函数 f(x)的图象 平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f 表示什么? ? x2 ? x1 ?x

y y=f(x) f(x2) △ y =f(x2)-f(x1)

直线 AB 的斜率 f(x1)
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△ x= x2-x1

O

x1

x2

x

三.典例分析 例 1 . 已 知 函 数 f(x)= ? x ? x 的 图 象 上 的 一 点 A(?1, ? 2) 及 临 近 一 点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) , 则
2

?y ? ?x


2

解: ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) ? (?1 ? ?x) ,



?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x
例2. 求 y ? x 在 x ? x0 附近的平均变化率。
2

?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? 解: ?y ? ( x0 ? ?x) ? x0 ,所以 ?x ?x
2 2

2

?
2

x0 ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ? 2 x0 ? ?x ?x
2 2

所以 y ? x 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x 四.课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为
2



2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率. 25 ? 3?t 3.过曲线 y=f(x)=x3 上两点 P(1,1)和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线,求出当Δ x=0.1 时割线的斜率. 五.回顾总结 1.平均变化率的概念 2.函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业

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导数与导函数的概念
教学目标: 1、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法; 理解导数的几何意义; 理解导函数的概念和意义; 2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义,培养转化问题的 能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。 教学重点: 1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用 教学难点: 1、导数概念的理解;2、导函数的理解、认识和运用 教学过程: 一、情境引入 在前面我们解决的问题: 1、求函数 f ( x) ? x 在点(2,4)处的切线斜率。
2

?y f (2 ? ?x) ? f ( x) ? ? 4 ? ?x ,故斜率为 4 ?x ?x
2、直线运动的汽车速度 V 与时间 t 的关系是 V ? t ? 1 ,求 t ? t o 时的瞬时速度。
2

?V v(t o ? ?t ) ? v(t o ) ? ? 2t o ? ?t ,故斜率为 4 ?t ?t
二、知识点讲解 上述两个函数 f (x) 和 V (t ) 中,当 ?x ( ?t )无限趋近于 0 时,

?V ?V ( )都无限趋近于一个常数。 ?t ?x

归 纳 : 一 般的 , 定 义在区 间 ( a , b ) 上 的 函 数 f (x) , xo ? (a,b) , 当 ?x 无 限 趋 近 于 0 时 ,

?y f ( xo ? ?x) ? f ( xo ) 无限趋近于一个固定的常数 A, 则称 f (x) 在 x ? xo 处可导, 并称 A 为 f (x) 在 ? ?x ?x
x ? xo 处的导数,记作 f ' ( xo ) 或 f ' ( x) | x? xo ,
上述两个问题中: (1) f ' (2) ? 4 , (2) V ' (t o ) ? 2t o 三、几何意义: 我们上述过程可以看出

f (x) 在 x ? x0 处的导数就是 f (x) 在 x ? x0 处的切线斜率。
四、例题选讲 例 1、求下列函数在相应位置的导数 (1) f ( x) ? x ? 1 , x ? 2
2

(2) f ( x) ? 2 x ? 1 , x ? 2

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(3) f ( x) ? 3 , x ? 2 例 2、函数 f (x) 满足 f ' (1) ? 2 ,则当 x 无限趋近于 0 时,

f (1 ? x) ? f (1) ? 2x f (1 ? 2 x) ? f (1) (2) ? x
(1) 变式:设 f(x)在 x=x0 处可导, (3)

f ( x0 ? 4?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于 1,则 f ?( x0 ) =___________ ?x f ( x0 ? 4?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于 1,则 f ?( x0 ) =________________ ?x
f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? 2?x) 所对应的常数与 f ?( x0 ) 的关系。 ?x

(4)

(5)当△x 无限趋近于 0,

总结:导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。 例 3、若 f ( x) ? ( x ? 1) ,求 f ' (2) 和 ( f (2)) '
2

注意分析两者之间的区别。 例 4:已知函数 f ( x) ?

x ,求 f (x) 在 x ? 2 处的切线。

导函数的概念涉及: f (x) 的对于区间( a , b )上任意点处都可导,则 f (x) 在各点的导数也随 x 的变化而 变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数被称为 f (x) 的导函数,记作 f ' ( x) 。 五、小结与作业

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§1.1.2 导数的概念
教学目标: 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点:导数的概念. 教学过程: 一.创设情景 (一)平均变化率 (二)探究:计算运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49
h

65 ) ? h(0) 所以 v ? 49 ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0( s / m) ,但实际 49 h(

情况是运

动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员 的运动状 态. o t 二.新课讲授 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速 度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速度是多少?考察 t ? 2 附近的情况:

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思考:当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论:当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋近于 2 时,平均速度 v 都 趋近于一个确定的值 ?13.1. 从物理的角度看,时间 ?t 间隔无限变小时,平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在

t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s h(2 ? ?t ) ? h(2) 为了表述方便,我们用 lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ” 小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬 时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ?0 ?x ?x
'

' 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ( x0 ) 或 y |x ? x0 ,即

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim 三.典例分析 2 例 1. (1)求函数 y=3x 在 x=1 处的导数. 2 分析:先求Δ f=Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=6Δ x+(Δ x) 再求
?x ?0

?f ?f ? 6 ? ?x 再求 lim ?6 ?x ?0 ?x ?x
3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim 3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
2

解:法一(略) 法二: y? |x ?1 ? lim

(2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 解:

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x ?y ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

f ?(?1) ? lim

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例 2. (课本例 1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第

xh 时,原油的温度(单位: ? C )为 f ( x) ? x 2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2h 时和第 6h 时,原油温度
的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f (2) 和 f (6) 根据导数定义,
' '

f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x

?

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x

所以 f ?(2) ? lim

?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?0 ?x ?x ?0

同理可得: f ?(6) ? 5 在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5,说明在 2h 附近,原油温度大约以 3 C / h 的
?

速率下降,在第 6h 附近,原油温度大约以 5 C / h 的速率上升. 注:一般地, f ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 四.课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.
2
'

?

2.求曲线 y=f(x)=x3 在 x ? 1 时的导数. 3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五.回顾总结 1.瞬时速度、瞬时变化率的概念 2.导数的概念

六.布置作业

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§1.1.3 导数的几何意义
教学目标: 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点:导数的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 (一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数 我们知道,导数表示函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率,反映了函数 y=f(x)在 x=x0 附近的变化情况, 导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么呢? 二.新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率:如图 3.1-2,当 Pn ( xn , f ( xn )) (n? 1, 2, 3, 4) 沿着曲线 f ( x) 趋近于点

P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PPn 的变化趋势是什么?

图 3.1-2

我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.
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问题:⑴割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少? 容易知道,割线 PPn 的斜率是 kn ? PT 的斜率 k ,即 k ? lim

f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时, k n 无限趋近于切线 xn ? x0

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x

说明: (1)设切线的倾斜角为 α,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2) 曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限, 则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交 点,可以有多个,甚至可以无穷多个. (二)导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim 的斜率; ③利用点斜式求切线方程. (二)导函数: 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x) 或 y ? , 即: f ?( x) ? y? ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线 ?x

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (三)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x) 、导数 之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常 数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f(x)的导函数 3)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ?( x) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求函数在点 x0 处的
'

导数的方法之一。 三.典例分析 2 例 1:(1)求曲线 y=f(x)=x +1 在点 P(1,2)处的切线方程.
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2 (2)求函数 y=3x 在点 (1,3) 处的导数. 解: (1) y? |x ?1 ? lim

[(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 ? lim ? 2, ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

所以,所求切线的斜率为 2,因此,所求的切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 (2)因为 y? |x ?1 ? lim

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim 3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

所以,所求切线的斜率为 6,因此,所求的切线方程为 y ? 3 ? 6( x ? 1) 即 6 x ? y ? 3 ? 0 (2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
2

解:

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x ?y ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ? x ?0 ?x ? x ?0 ?x

f ?(?1) ? lim

例 2. (课本例 2)如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h( x) ? ?4.9 x 2 ? 6.5x ? 10 ,根据图像,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况.
解:我们用曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 处的切线,刻画曲线 h(t ) 在上 述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t ? t0 时,曲线 h(t ) 在 t 0 处的切线 l0 平行于 x 轴,所以, 在 t ? t0 附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2) 当 t ? t1 时,曲线 h(t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h?(t1 ) ? 0 , 所以,在 t ? t1 附近曲线下降,即函数 h( x) ? ?4.9 x ? 6.5 x ? 10 在 t ? t1 附近单调递减.
2

(3) 当 t ? t2 时,曲线 h(t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h?(t2 ) ? 0 ,所以,在 t ? t2 附近曲线下降,即函数

h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 在 t ? t2 附近单调递减.
从图 3.1-3 可以看出, 直线 l1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度, 这说明曲线在 t1 附近比在 t 2 附近下降的 缓慢. 例 3. (课本例 3) 如图 3.1-4, 它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位:mg / mL )随时间 t(单位:min )

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变化的图象.根据图像,估计 t ? 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1 ) .

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度 f (t ) 在此时刻的导数,从图像上看,它表示 曲线 f (t ) 在此点处的切线的斜率. 如图 3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化 率的近似值. 作 t ? 0.8 处 的 切 线 , 并 在 切 线 上 去 两 点 , 如 ( 0 . 7 , 0 . ,1(1.0,0.48) , 则 它 的 斜 率 为 : 9 )

k?
所以

0.48 ? 0.91 ? ?1.4 1.0 ? 0.7

f ?(0.8) ? ?1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

t
药物浓度瞬时变化率 f (t ) 四.课堂练习 1.求曲线 y=f(x)=x3 在点 (1,1) 处的切线; 2.求曲线 y ?
'

0.2 0.4

0.4 0

0.6 -0.7

0.8 -1.4

x 在点 (4,2) 处的切线.

五.回顾总结 1.曲线的切线及切线的斜率; 2.导数的几何意义

六.布置作业

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§1.2.1 几个常用函数的导数
教学目标: 1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?
2

1 的导数公式; x

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

1 的导数公式及应用 x 1 2 教学难点: 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ? 的导数公式 x
教学重点:四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?
2

教学过程: 一.创设情景 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速 度.那么,对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归 结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将 研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二.新课讲授 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 0 ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?c

y? ? 0

(图 3.2-1) 上每一点处的切线的斜率都为 0. y ? c 表示路程关于时间的函数, 若 y? ? 0 表示函数 y ? c 图像 则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 1 ? 1 ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?x

y? ? 1

(图 3.2-2) 上每一点处的切线的斜率都为 1. y ? x 表示路程关于时间的函数, 若 y? ? 1 表示函数 y ? x 图像 则 y? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.
第 13 页 共 85 页

3.函数 y ? f ( x) ? x 的导数
2

因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x ? x 2 ? 2 x?x ? (?x) 2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x

所以 y? ? lim

?x ?0

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?x?0
函数 导数

y ? x2

y? ? 2 x

y? ? 2 x 表示函数 y ? x 2 图像(图 3.2-3)上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2x ,说明随着 x 的变化,切线
的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当 x ? 0 时,随着 x 的增 加,函数 y ? x 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 增加得越来越快.若 y ? x 表
2 2 2

示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释为某物体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2x . 4.函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

所以 y? ? lim

?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? ?x x
函数 导数

y?
n

1 x
*

y? ? ?

