当前位置:首页 >> 数学 >>

新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案


高中数学教案选修全套 【选修 2-2 教案|全套】
目 录
目 录 ...................................................................................................................................................

................. I 第一章 导数及其应用 ........................................................................................................................................... 1 § 1.1.1 变化率问题 ............................................................................................................................................ 1 导数与导函数的概念 ....................................................................................................................................... 4 § 1.1.2 导数的概念 ............................................................................................................................................ 6 § 1.1.3 导数的几何意义 .................................................................................................................................... 9 § 1.2.1 几个常用函数的导数 .......................................................................................................................... 13 § 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则................................................................................... 16 § 1.2.2 复合函数的求导法则 .......................................................................................................................... 20 § 1.3.1 函数的单调性与导数(2 课时) ....................................................................................................... 23 § 1.3.2 函数的极值与导数(2 课时) ........................................................................................................... 28 § 1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2 课时)............................................................................................ 32 § 生活中的优化问题举例(2 课时) ...................................................................................................... 35 1.4 § 1.5.3 定积分的概念 ...................................................................................................................................... 39 第二章 推理与证明 ............................................................................................................................................... 43 合情推理 ......................................................................................................................................................... 43 类比推理 ......................................................................................................................................................... 46 演绎推理 ......................................................................................................................................................... 49 推理案例赏识 ................................................................................................................................................. 51 直接证明--综合法与分析法 ........................................................................................................................... 53 间接证明--反证法........................................................................................................................................... 55 数学归纳法 ..................................................................................................................................................... 57 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 ....................................................................................................................... 68 § 数系的扩充和复数的概念 ..................................................................................................................... 68 3.1 § 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 .................................................................................................................. 68 § 3.1.2 复数的几何意义 ................................................................................................................................ 71 § 复数代数形式的四则运算 ..................................................................................................................... 74 3.2 § 3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义............................................................................................... 74 § 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 .................................................................................................................. 78

第一章

导数及其应用

§1.1.1 变化率问题
教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积 分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3

4 3 ?r 3

3V 4?

分析: r (V ) ? 3

3V , 4?
h

⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0

⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1
o t

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

第 1 页 共 85 页

问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v

h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s) ; 0.5 ? 0 h(2) ? h(1) 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v ? ? ?8.2(m / s) 2 ?1 65 探