1 x2
n ?1

(2)推广:若 y ? f ( x) ? x (n ? Q ) ,则 f ?( x) ? nx 三.课堂练习 1.课本 P13 探究 1 2.课本 P13 探究 2 4.求函数 y ?

x 的导数

第 14 页 共 85 页

四.回顾总结 函数 导数

y?c y?x
y ? x2

y' ? 0
y' ? 1

y' ? 2x

y?

1 x

y' ? ?

1 x2

y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )

y ' ? nx n ?1

五.布置作业

第 15 页 共 85 页

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标: 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点: 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程: 一.创设情景 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?
2

1 的导数公式及应用 x

函数

导数

y?c
y?x
y ? x2

y' ? 0
y' ? 1

y' ? 2x

y?

1 x

y' ? ?

1 x2

y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )

y ' ? nx n ?1

二.新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表 函数 导数

y?c
y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )

y' ? 0
y ' ? nx n ?1

y ? sin x

y ' ? cos x
y ' ? ? sin x y ' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? cos x
y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? log a x

y' ? ex

f ( x) ? log a xf ' ( x) ?

1 (a ? 0且a ? 1) x ln a

第 16 页 共 85 页

f ( x) ? ln x

f ' ( x) ?

1 x

(二)导数的运算法则 导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? g ( x )
' ' '

2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' ' '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x ) g ' ( x ) 3. ? ( g ( x) ? 0) ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
(2)推论: ? cf ( x) ? ? cf ( x)
' '

'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例 1.假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与时间 t (单位:年)有如 下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%) ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,
t

这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)? 解:根据基本初等函数导数公式表,有 p (t ) ? 1.05 ln1.05
' t

第 17 页 共 85 页

所以 p (10) ? 1.05 ln1.05 ? 0.08 (元/年)
' 10

因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨. 例 2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

(2)y =

1 1 ; ? 1? x 1? x

(3)y =x · x · x; sin ln

x ; 4x 1 ? ln x (5)y = . 1 ? ln x
(4)y = (6)y =(2 x2-5 x +1)ex (7) y =

sin x ? x cos x cos x ? x sin x

【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的.② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心. 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将 1 吨水 净化到纯净度为 x% 时所需费用(单位:元)为

c( x) ?

5284 (80 ? x ? 100) 100 ? x
(2) 98%

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

5284 ' 5284' ? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)' c ' ( x) ? ( ) ? 100 ? x (100 ? x) 2

?

0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) 5284 ? 2 (100 ? x) (100 ? x) 2 5284 ? 52.84 ,所以,纯净度为 90% 时,费用的瞬时变化率是 52.84 (100 ? 90)2

(1)

因为 c (90) ?
'

元/吨. (2) 因为 c (98) ?
'

5284 ? 1321 ,所以,纯净度为 98% 时,费用的瞬时变化率是 1321 元/ (100 ? 90) 2

吨. 函 数 f ( x) 在 某 点 处 导 数 的 大 小 表 示 函 数 在 此 点 附 近 变 化 的 快 慢 . 由 上 述 计 算 可 知 ,

c ' (98) ? 25c ' (90) .它表示纯净度为 98% 左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为 90% 左右时净
化费用的瞬时变化率的 25 倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的 速度也越快.
第 18 页 共 85 页

四.课堂练习 1.课本 P92 练习 2.已知曲线 C:y =3 x 4-2 x3-9 x2+4,求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程; (y =-12 x +8)

五.回顾总结 (1)基本初等函数的导数公式表 (2)导数的运算法则

六.布置作业

第 19 页 共 85 页

§1.2.2 复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则. 教学重点 复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间 变量对自变量的导数之积. 教学难点 正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确. 一.创设情景 (一)基本初等函数的导数公式表 函数 导数

y?c
y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )

y' ? 0
y ' ? nx n ?1

y ? sin x

y ' ? cos x
y ' ? ? sin x y ' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? cos x
y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? log a x

y' ? ex

f ( x) ? log a xf ' ( x) ?

1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ( x) ? ln x

f ' ( x) ?

(二)导数的运算法则 导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? g ( x )
' ' '

2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' ' '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x ) g ' ( x ) 3. ? ( g ( x) ? 0) ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
(2)推论: ? cf ( x) ? ? cf ( x)
' '

'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 二.新课讲授

第 20 页 共 85 页

复合函数的概念

一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的

函数,那么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数,记作 y ? f ? g ( x) ? 。 复合函数的导数 复 合 函 数 y ? f ? g ( x) ? 的 导 数 和 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的 导 数 间 的 关 系 为

y x? ? yu? ? u x? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? f ? g ( x) ??? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x) ? ? 三.典例分析 例 1 求 y =sin(tan x2)的导数. 【点评】 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到 关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果. 例2求y =

x?a x 2 ? 2ax

的导数.

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 例 3 求 y =sin4x +cos 4x 的导数. 【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1- =1-

1 2 sin 2 x 2

1 3 1 (1-cos 4 x)= + cos 4 x.y′=-sin 4 x. 4 4 4

【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x)=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不 漏步. 例 4 曲线 y =x(x +1) (2-x)有两条平行于直线 y =x 的切线,求此二切线之间的距离. 3 2 【解】y =-x +x +2 x y′=-3 x 2+2 x +2 令 y′=1 即 3 x2-2 x -1=0,解得 x =- 于是切点为 P(1,2) ,Q(-

1 或 x =1. 3

1 14 ,- ) , 3 27

过点 P 的切线方程为,y -2=x -1 即 x -y +1=0.

1 14 |? ? ?1| 16 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离,故所求距离为 3 27 = 2. 27 2
四.课堂练习 1.求下列函数的导数 2.求 ln(2 x ? 3x ? 1) 的导数
2

(1) y =sinx3+sin33x; (2) y ?

sin 2 x 2 ;(3) log a ( x ? 2) 2x ? 1

第 21 页 共 85 页

五.回顾总结

六.布置作业

第 22 页 共 85 页

§1.3.1 函数的单调性与导数(2 课时)
教学目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基 本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二.新课讲授 1.问题:图 3.3-1(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图像,
2

图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.
'

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?

通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相应地,

v(t ) ? h' (t ) ? 0 .
(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应地,

v(t ) ? h' (t ) ? 0 .
2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图 3.3-3,导数 f ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在

'

第 23 页 共 85 页

点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,
'

这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增; 在 x ? x1 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,
'

这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间 (a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ( x) ? 0 ,那么
' '

函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.
'

3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

三.典例分析 例 1.已知导函数 f ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ;
' '

当 x ? 4 ,或 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 解:当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” .
'

综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示.
第 24 页 共 85 页

例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ;
3

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2 3 2

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 解: (1)因为 f ( x) ? x ? 3x ,所以,
3

f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x 2 ? 1) ? 0
因此, f ( x) ? x ? 3x 在 R 上单调递增,如图 3.3-5(1)所示.
3 2 (2)因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 ? x ? 1?
'

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递增;
' 2

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递减;
' 2

函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图像如图 3.3-5(2)所示.
2

(3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ( x) ? cos x ? 1 ? 0
'

因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图 3.3-5(3)所示. (4)因为 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 ,所以
3 2


2

当 f ( x) ? 0 ,即
'

时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2 2

; ;

当 f ( x) ? 0 ,即
' 3

函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 的图像如图 3.3-5(4)所示. 注: 、 (3)(4)生练 例3 如图 3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请 分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像. 分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度 增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.

解: ?1? ? ? B ? , ? 2 ? ? ? A ? , ? 3? ? ? D ? , ? 4 ? ? ? C ?
第 25 页 共 85 页

思考:例 3 表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能 从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化的快, 这时,函数的图像就比较“陡峭” ; 反之,函数的图像就“平缓”一些. 如图 3.3-7 所示,函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0 ? 内的图像“陡峭” , 在 ? b , ? ? ? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓” . 例4 求证:函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2
' 2

证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?
2

?

?

当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时, y ? 0 ,所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
'
3 2

说明:证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性步骤: (1)求导函数 f (2)判断 f
' '

? x? ;

? x ? 在 ? a , b ? 内的符号;
'

(3)做出结论: f 例5

? x ? ? 0 为增函数, f ' ? x ? ? 0 为减函数.
2

已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?

2 3 x ( x ? R) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3

' 2 ' 解: f ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x ,因为 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,所以 f ( x) ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,

即 x ? ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1
2

所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? . 说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函 数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 ”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,
' '

否则漏解.

四.课堂练习 1.求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3-6x2+7 2.课本 练习
第 26 页 共 85 页

2.f(x)=

1 +2x x

3. f(x)=sinx , x ? [0,2? ]

4. y=xlnx

五.回顾总结 (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 (3)证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性

六.布置作业

第 27 页 共 85 页

§1.3.2 函数的极值与导数(2 课时)
教学目标: 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤; 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程: 一.创设情景 观察图 3.3-8,我们发现, t ? a 时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数 h(t ) 在此点的导数 是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规律? 放大 t ? a 附近函数 h(t ) 的图像,如图 3.3-9.可以看出 h?(a ) ;在 t ? a ,当 t ? a 时,函数 h(t ) 单调 递增,h?(t ) ? 0 ; t ? a 时, 当 函数 h(t ) 单调递减,h?(t ) ? 0 ; 这就说明, t ? a 附近, 在 函数值先增 t ? a , ( .这样,当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时, h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) h?(t ) ? 0 )后减( t ? a , h?(t ) ? 0 ) 连续变化,于是有 h?(a) ? 0 .

对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢? 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点 附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数 异号 二.新课讲授
王新敞
奎屯 新疆

1.问题:图 3.3-1(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图像,
2

图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.
'

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (3) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相应地,

v(t ) ? h' (t ) ? 0 .
(4) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应地,

第 28 页 共 85 页

v(t ) ? h' (t ) ? 0 .
2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
' ' 如图 3.3-3,导数 f ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.在 x ? x0 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是

“左下右上”式的,这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增;在 x ? x1 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”
'

式的,这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间 (a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ( x) ? 0 ,那么
' '

函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.
'

3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

三.典例分析 例 1.已知导函数 f ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ;
' '

当 x ? 4 ,或 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 解:当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” .
'

综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示.
第 29 页 共 85 页

例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ;
3

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2 3 2

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 解: (1)因为 f ( x) ? x ? 3x ,所以, f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0
3 ' 2 2

因此, f ( x) ? x ? 3x 在 R 上单调递增,如图 3.3-5(1)所示.
3 2 (2)因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 ? x ? 1?
'

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递增;
' 2

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递减;
' 2

函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图像如图 3.3-5(2)所示.
2

(5) 因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ( x) ? cos x ? 1 ? 0
'

因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图 3.3-5(3)所示. (6) 因为 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 ,所以
3 2


2

当 f ( x) ? 0 ,即
'

时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2 2

; ;

当 f ( x) ? 0 ,即
' 3

函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1 的图像如图 3.3-5(4)所示. 注: 、 (3)(4)生练 例6 如图 3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请 分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像. 分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度 增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况. 解: ?1? ? ? B ? , ? 2 ? ? ? A ? , ? 3? ? ? D ? , ? 4 ? ? ? C ? 思考:例 3 表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能 从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数 的图像就比较 “陡峭” 反之, ; 函数的图像就 “平缓” 一些. 如图 3.3-7 所示, 函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0 ? 内的图像“陡峭” ,在 ? b , ? ? ? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓” . 例7 求证:函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2

第 30 页 共 85 页

证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?
' 2 2

?

?

当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时, y ? 0 ,所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
'
3 2

说明:证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性步骤: (1)求导函数 f (2)判断 f
' '

? x? ;

? x ? 在 ? a , b ? 内的符号;
'

(3)做出结论: f 例8

? x ? ? 0 为增函数, f ' ? x ? ? 0 为减函数.
2 3 x ( x ? R) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3

已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax 2 ?

' 2 ' 解: f ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x ,因为 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,所以 f ( x) ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,

即 x ? ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1
2

所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? . 说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函 数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 ”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,
' '

否则漏解. 四.课堂练习 1.求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3-6x2+7 2.f(x)=

1 +2x x

3. f(x)=sinx , x ? [0,2? ]

4. y=xlnx

2.课本 P101 练习 五.回顾总结 (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 (3)证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性

六.布置作业

第 31 页 共 85 页

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2 课时)
教学目标: ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念, 握 可 导 函 数 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 所 有 点( 包 括 掌 端 点 a, b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程: 一.创设情景 我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.也就是
王新敞
奎屯 新疆

说,如果 x0 是函数 y ? f ? x ? 的极大(小)值点,那么在点 x0 附近找不到比 f ? x0 ? 更大(小)的值.但是, 在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果 x0 是函数的最大(小)值,那么 f ? x0 ? 不小(大)于函数 y ? f ? x ? 在相应区间上的所有函数值. 二.新课讲授 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b ? 上的函数 f (x) 象. 图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值, f ( x2 ) 是极大值. 函
y



图 数

f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值是 f (b) ,最小值是 f ( x3 ) .
1 . 结 论 : 一 般 地 , 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 函 数

a

x1

O

x2

x3

b

x

y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值.
说明:⑴如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,则称函数 y ? f ( x) 在这个区 间上连续. (可以不给学生讲) ⑵给定函数的区间必须是闭区间,在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值.如函 数 f ( x) ?

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x

⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断, ⑷函数 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续, f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条 是 件. (可以不给学生讲) 2. “最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是 比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.
第 32 页 共 85 页

⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶ 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有 极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
王新敞
奎屯 新疆

3.利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f (x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就 可以得出函数的最值了. 一般地,求函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值; ⑵将 f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是 最小值,得出函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值 三.典例分析 例 1. (课本例 5)求 f ? x ? ?

王新敞
奎屯

新疆

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值与最小值 3

王新敞
奎屯

新疆

解: 由例 4 可知,在 ? 0 , 3? 上,当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 f (2) ? ?

4 ,又由于 3

f ? 0 ? ? 4 , f ? 3? ? 1

1 3 4 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值是 4,最小值是 ? . 3 3 1 3 上述结论可以从函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 上的图象得到直观验证. 3
因此,函数 f ? x ? ?

四.课堂练习 1. 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0

)

y
12 10 8 6 4 2

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12
4 2

)

4. 求 函 数 y ? x ? 2 x ? 5 在区间 ?? 2,2? 上 的最大值与最小值. 5.课本 练习
第 33 页 共 85 页
-4 -2

y=x4-2x2+5 O
2 4

x

五.回顾总结 1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区间端点; 2.函数 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要 条件; 3.闭 区 间 ?a, b ? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ; 开 区 间 (a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值 , 若 有 唯 一的极值,则此极值必是函数的最值 4.利用导数求函数的最值方法.
王新敞
奎屯 新疆

六.布置作业

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§1.4 生活中的优化问题举例(2 课时)
教学目标: 1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学过程: 一.创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的 学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优 化问题. 二.新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:1、 与几何有关的最值问题;2、与物理学有关的最值问题;3、与利润及其成本有关的最值问题;4、效率最 值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函 数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相 应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

三.典例分析 例 1.汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定的关系,汽油 的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: (1) 是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2) “汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用 G 表示每

w ,其中, w 表示汽油消耗量(单位:L) s 表示汽油行驶的路程(单 , s 位:km) .这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少” ,就是求 G 的最小值的问题.
千米平均的汽油消耗量,那么 G ? 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究, 人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的 平均速度 v (单位:km/h)之间有 如图所示的函数关系 g ? f ? v ? . 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单位:km/h)之间关系的问题,然后利
第 35 页 共 85 页

用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.

w w t g 解:因为 G? ? ? s v s t g g 这样,问题就转化为求 的最小值.从图象上看, 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率.进一步发 v v 现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为 90 km / h .
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为 90 km / h .从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即 f ? ? 90 ? ,约为 L.

例 2.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。 磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为 基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得小于 n 。为了数 据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. (1) 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数?每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间, 由于磁道之间的宽度必需大于 m , 且最外面的磁道不存储任何信息,

R?r 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满, m 2? r 即每条磁道上的比特数可达 。所以,磁盘总存储量 n R ? r 2? r 2? ? ? r(R ? r) f (r ) ? m mn n (1) 它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大.
故磁道数最多可达 (2) 为求 f ( r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 .

f ?(r ) ?

2? ? R ? 2r ? mn

令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ?

R 2

第 36 页 共 85 页

当r ?

R R 时, f ?(r ) ? 0 ;当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 . 2 2

因此 r ?

R 2? R 2 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 mn 4 2

例 3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】 :某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是

0.8? r 2 分,其中

r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子
的最大半径为 6cm 问题: (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是

4 y ? f ? r ? ? 0 . 2 ? r 3 ? 0? 8 2 ? ? .r 3
令 f ? ? r ? ? 0.8? (r ? 2r ) ? 0
2

? r3 ? ? ?8 ? r 2 0. ? ?3 ?

?r? ,0

6

解得

r ? 2 ( r ? 0 舍去)

当 r ? ? 0 , 2 ? 时, f ? ? r ? ? 0 ;当 r ? ? 2 , 6 ? 时, f ? ? r ? ? 0 . 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递减,即半径越大,利润越低. (1) 半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f ? 2 ? ? 0 ,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时 利润是负值. (2) 半径为 6 cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知: r ? 3 时, f ? 3? ? 0 , 当 即瓶子的半径为 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等; r ? 3 当 时,利润才为正值. 当 r ? ? 0 , 2 ? 时, f ? ? r ? ? 0 , f ? r ? 为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于 2cm 时,瓶子的半径 越大,利润越小,半径为 2 cm 时,利润最小.

第 37 页 共 85 页

说明:

四.课堂练习 1.用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长 0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. (高为 1.2 m,最大容积 1.8m ) 5.课本 练习
3

五.回顾总结 1.利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数 的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具。

六.布置作业

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§1.5.3 定积分的概念
授课人:陈联沁 班级:高二(13) 时间:2007-12-10
教学目标: 1.通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 汽 车 行 驶 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; 2.借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 , 了 解 定 积 分 的 概 念 , 能 用 定 积 分 定 义 求 简 单 的 定 积 分; 3.理解掌握定积分的几何意义. 教学重点:定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 复习: 1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤: 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限(逼近) 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 二.新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [ , ]上连续,用分点 ab

a = x 0 < x1 < x 2 < L < x i- 1 < x i < L < x n = b
将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x =

b- a ) ,在每个小区间 [x i- 1 ,x i ]上任取 n

L 一点 xi (i = 1,2, ,n ) ,作和式:

Sn =

邋f (xi )D x = i
=1

n

b- a f (xi ) n i= 1
) 上述和式 S n 无限趋近于常数 S , 时, 那么称该常数 S 为函数 f ( x)

n

如果 D x 无限接近于 0(亦即 n ? 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S = 其中

òa

b

f (x ) dx



ò-

积分号, b -积分上限, a -积分下限, f ( x) -被积函数, x -积分变量, [a, b] -积分区间,

f (x ) -被积式。 dx
说明: (1)定积分 而不是 S n . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 [a ,b ];②近似代替:取点 xi ? [x i- 1 ,x i ];

òa

b

f (x ) 是一个常数,即 S n 无限趋近的常数 S ( n ? dx

时)记为

òa

b

f (x ) dx



第 39 页 共 85 页

③求和:

b b- a i m ?= 1 n f (xi );④取极限: òa f (x )dx = nl? i

n

b- a ? f (xi ) n i
=1

n

(3)曲边图形面积:S = 2.定积分的几何意义

òa f (x )dx ;变速运动路程 S = òt

b

t2

v ( ) ;变力做功W = t dt

1

òa

b

F (r) dr

b 从 几 何 上 看 , 如 果 在 区 间 [a , ] 上 函 数 f (x ) 连 续 且 恒 有
么 定 积 分

f (x )? 0 ,那

òa f (x )dx

b









线 梯形(如图中

x = a,x = b ( ? b ),y a

0 和曲线 y = f (x ) 所围成的曲边

的阴影部分)的面积,这就是定积分 说明:一般情况下,定积分

òa f (x )dx 的几何意义。

b

òa

b

f (x ) 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线 x = a ,x = b dx

之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负号。 分析:一般的,设被积函数 y = f (x ) ,若 y = f (x ) 在 [a, b] 上可取负值。

D 考察和式 f (x1 ) D x + f (x 2 ) D x + L + f (x i ) x + L + f (x n )D x

L 不妨设 f (x i ),f (x i+ 1 ), ,f (x n )< 0
D D 于是和式即为 f (x1 ) D x + f (x 2 )D x + L + f (x i- 1 ) x - {[ f (x i ) x ]+ L + [ f (x n )D x ]}

\

òa

b

f (x ) = 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积) dx

思考:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗?

3.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2

òa

b

kdx = k ( - a); b
b a

蝌kf (x )dx = k
a

b

; f (x ) (k 为常数)(定积分的线性性质) dx
b a

性质 3

dx 蝌[f (x )? f (x )] a
1 2

b

f1 (x ) dx

b a

; f2 (x ) (定积分的线性性质) dx

第 40 页 共 85 页

性质 4
b

蝌f (x )dx =
a
a b

b

c a

f (x ) + dx

b c
a

f (x ) (其中a < c < b ) (定积分对积分区间的可加性) dx

(1)

蝌f (x )dx = a
b
1 2

f (x ) ; (2) dx

òa f (x )dx = 0 ;
b a

说明:①推广:

蝌[f (x )北f (x ) a
②推广:
b a

L ? fm (x )] dx
c1 a

f1 (x ) 北蝌f2 (x ) dx dx
a

b

b

L
b

a

fm (x )

蝌f (x )dx =
性质 1
y=1

f (x ) + dx

蝌 f (x )dx + L +
c1

c2

ck

f (x ) dx

③性质解释:
y

性质 4
y A C

B

M O a b x O a P b

N x

S 曲边梯形A M N B = S 曲边梯形A M PC + S 曲边梯形C PN B
三.典例分析 例 1.利用定积分的定义,计算 分析:令 f (x )= x ; (1)分割
3

ò

1

0

x 3dx 的值。

犏 1 把区间 [0, ]n 等分, 则第 i 个区间为:
(2)近似代替、求和 取 xi =

轾- 1 i i i i- 1 1 , (i = 1,2, ,n ), L 每个小区间长度为: x = V = ; 犏n n n n n 臌

i (i = 1,2, ,n ),则 L n
i 邋f (n )?Vx i= 1
n n i= 1
2

ò
ò

1

0

x 3dx ? S n

( )?

i n

3

1

1

n

n

n4

i3 =
i= 1

1 1 2 1骣 1 2 n (n + 1) = ?1 + ÷ (3)取极限 ÷ ? 4 桫 n 4 4? n÷

2

1

0

1骣 1 1 x dx = l m S n = l m ?1 + ÷ = . i i ÷ ? ÷ 4 n? n? 4? 桫 n
3

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例 2.计算定积分

ò

2

1

(x + 1) dx

分析:所求定积分是 x = 1,x = 2,y = 0与y = x + 1 所围成的梯形面积,即为如图阴影部分面积, y 面积为

5 。 2

即:

ò

2

1

(x + 1) = dx

5 2

思考:若改为计算定积分

ò

2

O

1

2

x

- 2

(x + 1) 呢? dx

改变了积分上、下限,被积函数在 [ 2,2]上 出现了负值如何解决呢?(后面解决的问题) 例3.计算定积分

ò

1

0

(2x - x 2 ) dx (2 蝌 x0 1

分析:利用定积分性质有, 利用定积分的定义分别求出 四.课堂练习 计算下列定积分 1. 2.

x2) = 2 dx
1 0

1 0

xdx -

1 0

x 2dx
1

ò

1

0

dx xdx , ò x 2dx ,就能得到 ò (2x - x 2 ) 的值。
0

ò

5

0

(2x - 4) dx

ò
ò
1 - 1

5

0

(2x - 4) = 9 - 4 = 5 dx
1 1 创 1+ 创 1 = 1 1 1 2 2

ò

1

- 1

x dx

x dx =

3.课本练习:计算

ò

2

0

x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?

五.回顾总结 1. 定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 六.布置作业 P50 3、5

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第二章 推理与证明 合情推理
掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。 通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣,使其体会到数学学习的美感。 ●教学重点:归纳推理及方法的总结。 ●教学难点:归纳推理的含义及其具体应用。 ●教具准备:与教材内容相关的资料。 ●课时安排:1 课时 ●教学过程: 一.问题情境 (1)原理初探 ①引入: “阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球! ” ②提问:大家认为可能吗?他为何敢夸下如此海口?理由何在? ③探究:他是怎么发现“杠杆原理”的? 从而引入两则小典故: (图片展示-阿基米德的灵感) A:一个小孩,为何轻轻松松就能提起一大桶水? B:修筑河堤时,奴隶们是怎样搬运巨石的? 正是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想,然后小心求证,终于发现了伟大的“杠杆 原理” 。 ④思考:整个过程对你有什么启发? ⑤启发:在教师的引导下归纳出: “科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想和证 明” 。 观察 猜想 证明

归纳推理的发展过程 (2)皇冠明珠 追逐先辈的足迹,接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想” 。 链接:

世界近代三大数学难题之一。 哥德巴赫是德国一位中学教师, 也是一位著名的数学家, 生于 1690 年,1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742 年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于 6 的 偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如 6=3+3,12=5+7 等等。公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何 一个≥6 之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9 之奇数,都可以表示成三个 奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在 6 月 30 日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但 他不能证明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成 功。 当然曾经有人作了些具体的验证工作, 例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =

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5 + 13, . . . . 等等。有人对 33?108 以内且大过 6 之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想 (a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此,这道著名的数学难题引起了 世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成 为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20 世纪 20 年代,才有人开始向它靠近。 1920 年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比大的 偶数都可以表示为(99) 。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9 十 9) 开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为 止,这样就证明了“哥德巴赫”。

思考:其他偶数是否也有类似的规律? ③讨论:组织学生进行交流、探讨。 ④检验:2 和 4 可以吗?为什么不行? ⑤归纳:通过刚才的探究,由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。 3.数学建构 ●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点; 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 ●归纳推理的一般步骤:

4.师生活动 例 1 前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸 的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 例 2 前提:三角形的内角和是 1800,凸四边形的内角和是 3600,凸五边形的内角和是 5400,…… 结论:凸 n 边形的内角和是(n—2)?1800。

例3

2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ? 3 ? , ? , ? ,? 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 b b+m 由此我们猜想: ? (a, b, m均为正实数)。 a a+m

探究:上述结论都成立吗? 强调:归纳推理的结果不一定成立! —— “ 一切皆有可能! ” 5.提高巩固

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例4:已知数列?a n ? 的第一项a1 ? 1, 且a n ?1 ? 数列的通项公式。

an (n ? 1,2,......), 试归纳出这个 1 ? an

①探索:先让学生独立进行思考。 ②活动: “千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。 ③活动: “圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价,对在哪里?错在哪里?还有没有 更好的方法? 【设计意图】 :提供一个舞台, 让学生展示自己的才华,这将极大地调动学生的积极性, 增强学生的荣誉感,培养学生独立分析问题和解决问题的能力,体现了“自主探究” , 同时,也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。 【一点心得】 在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中, : 教师一定要以“鼓励和表扬” 为主,面带微笑,消除学生的恐惧感,提高学生的自信心. ⑵能力培养(例 2 拓展)

例4拓展 : a1 ? 2, a 2 ? 1, a3 ?

2 1 , a 4 ? , 求a n ? ? 3 2

①思考:怎么求 a n ?组织学生进行探究,寻找规律。 ②归纳:由学生讨论,归纳技巧,得到技巧②和③。 技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数. 技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规 律. 6.课堂小结 (1)归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具 有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 (2)归纳推理的一般步骤: 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般命题(猜想) 证明

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课题:

类比推理
●教学目标: 通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于对 问 题的发现中去。 类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质 相似性越多, 相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关, 从而类比得出的结论就越 可靠。 正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、 发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。 认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确数学意识。 ●教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 ●教学难点:用类比进行推理,做出猜想。 ●教具准备:与教材内容相关的资料。 ●课时安排:1 课时 ●教学过程: 一.问题情境 从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的: 茅草是齿形的; 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗? 二.数学活动 我们再看几个类似的推理实例。 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: 猜想不等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b?a+c>b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a>b? ac>bc; 2 2 (3) a=b?a =b ;等等。 (3) a>b?a2>b2;等等。 问:这样猜想出的结论是否一定正确? 例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

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圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中点 的连线垂直于弦

球的性质
球心与截面圆(不是大圆) 的圆点的连线垂直于截面 圆

与 圆 心距 离相 等的 两弦相 等;与圆心距离不等的两弦 不等,距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于过切点的半 径;经过圆心且垂直于切线 的直线必经过切点

与球心距离相等的两截面 圆相等; 与球心距离不等的 两截面圆不等, 距球心较近 的截面圆较大 球的切面垂直于过切点的 半径; 经过球心且垂直于切 面的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直 线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的 直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们在其他方面也相 似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称 类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。即 观察、比较 联想、类推 猜想新结论

例 3.在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三 边的距离分别为 pa,pb,pc,我们可以得到结论:

pa pb pc ? ? ?1 ha hb hc
试通过类比,写出在空间中的类似结论.

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巩固提高 1. (2001 年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形 ∠C=90° 3 个边的长度 a,b,c 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c

3 个面两两垂直的四面体 ∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4 个面的面积 S1,S2,S3 和 S 3 个“直角面” S1,S2,S3 和 1 个“斜面” S

3. (2004,北京)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都 为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 {a n } 是等和数列, a1 ? 2 , 且 公和为 5, 那么 a18 的值为______________, 这个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为________________ 课堂小结 1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质 相似性越多, 相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关, 从而类比得出的结论就越 可靠。 2. 类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)

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演绎推理
教学目标:1. 了解演绎推理 的含义。 2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。 3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学重点:正确地运用演绎推理 进行简单的推理 教学难点:了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学过程: 一.复习:合情推理 归纳推理 从特殊到一般 类比推理 从特殊到特殊 从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想 二.问题情境。 观察与思考 1 所有的金属都能导电 铜是金属, 所以,铜能够导电 2.一切奇数都不能被 2 整除, (2100+1)是奇数, 所以, (2100+1)不能被 2 整除. 3.三角函数都是周期函数, tan ? 是三角函数, 所以,tan

? 是 周期函数。

提出问题 :像这样的推理是合情推理吗? 二.学生活动 : 1.所有的金属都能导电 ←————大前提 铜是金属, ←-----小前提 所以,铜能够导电 ←――结论 2.一切奇数都不能被 2 整除 ←————大前提 (2100+1)是奇数,←――小前提 所以, (2100+1)不能被 2 整除. ←―――结论 3.三角函数都是周期函数, ←——大前提 tan ? 是三角函数, ←――小前提 所以,tan ? 是 周期函数。←――结论 三,建构数学 演绎推理的定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为 演绎推理. 1.演绎推理是由一般到特殊的推理;

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2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包括 ⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 三段论的基本格式 M—P(M 是 P) (大前提) S—M(S 是 M) (小前提) S—P(S 是 P) (结论) 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素也都具有性质 P. 四,数学运用 例 、把“函数y ? x 2 ? x ? 1 1 的图象是一条抛物线” 恢复成完全三段论。 解:二次函数的图象是一条抛物线 (大前提)

函数y ? x ? x ? 1是二次函数
2
2

(小前提)

所以,函数y ? x ? x ? 1 的图象是一条抛物线(结论)

例 2.已知 lg2=m,计算 lg0.8 解 (1) lgan=nlga(a>0)---------大前提 lg8=lg23————小前提 lg8=3lg2————结论 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提 lg0.8=lg(8/10)——-小前提 lg0.8=lg(8/10)——结论 例 3.如图;在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E 是垂足,求证 AB 的中点 M 到 D,E 的距离相等 解: (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提 所以△ABD 是直角三角形——结论 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提 因为 DM 是直角三角形斜边上的中线,——小前提 所以 DM=

1 AB——结论 2

同理 EM= AB 所以 DM=EM. 练习:第 35 页 练习第 1,2,3,4,题 五 回顾小结: 演绎推理具有如下特点:课本第 33 页 。 演绎推理错误的主要原因是 1.大前提不成立;2, 小前提不符合大前提的条件。 作业:第 35 页 练习 第 5 题 。习题 2。1 第 4 题。

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课题:

推理案例赏识
课型:新授课 教学目标: 1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。 2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。 3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学重点:了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别 教学难点:了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。 教学过程: 2 复习 合情推理和演绎推理的过程 3 案例: 例一 正整数平方和公式的推导。 提出问题 我们知道,前n个正整数的和为

1 S 1 (n)=1+2+3+…….+n= 2 n(n+i)
那么,前n 个正整数的平方和



S 2 (n)= 12 ? 22 ? 32 ? ........? n2 =?



三,数学活动 思路1 (归纳的方案) 参照课本 第36页 -37页 三表 猜想

S 2 (n)=

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

思考 :上面的数学活动是由哪些环节构成的? 在这个过程中提出了哪些猜想? 提出猜想时使用了哪些推理方法? 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用? 思路2 (演绎的方案) 尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。 2 把正整数的平方和表示出来,参照课本棣37页 左右两边分别相加,等号两边的

S 2 (n)被消去了,所以无法从中求出 S 2 (n)的值,

尝试失败了。 (2)从失败中吸取有用信息,进行新的尝试 (3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加,
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终于导出了公式。 思考: 上面的数学活动是由哪些环节构成的? 在这个过程中提出了哪些猜想? 提出猜想时使用了哪些推理方法? 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。 四,数学理论: 上面的案例说明: (1) 数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程, 合情推理和论证推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程。 (2)合情推理是富于创造性的或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确定 了目标和方向,具有提出猜想、发现结论,提供思路的作用。 (3) 演绎推理是形式化程度较高的必然推理, 在数学发现活动中, 它具有类似于“实 验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证 明,从而为调控探索活动提供依据。 五,巩固练习: 阅读课本第 39 页 棱台体积公式的探求 通过阅读或查资料,寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例, 并回答问题: 1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的? 2 。在上这个过程中提出了哪些猜想? 3 , 提出猜想时使用了哪些推理方法? 4, 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用? 六,教学小结: (1) 数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程, 合情推理和论证推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程。 (2)合情推理是富于创造性的或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确定 了目标和方向,具有提出猜想、发现结论,提供思路的作用。 (3) 演绎推理是形式化程度较高的必然推理, 在数学发现活动中, 它具有类似于“实 验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证 明,从而为调控探索活动提供依据。 七,作业: 八,教后感:

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课题:

直接证明--综合法与分析法
1.教学目标: 知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法: 分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他 们的分析问题和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点 3.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点 4.教具准备:与教材内容相关的资料。 5.教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关 键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常 用方法。 6.教学过程: 学生探究过程:证明的方法 (1) 、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中, 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发, 一步一步地探索下去, 最后达 到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发, 经过逐步的逻辑推 理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索 因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用 十分广泛。 (2) 、例 1.设 a、b 是两个正实数,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 证明:(用分析法思路书写) 要证 a3+b3>a2b+ab2 成立, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立, 即需证 a2-ab+b2>ab 成立。(∵a+b>0) 只需证 a2-2ab+b2>0 成立, 即需证(a-b)2>0 成立。 而由已知条件可知,a≠b,有 a-b≠0,所以(a-b)2>0 显然成立,由此命题 得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即 a2-2ab+b2>0 亦即 a2-ab+b2>ab 由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab 即 a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证

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例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .
2 4 2 2

证明:采用差值比较法:

3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2
= 3 ? 3x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x
2 4 2 4 2 3

= 2( x ? x ? x ? 1) = 2( x ? 1) ( x ? x ? 1)
4 3 2 2

1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ]. 2 4 = 1 3 ? x ? 1, 从而( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 4 2 2 2 4 ∴ ∴ 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .
a b b a 例 3、已知 a, b ? R , 求证 a b ? a b .
?

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a, b 对称,不妨设

a ? b ? 0.
?a ?b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b (a a ?b ? b a ?b ) ? 0 ,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设 a ? b ? 0,

?

a abb a a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. b b a b 故原不等式得证。

注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明 不等式的步骤是:作差(或作商) 、变形、判断符号。 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 巩固练习:第 81 页练习 1 , 2 , 3 , 4 课后作业:第 84 页 1,2, 3

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教学反思:本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解

题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的 常用方法。

间接证明--反证法
1.教学目标: 知识与技能: 结合已经学过的数学实例, 了解间接证明的一种基本方法─ ─反证法;了解反证法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他 们的分析问题和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点:了解反证法的思考过程、特点 3. 教学难点:反证法的思考过程、特点 4.教具准备:与教材内容相关的资料。 5.教学设想:利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是 指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及 与临时假定矛盾等各种情况。 6.教学过程: 学生探究过程:综合法与分析法 (1)、反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后, 从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯 定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种) 与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上 分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础, 为了正确地作出反设, 掌握一些常用的互为否定的表 述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于 /不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一 个也没有;至少有 n 个/至多有(n 一 1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少 有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发, 否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种 类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾; 自相矛盾。 (2)、例子 例 1、求证: 2 不是有理数

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n n 例 2、已知 a ? b ? 0 ,求证: a ? b ( n ? N 且 n ? 1)

例 3、设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
3 3 因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,这与题设条件
2

a 3 ? b 3 ? 2 矛盾,所以,原不
等式 a ? b ? 2 成立。
2 f (1) , f (2) , f (3) 例 4、设二次函数 f ( x) ? x ? px ? q ,求证: 中至少有一

1 个不小于 2 .
f (1) , f (2) , f (3)

证明:假设

1 都小于 2 ,则
(1)

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f ( 2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q ) ? 2(4 ? 2 p ? q ) ? (9 ? 3 p ? q ) ? 2
(2)

(1)(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 、 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等 式时,通常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是 指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临 时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么 特点?

1 例 5、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 4 1 1 1 证:设(1 ? a)b > 4 , (1 ? b)c > 4 , (1 ? c)a > 4 ,
第 56 页 共 85 页

1 则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a < 64


2

又∵0 < a, b, c < 1

1 ? (1 ? a ) ? a ? 0 ? (1 ? a )a ? ? ? ?4 2 ? ? ∴

(1 ? b)b ?
同理:

1 4,

(1 ? c)c ?

1 4

1 以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 64

与①矛盾

∴原式成立 例 6、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证:设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 巩固练习:第 83 页练习 3、4、5、6 课后作业:第 84 页 4、5、6

教学反思:

反证法是一种间接证法, 它是先提出一个与命题的结论相反的假设, 然后, 从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯 定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种) 与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上 分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的 表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直 于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/ 一个也没有;至少有 n 个/至多有(n 一 1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/ 至少有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发, 否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种 类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾; 自相矛盾。
课题:

数学归纳法
一、教学目标:
1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。 2.掌握数学归纳法证明问题的方法。 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
第 57 页 共 85 页

二、教学重点:掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。 难点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 三、教学过程:
【创设情境】 1.华罗庚的“摸球实验” 。 2. “多米诺骨牌实验” 。

问题:如何保证所摸的球都是红球?多米诺骨牌全部倒下?处了利用完全归纳
法全部枚举之外,是否还有其它方法? 数学归纳法:数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它 将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理自然数问题的有力工 具。 【探索研究】

1.数学归纳法的本质:
无穷的归纳→有限的演绎(递推关系)

2.数学归纳法公理:
(1) (递推奠基) :当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2) (递推归纳) :假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确; (归纳假设) 证明当 n=k+1 时结论也正确。 (归纳证明) 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 【例题评析】

例 1:以知数列{an}的公差为 d,求证: an ? a1 ? (n ? 1)d 说明:①归纳证明时,利用归纳假设创造递推条件,寻求 f(k+1)与 f(k)的递推关
系,是解题的关键。 ②数学归纳法证明的基本形式; (1) (递推奠基) :当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2) (递推归纳) :假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确; (归纳假设) 证明当 n=k+1 时结论也正确。 (归纳证明) 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。

EX: 1.判断下列推证是否正确。
P88 2,3 2. 用数学归纳法证明

1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? 10 ? ? ? n(3n ? 1) ? n(n ? 1) 2
1 1 1 ? ? ??? ? 1 (n∈N,n≥2) n ?1 n ? 2 3n ? 1
数 学 归 纳 法 证

例 2:用数学归纳法证明

说明:注意从 n=k 到 n=k+1 时,添加项的变化。 EX:1.
明: 1 ? 用

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

(1)当 n=1 时,左边有_____项,右边有_____项;
第 58 页 共 85 页

(2)当 n=k 时,左边有_____项,右边有_____项; (3)当 n=k+1 时,左边有_____项,右边有_____项; (4)等式的左右两边,由 n=k 到 n=k+1 时有什么不同?

变题: 用数学归纳法证明

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1 (n∈N+) 2 2 2

例 3:设 f(n)=1+

1 1 1 ? ? ? ? ? ,求证 n+f(1)+f(2)+?f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2) 2 3 n

说明:注意分析 f(k)和 f(k+1)的关系。

【课堂小结】

1.数学归纳法公理:
(1) (递推奠基) :当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2) (递推归纳) :假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确; (归纳假设) 证明当 n=k+1 时结论也正确。 (归纳证明) 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 2. 注意从 n=k 到 n=k+1 时,添加项的变化。 利用归纳假设创造递推条件, 寻求 f(k+1) 与 f(k)的递推关系. 【反馈练习】 1.用数学归纳法证明 3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4
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2. 用数学归纳法证明 1 ?
到 k+1”,左端增加的项数是( A.

1 1 1 ? ??? n ? n ? n ? N 且n ? 1? 第二步证明从“k 2 3 2 ?1
)
k

2

k

?1

B

2

?1
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C
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2

k

D

2

k ?1

1 1 1 13 ? ?? ? ? n ?1 n ? 2 2n 24 1 1 7 13 证明 (1)当 n=2 时, ? ? ? 2 ? 1 2 ? 2 12 24 1 1 1 13 (2)假设当 n=k 时成立,即 ? ??? ? k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 1 1 1 则当n ? k ? 1时, ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 1 13 1 1 1 13 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 24 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 24 2k ? 1 2k ? 2 13 1 13 ? ? ? 24 2( 2k ? 1)(k ? 1) 24
3.若 n 为大于 1 的自然数,求证
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4


1 ???




n













? n ? ??

? n ??

2

?

?

n ?? ? ?

n? ? ? ?

?2

? 1

3?

? 2

n ?

第 59 页 共 85 页

【课外作业】 《课标检测》

数学归纳法
一、教学目标: 1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。 2.掌握数学归纳法证明问题的方法,能用数学归纳法证明一些简单的数学命 题 3.能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 难点:归纳→猜想→证明。 三、教学过程:
【创设情境】

问题 1:数学归纳法的基本思想?
以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程,转化为一个有限步骤 的演绎过程。 (递推关系)

问题 2:数学归纳法证明命题的步骤?
(1)递推奠基:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)递推归纳:假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确; (归纳假设) 证明当 n=k+1 时结论也正确。 (归纳证明) 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 数学归纳法是直接证明的一种重要方法, 应用十分广泛, 主要体现在与正整数有关的恒等式、 不等式; 数的整除性、几何问题;探求数列的通项及前 n 项和等问题。 【探索研究】

7 问题:用数学归纳法证明: (3n ? 1)? n ? 1 能被 9 整除。
第 60 页 共 85 页

法一:配凑递推假设: 法二:计算 f(k+1)-f(k),避免配凑。

说明:①归纳证明时,利用归纳假设创造条件,是解题的关键。
②注意从“n=k 到 n=k+1”时项的变化。 【例题评析】

例 1:求证: a n ?1 ? (a ? 1) 2 n ?1 能被 a 2 ? a ? 1 整除(n∈N+) 。



2







{an}





an ?1 ? an

,a1=1



(an ?1 ? an ) 2 ? 2(an ? an ?1 ) ? 1 ? 0
(1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)猜想{an}的通项公式,并证明你的猜想。

说明:用数学归纳法证明问题的常用方法:归纳→猜想→证明

2 变题: (2002 全国理科)设数列{an}满足 an ?1 ? an ? nan ? 1 ,n∈N+, (1)当 a1=2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并猜想{an}的一个通项公式;

(2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 ①an≥n+2 ②

1 1 1 1 ? ?? ? ? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

例 3:平面内有 n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条直线不共点,问:这
n 条直线将平面分成多少部分?

变题:平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交与两点,且每三个圆都不相交于同
一点,求证:这 n 个圆把平面分成 n +n+2 个部分。
2

2 例 4:设函数 f(x)是满足不等式 log 2 x ? log 2 (3? k ?1 ? x) ? 2k ? 1 ,(k
∈N+)的自然数 x 的个数; (1)求 f(x)的解析式; (2)记 Sn=f(1)+f(2)+?+f(n),求 Sn 的解析式; (3)令Pn=n2+n-1 (n∈N+),试比较Sn 与Pn 的大小。

第 61 页 共 85 页

【课堂小结】 1.猜归法是发现与论证的完美结合 数学归纳法证明正整数问题的一般方法:归纳→猜想→证明。 2.两个注意: (1)是否用了归纳假设? (2)从 n=k 到 n=k+1 时关注项的变化? 【反馈练习】 1 ____
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观察下列式子

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1?

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?则可归纳出 2 2 3 4 2 3 2 3 4

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答案 : 1 ?

1 1 1 2n ? 1 (n∈N*) ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1)

1.用数学归纳法证明 2 ? n ? n ? 4, n ? N ? ?
n 2

2. 已知数列

1 1 1 1 根 , , ,, ... ,, S1,S2,S3,S4, ... 计算 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1 )

据计算结果,猜想 S n 的表达式,并用数学归纳法证明。 3.
3




3




3




3

a



b



c



使





? 1 ? ?? 2 ? ?? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?n? ?n? ?n?
?

?n? ??? ? ? ?n?

?

an 2 ? bn ? c n

对一切 n ? N 都成立?并证明你的结论. 【课外作业】 《课标检测》

课题:复习课 一、教学目标: 1.了解本章知识结构。 2.进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的完整认识。课题:数学 归纳法 3.认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力。

二、教学重点:进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的
完整认识。

难点:认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力 三、教学过程:
第 62 页 共 85 页

【创设情境】 一、知识结构: 合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 演绎推理 综合法 直接证明 分析法 数学归纳 法 间接证明 反证法 归纳推理 类比推理

【探索研究】 我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点;揭示了分析法、综合法、 数学归纳法和反证法的思维过程及特点。 通过学习, 进一步感受和体会常用的思维模式 和证明方法,形成对数学的完整认识。 【例题评析】

例 1:如图第 n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n=1,2,3,?) 。
则第 n-2 个图形中共有________个顶点。

变题:黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

第1个

第2个

第3个

则第 n 个图案中有白色地面砖

块。

例 2:长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为 ? , ? ,则
第 63 页 共 85 页

cos 2 ? ? sin 2 ?
=1,将长方形与长方体进行类比,可猜测的结论为:_______________________;

变题 1:已知,m 是非零常数,x∈R,且有 f ( x ? m) =

1 ? f ( x) ,问 f(x)是 1 ? f ( x)

否是周期函数?若是,求出它的一个周期,若不是,说明理由。

变题 2:数列 {a n } 的前 n 项和记为 Sn,已知 a1 ? 1, a n?1 ?
证明: (Ⅰ)数列 {

n?2 S n (n ? 1,2,3?). n

Sn } 是等比数列; n

(Ⅱ) S n ?1 ? 4a n .

例 3:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,
求证:

f (x ?

1 ) 为偶函数。 2

1 1 1 n 例 4:设 Sn=1+ + +...+ (n>1,n∈N),求证: S 2n ? 1 ? 2 3 n 2
评析:数学归纳法证明不等式时,经常用到“放缩”的技巧。

( n ? 2, n ? N )

变题:是否存在 a、b、c 使得等式 1?22+2?32+?+n(n+1)2= 于一切正整数 n 都成立?证明你的结论。 解 假设存在 a、b、c 使题设的等式成立,
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n( n ? 1) (an2+bn+c) 对 12

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1 ? ?4 ? 6 ( a ? b ? c ) ?a ? 3 ? 1 ? ? 这时令 n=1,2,3,有 ?22 ? (4a ? 2b ? c) ? ?b ? 11 2 ? ?c ? 10 ? ?70 ? 9a ? 3b ? c ? ? 于是,对 n=1,2,3 下面等式成立 n(n ? 1) 1?22+2?32+?+n(n+1)2= (3n 2 ? 11n ? 10) 12 记 Sn=1?22+2?32+?+n(n+1)2 (1)n=1 时,等式以证,成立。 k (k ? 1) (2)设 n=k 时上式成立,即 Sk= (3k2+11k+10) 12 k (k ? 1) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2) = (3k2+5k+12k+24)= [3(k+1)2+11(k+1)+10] 12 12 也就是说,等式对 n=k+1 也成立 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时,题设对一切自然数 n 均成立
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【课堂小结】 体会常用的思维模式和证明方法。 【反馈练习】 1 .( 2005 辽 宁 ) 在 R 上 定 义 运 算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若 不 等 式

( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立, 则
A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ?

1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2

2.定义 A*B,B*C,C*D,D*B 分别对应下列图形

(1) 那么下列图形中

(2)

(3)

(4)

(1)

(2)

(3)

(4)

可以表示 A*D,A*C 的分别是 ( ) A. 、 (1)(2) B. 、 (2)(3) C. 、 (2)(4) D. 、 (1)(4) n 3 已知 f(n)=(2n+7)?3 +9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则 最大的 m 的值为( )
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A 30 B 26 C 36 D 6 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3?36,f(3)=360=10?36 ∴f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除 证明 n=1,2 时,由上得证,设 n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)?3k+9 能被 36 整除,则 n=k+1 时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)?3k+1 ?-(2k+7)?3k=(6k+27)?3k-(2k+7)?3k - =(4k+20)?3k=36(k+5)?3k 2 ?(k≥2) ? f(k+1)能被 36 整除 ∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴所求最大的 m 值等于 36 4 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145 (1)求数列{bn}的通项公式 bn;
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(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, bn
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试比较 Sn 与
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1 logabn+1 的大小,并证明你的结论 3 解 (1) 设数列{bn}的公差为 d,
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?b1 ? 1 ?b ? 1 ? 由题意得 ? ,∴bn=3n-2 ?? 1 10(10 ? 1) d ? 145 ?d ? 3 ?10b1 ? 2 ?
(2)证明
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由 bn=3n-2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+

1 1 )+?+loga(1+ ) 4 3n ? 2

=loga[(1+1)(1+ 而

1 1 )?(1+ )] 4 3n ? 2

1 1 logabn+1=loga 3 3n ? 1 ,于是,比较 Sn 与 logabn+1 ?的大小 3 3 1 1 )与 3 3n ? 1 的大小 ? 比较(1+1)(1+ )?(1+ 4 3n ? 2
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取 n=1,有(1+1)= 3 8 ? 3 4 ? 3 3 ?1 ? 1

1 取 n=2,有(1+1)(1+ ) ? 3 8 ? 3 7 ? 3 3 ? 2 ? 1 4 1 1 推测 (1+1)(1+ )?(1+ )> 3 3n ? 1 (*) 4 3n ? 2 ①当 n=1 时,已验证(*)式成立
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②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+

1 1 )?(1+ )> 3 3k ? 1 4 3k ? 2

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) 4 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1

?

3k ? 2 3 3k ? 1 3k ? 1

?(

3k ? 2 3 3k ? 1)3 ? ( 3 3k ? 4)3 3k ? 1

第 66 页 共 85 页

?

(3k ? 2)3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 9k ? 4 ? ?0 2 (3k ? 1) (3k ? 1) 2
3

?

3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1

1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1 , 4 3k ? 2 3k ? 1 即当 n=k+1 时,(*)式成立 由①②知,(*)式对任意正整数 n 都成立 1 1 于是,当 a>1 时,Sn> logabn+1 ?,当 0<a<1 时,Sn< logabn+1 ? 3 3 【课外作业】 《课标检测》
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第 67 页 共 85 页

第 3 章 数系的扩充与复数的引入
§3.1 数系的扩充和复数的概念 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念

教学目标: 1. 知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位 i 2. 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3. 情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚 部) 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点:复数的概念,虚数单位 i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学 重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点:虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位 i 并同时规 定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定 i 的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立 教具准备:多媒体、实物投影仪 教学设想:生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原 有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有 理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾. 教学过程: 学生探究过程: 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计 数的需要,就产生了 1,2,3,4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构成自然数集 N 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意 义的量以及满足记数的需要, 人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集 Q.显然 N Q.如果把自然数 集(含正整数和 0)与负整数集合并在一起,构成整数集 Z,则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分 数,那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为 了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一 起,构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所 以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数 集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数 集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集 R 以后,像 x2=-1 这样的方 程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数 i ,叫做虚数 单位.并由此产生的了复数 讲解新课: 1.虚数单位 i :
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(1)它的平方等于-1,即

i 2 ? ?1 ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根, 即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另一个根是- i ! 4n+1 4n+2 4n+3 4n 3. i 的周期性: i =i, i =-1, i =-i, i =1
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4.复数的定义:形如 a ? bi (a, b ? R ) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体复数所成的
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集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫 做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系: 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 复数相等的定义是求复数值, 在复数集中解方程的重要依据 一般地, 两个复数只能说相等或不相等, 而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 现有一个命题: “任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 如果两个复数都是实数,就可以比较 大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
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例 1 请说出复数 2 ? 3i,?3 ?

1 1 i,? i,? 3 ? 5i 的实部和虚部,有没有纯虚数? 2 3 1 1 1 3 ;虚部分别是 3, ,- ,- 5 ;- i 3 3 2

答:它们都是虚数,它们的实部分别是 2,-3,0,-

是纯虚数. 例 2 复数-2i+3.14 的实部和虚部是什么? 答:实部是 3.14,虚部是-2. 易错为:实部是-2,虚部是 3.14! 例 3(课本例 1)实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? [分析]因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以 确定 m 的值. 解:(1)当 m-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数; (2)当 m-1≠0,即 m≠1 时,复数 z 是虚数; (3)当 m+1=0,且 m-1≠0 时,即 m=-1 时,复数 z 是纯虚数. 例 4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y.

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解:根据复数相等的定义,得方程组 ?

?2 x ? 1 ? y , 5 ,所以 x= ,y=4 2 ?1 ? ?(3 ? y )

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巩固练习: 1.设集合 C={复数} ,A={实数} ,B={纯虚数} ,若全集 S=C,则下列结论正确的是( A.A∪B=C B. CS A=B C.A∩ CS B= ? D.B∪ CS B=C )

)

2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=-

1 2

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2

3.已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1,3}.M∩P={3} ,则实数 m 的 值为( ) A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1 2 2 4.满足方程 x -2x-3+(9y -6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是______. 5.复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是______. 6.设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值. 7.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值. 8.已知 m∈R,复数 z=

m(m ? 2) +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, m ?1
1 +4i. 2

(1)z∈R; (2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4)z= 答案:1.D

2.D 3. 解析:由题设知 3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3

?m 2 ? 3m ? 1 ? 3 ?m ? 4或m ? ?1 ∴? ,∴ ? ∴m=-1,故选 A. 2 ?m ? 6或m ? ?1 ?m ? 5m ? 6 ? 0
? x ? 3或x ? ?1 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ? 4. 解析:由题意知 ? ∴? 1 2 ?9 y ? 6 y ? 1 ? 0, ? y ? 3 ?
∴点对有(3,

1 1 ),(-1, )共有 2 个.答案:2 3 3
?a ? c ? a=c 且 b2=d2.答案:a=c 且 b2=d2 ?| b |?| d |
2

5. 解析:z1=z2 ? ?

?m 2 ? 3m ? 3 ? 1 ?log 2 (m ? 3m ? 3) ? 0, ? 6.解:由题意知 ? ∴ ?3 ? m ? 1 log 2 (3 ? m) ? 0, ? ?3 ? m ? 0 ?
∴?

?m 2 ? 3m ? 4 ? 0 ?m ? 2且m ? 3

∴?

?m ? 4或m ? ?1 ,∴m=-1. ?m ? 3且m ? 2
第 70 页 共 85 页

7. 解:方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴ ?

? x 2 ? mx ? 2 ? 0 ?2 x ? m ? 0



∴x=-

m2 m m ,∴ ? ? 2 ? 0, ∴m2=8,∴m=±2 2 . 4 2 2

?m 2 ? 2m ? 3 ? 0, 8. 解:(1)m 须满足 ? 解之得:m=-3. ? m ? 1 ? 1.
(2)m 须满足 m2+2m-3≠0 且 m-1≠0,解之得:m≠1 且 m≠-3.

? m ( m ? 2) ? 0, ? (3)m 须满足 ? m ? 1 解之得:m=0 或 m=-2. 2 ? m ? 2 m ? 3 ? 0. ? ? m ( m ? 2) 1 ? ? (4)m 须满足 ? m ? 1 2 解之得:m∈ ? ? m 2 ? 2 m ? 3 ? 4. ?

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课后作业:课本第 106 页 习题 3.1 1 , 2 , 3 教学反思: 这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等 的充要条件,复平面等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识有较 完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体 验已学过的数集的扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身发展的需 要;介绍数的概念的发展过程,使学生对数的形成、发展的历史和规律,各种数集中之间的关系有着比较 清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类
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§3.1.2 复数的几何意义
教学目标: 知识与技能:理解复数与从原点出发的向量的对应关系 过程与方法:了解复数的几何意义 情感、态度与价值观:画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思 路的作用 教学重点:复数与从原点出发的向量的对应关系. 教学难点:复数的几何意义。 教具准备:多媒体、实物投影仪。 教学设想: 复数 z=a+bi(a、 b∈R)与有序实数对(a, b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、 b∈R),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定. 教学过程: 学生探究过程:
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1.若 A( x, y ) , O(0,0) ,则 OA ? ? x, y ?
第 71 页 共 85 页

??? ?

2. 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3. 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即
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AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

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讲授新课: 复平面、实轴、虚轴: 复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应 关系 这是 y Z(a,b) 因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、b∈R),由复数相等的 定义可知, b 可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定,如 z=3+2i 可以由 有序实数 对(3,2)确定,又如 z=-2+i 可以由有序实数对(-2,1) 来确定; 又 因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对 应的, 如有 序实数对(3, 2)它与平面直角坐标系中的点 A, 横坐标为 3, 纵坐标为 o x 角坐标系 a 2,建立了一一对应的关系 由此可知,复数集与平面直 中的点集之间可以建立一一对应的关系. 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表 示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 在复平面内的原点(0,0)表示实数 0,实轴上的点(2,0)表示实数 2,虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数 -i,虚轴上的点(0,5)表示纯虚数 5i 非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(-2,3)表示的复数是-2+3i,z=-5-3i 对应的点(-5,-3) 在第三象限等等. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
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? 复数 z ? a ? bi ???? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的 一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.

? 1.复平面内的点 Z (a, b) ???? 平面向量 OZ
一一对应

??? ?

? 2. 复数 z ? a ? bi ???? 平面向量 OZ
一一对应

??? ?

例 1. (2007 年辽宁卷)若 ? ? ? 应的点在( ) A.第一象限 解:选 B .

?3 5 ? π, π ? ,则复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos ? )i 在复平面内所对 ?4 4 ?
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

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例 2. (2003 上海理科、文科)已知复数 z1=cosθ -i,z2=sinθ +i,求| z1?z2|的最大值和最小值. [解] | z1 ? z 2 |?| 1 ? sin ? cos? ? (cos? ? sin ? )i |

? (1 ? sin ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? ) 2 1 ? 2 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 ? sin 2 2? . 4 3 故 | z1 ? z 2 | 的最大值为 , 最小值为 2 . 2

例 3. (2004 北京理科)满足条件 | z ? i| ?|3 ? 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 解:选 C. 巩固练习: 课后作业:课本第 106 页 习题 3. 1 A 组 4,5,6 B 组 1,2 教学反思: 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即



? 复数 z ? a ? bi ???? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的 一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.

1. (2000 广东,全国文科、理科,江西、天津理科)在复平面内,把复数 3 ? 3i 对 应的向量按顺时钟方向旋转 (A)2 3

? ,所得向量对应的复数是: B ) ( 3 (B) ? 2 3i (C) 3 ? 3i (D)3+ 3i
) )

2. (1992 全国理科、文科)已知复数 z 的模为 2,则│z-i│的最大值为:( D

(A)1 (B)2 (C) (D)3 3. (2003 北京理科)若 z ? C 且 | z ? 2 ? 2i |? 1, 则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是( B A.2 B.3 C.4 D.5 4. (2007 年上海卷)若 a, b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ①a ?

1 ?0 a
2

② ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b
2 2

2

③若 a ? b ,则 a ? ?b

④若 a ? ab ,则 a ? b 则对于任意非零复数 a, b ,上述命题仍然成立的序号是 _____ 。 4.②,④ 5.(2005 上海文科)在复数范围内解方程 | z | ?( z ? z )i ?
2

3?i ( i 为虚数单位) 。 2?i

【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力,可根据复数的代数形式进行处理. 【解】原方程化简为 z ? ( z ? z )i ? 1 ? i , 设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x +y +2xi=1-i,
2 2

2

第 73 页 共 85 页

∴x +y =1 且 2x=-1,解得 x=∴原方程的解是 z=-

2

2

3 1 且 y=± , 2 2

3 1 ± i. 2 2

§3.2 复数代数形式的四则运算 §3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义
教学目标: 知识与技能:掌握复数的加法运算及意义 过程与方法:理解并掌握实数进行四则运算的规律,了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解 并掌握复数相等的有关概念;画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪 解题思路的作用 教学重点:复数加法运算,复数与从原点出发的向量的对应关系. 教学难点:复数加法运算的运算率,复数加减法运算的几何意义。 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 教学设想:复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和 它对应。复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、 b∈R),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定. 教学过程: 学生探究过程:
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1.虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即
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i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,

原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根, 即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另一个根是- i 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.复数的定义:形如 a ? bi (a, b ? R ) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体复数所成的
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集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫 做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系: 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即: 如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: y 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b ∈ R) 可 用 点 Z(a,b)
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b

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o

a

x

Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴 叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表 示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
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复数 z ? a ? bi ???? 复平面内的点 Z (a, b) ?
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的 一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法
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8.若 A( x, y ) , O(0,0) ,则 OA ? ? x, y ? 9. 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

??? ?

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 10. 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即
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AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

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讲解新课: 一.复数代数形式的加减运算 1.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明:设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i) =[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i =[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律
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讲解范例: 例 1 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i 例 2 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+?+(-2002+2003i)+(2003-2004i) 解法一:原式=(1-2+3-4+?-2002+2003)+(-2+3-4+5+?+2003-2004i)=(2003-1001)+(1001- 2004)i=1002-1003i. 解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i, (3-4i)+(-4+5i)=-1+i, ?? (2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i. 相加得(共有 1001 个式子): 原式=1001(-1+i)+(2003-2004i) =(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i 二.复数代数形式的加减运算的几何意义 复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
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1.复平面内的点 Z (a, b) ???? 平面向量 OZ ?
一一对应

??? ?

2.

? 复数 z ? a ? bi ???? 平面向量 OZ
一一对应

??? ?

3.复数加法的几何意义: 设复数 z1=a+bi, 2=c+di, z 在复平面上所对应的向量为 OZ 1 、OZ 2 , 即

OZ 1 、

OZ 2 的坐标形式为 OZ 1 =(a,b), OZ 2 =(c,d) 以 OZ 1 、 OZ 2 为邻边
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作平行四边

形 OZ1ZZ2,则对角线 OZ 对应的向量是 OZ , ∴ OZ =

OZ 1 + OZ 2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i

4. 复数减法的几何意义:复数减法是加法的逆运算,设 z=(a-c)+(b-d)i,所以 z-z1=z2,z2+z1=z,由 复数加法几何意义,以 OZ 为一条对角线, OZ 1 为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 OZ 2 就与复数 z-z1 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由于 OZ 2 ? Z1Z ,所以,两个复数的差 z
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???? ?

????

-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 例 3 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复数 z,z 在平面内所 对应的点在第几象限? 解:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i, ∵z 的实部 a=-1<0,虚部 b=1>0, ∴复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内. 点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即 AB 所表示的复数是 zB-zA. ,而 BA 所表示的复数是 zA-zB,故切不可把被减数与减数搞错 尽管向量
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AB 的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同,那么向量 AB 所对应的复数是惟一
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的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关 例 4 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这 个正方形的第四个顶点对应的复数.
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分析一:利用 AD ?

BC ,求点 D 的对应复数.

解法一:设复数 z1、z2、z3 所对应的点为 A、B、C,正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x,y∈ R),是:

AD ? OD ? OA =(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i; BC ? OC ? OB =(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
∵ AD ?

BC ,即(x-1)+(y-2)i=1-3i,
例2图

? x ? 1 ? 1, ? x ? 2, ∴? 解得 ? ? y ? 2 ? ?3, ? y ? ?1 .

故点 D 对应的复数为 2-i. 分析二:利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解. 解法二:因为点 A 与点 C 关于原点对称,所以原点 O 为正方形的中心,于是(-2+i)+ (x+yi)=0,∴x=2,y=-1. 故点 D 对应的复数为 2-i. 点评:根据题意画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路 的作用
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巩固练习: 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是 A.5-9i B.-5-3i C.7-11i D.-7+11i 3.已知复平面上△AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则以 OA、OB 为 邻边的平行四边形的对角线长为 A.3 2 B.2 2 C.2 D. 5

4.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.一个实数与一个虚数的差( ) A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 6.计算(- 2 ? 3i ) ? ( 3 ? 2i ) ? [( 3 ? 2 ) ? ( 3 ?

2 )i] =____.

7.计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=________(x、y∈R). 8.计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-?-(2002-2003i). 9.已知复数 z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量 OZ 1 、 OZ 2 (O 为原点) ,若向

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量 Z 1 Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值. 解: Z1Z 2 对应的复数为 z2-z1,则 z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i-[a2-3+(a+5)i]=(a-a2+2)+(a2+a-6)i ∵z2-z1 是纯虚数

?a ? a 2 ? 2 ? 0 ? ∴? 2 ?a ? a ? 6 ? 0 ?

解得 a=-1.

10.已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1,2) 、B(-2,1) 、C(-1,-2) ,求它的第四个顶点 D 对应的复数. 解:设 D(x,y),则

AD ? OD ? OA 对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i
BC ? OC ? OB 对应的复数为:(-1-2i)-(-2+i)=1-3i
∵ AD ? BC ∴(x-1)+(y-2)i=1-3i ∴?

?x ? 1 ? 1 ?x ? 2 ,解得 ? ? y ? 2 ? ?3 ? y ? ?1

∴D 点对应的复数为 2-i。 答案:1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.-2 2 i 7.(y-x)+5(y-x)i 8.解:原式=(1-2+3-4+?+2001-2002)+(-2+3-4+?-2002+2003)i =-1001+1001i 课后作业:课本第 112 页 习题 3.2 1 , 2 , 3 教学反思: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即:如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a,b,c,d∈R). 复数的加法,可模仿多项式的加法法则 计算,不必死记公式。
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复数加法的几何意义:如果复数 z1,z2 分别对应于向量 OP1 、 OP2 ,那么,以 OP1、OP2 为两边作平 行四边形 OP1SP2,对角线 OS 表示的向量 OS 就是 z1+z2 的和所对应的向量 复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
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复数减法的几何意义:两个

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算
教学目标: 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学 时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动
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地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教具准备:多媒体、实物投影仪。 教学设想:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即:如果 a,b,c,d∈R, 那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d ,只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程: 学生探究过程:
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1.虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即
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i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,

原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根, 即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另一个根是- i 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.复数的定义:形如 a ? bi (a, b ? R ) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体复数所成的
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集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫 做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系: 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即: 如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表 示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 8.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课: 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2 换成-1,并且把实部与虚部 分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
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证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例 2 计算: (1)(3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i)2. 解: (1)(3+4i) (3-4i) =32-(4i)2=9-(-16)=25; (2) (1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
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通常记复数 z 的共轭复数为 z 。 4. 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商,记为: (a+bi) ? (c+di)或者

a ? bi c ? di

5.除法运算规则: ①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R),其商为 x+yi(x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知 ?

?cx ? dy ? a, ?dx ? cy ? b.

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ac ? bd ? ?x ? c 2 ? d 2 , ? 解这个方程组,得 ? ? y ? bc ? ad . ? c2 ? d 2 ?
于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad i. ? c2 ? d 2 c2 ? d 2 a ? bi 的分母有理化得: c ? di

②利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将

原式=

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) [ac ? bi ? (?di )] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di )(c ? di ) c2 ? d 2

?

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2
3 ? 2 的对偶式 3 ? 2 ,它们之积为 1 是有理数,
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点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法, 而复数 c+di 与复数 c-di,相当于我们初中学习的

而(c+di)?(c-di)=c2+d2 是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 例 3 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) 解: (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ?
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1 ? 2i 3 ? 4i
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?

(1 ? 2i)(3 ? 4i) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ?5 ? 10i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 3 ?4 25 5 5

例 4 计算

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

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解:

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 1 ? 4 ? 3i ? 2 ? 4i 7 ? i (7 ? i)(3 ? 4i) ? ? ? 3 ? 4i 3 ? 4i 32 ? 42 3 ? 4i
? 21 ? 4 ? 3i ? 28i 25 ? 25i ? ? 1 ? i. 25 25

例 5 已知 z 是虚数,且 z+

1 z ?1 是实数,求证: 是纯虚数. z z ?1

证明:设 z=a+bi(a、b∈R 且 b≠0),于是 z+

1 a ? bi a b 1 ?a? 2 ? (b ? 2 )i . =a+bi+ =a+bi+ 2 2 2 a ?b a ?b a ? b2 a ? bi z
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∵z+

b 1 ∈R,∴b- 2 =0. a ? b2 z

∵b≠0,∴a2+b2=1. ∴

z ? 1 (a ? 1) ? bi [(a ? 1) ? bi][(a ? 1) ? bi] ? ? z ? 1 (a ? 1) ? bi (a ? 1) 2 ? b 2 a 2 ? 1 ? b 2 ? [(a ? 1)b ? (a ? 1)b]i 0 ? 2bi b ? ? ? i. 2 2 a ? b ? 2a ? 1 1 ? 2a ? 1 a ? 1

∵b≠0,a、b∈R,∴ 巩固练习: 1.设 z=3+i,则

b i 是纯虚数 a ?1

王新敞
奎屯

新疆

1 等于 z
B.3-i C.

A.3+i 2.

a ? bi a ? bi 的值是 ? b ? ai b ? ai
B.i

3 1 i? 10 10

D.

3 1 ? i 10 10

A.0

C.-i

D.1

3.已知 z1=2-i,z2=1+3i,则复数 A.1 4.设 B.-1

z i ? 2 的虚部为 z1 5
C.i D.-i

x 3 y (x∈R,y∈R),则 x=___________,y=___________. ? ? 1? i 2 ? i 1? i
2.A 3.A 4.

答案:1.D

3 9 , - 5 5

课后作业:课本第 112 页 习题 3. 2 A 组 4,5,6 B 组 1,2 教学反思: 复数的乘法法则是: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘, 可按多项式类似的办法进行, 不必去记公式. 复数的除法法则是:

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i(c+di≠0). c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数,再把结果化简
王新敞
奎屯 新疆

高考题选 1. (2007 年北京卷)

2 ? (1 ? i ) 2

?i .

第 82 页 共 85 页

2. (2007 年湖北卷) 复数 z=a+bi,a,b∈R,且 b≠0,若 z 2 ? 4bz 是实数, 则有序实数对 (a,b) 可以是 出一个有序实数对即可) 【答案】 1 :) 2 ( ,
2

.(写

.
2 ) ba b ?a ) ? a ? 42 ? ? bi2 ? 2) ? 4(i b b ba 2(

【分析】 z ? 4 ? ( b : b a i z ?

是实数,所以 a ? 2b ,取

(a, b ) ? (2,1).
【高考考点】 :本题主要考查复数的基本概念和运算. 【易错点】 :复数的运算公式不能记错。 【高学科网备考提示】 :复数的基本概念和运算,是高考每年必考的内容,应熟练掌握。 3. (2007 年福建卷)复数

1 等于( D ) (1 ? i)2
C.

A.

1 2
1 2

B. ?

1 2
(D) 2

1 i 2

D. ?

1 i 2

4. (2007 年广东卷)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 为实数) ,则 b= (A) -2 (B) (C)
1 2

答案:B;解析: (1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i,故 2b+1=0,故选 B;

? 2i ? 5. (2007 年湖南卷)复数 ? ? 等于( C ) ? 1+i ?
A. 4i B. ?4i C. 2i D. ?2i

2

6. (2007 年江西卷)化简 A. 2 ? i

2 ? 4i 的结果是( C ) (1 ? i)2
C. 2 ? i D. ?2 ? i

B. ?2 ? i

7. (2007 年全国卷 I)设 a 是实数,且 A.

a 1? i 是实数,则 a ? ( B ) ? 1? i 2

3 D. 2 2 1 ? 2i 8. (2007 年全国卷Ⅱ)设复数 z 满足 ? i ,则 z ? ( C ) z A. ?2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i
B. 1 C. 9.(2007 年陕西卷)在复平面内,复数 z= (A)第一象限 (B)第二象限
1 对应的点位于(D) 2?i (C)第在象限 (D)第四象限

1 2

10. (2007 年四川卷)复数 (A)0

1? i 3 ? i 的值是( 1? i (B)1 (C) ?1

) (D) i

1? i 3 (1 ? i ) 2 2i ?i ? ? i3 ? ? i3 ? i ? i ? 0 . 解析:选 A. 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

第 83 页 共 85 页

本题考查复数的代数运算.

2i3 11. (2007 年天津卷) i 是虚数单位, ?( C ) 1? i
A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i 12. (2007 年浙江卷)已知复数 z1 ? 1 ? i , z1 ?z2 ? 1 ? i ,则复数 z 2 ?
2

1



13. (2007 年上海卷) 已知 2 ? ai, b ? i 是实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 的两根, p, q 的值为 (A) 则 A、 p ? ?4, q ? 5 14. (2007 年重庆卷)复数 B、 p ? 4, q ? 5 C、 p ? 4, q ? ?5 D、 p ? ?4, q ? ?5

4 2i 的虚部为__ ____. 3 5 2?i
2 ? ai 1 ? 2i
=- 2 I,则 a 等于(B)

15. (2007 年安徽卷)若 a 为实数,

(A) 2

(B)- 2

(C)2 2

(D)-2 2

16. (2007 年山东卷)若 z ? cos? ? i sin ? ( i 虚数单位) ,则 z 2 ? ?1使的值可能是(D)

? ? (D) 3 2 ?5 ? 10i 17. (2007 年宁夏卷) i 是虚数单位, ? 1 ? 2i 3 ? 4i
(A) (B) (C)

? 6

? 4

. (用 a ? bi 的形式表示, a,b?R )

第 84 页 共 85 页


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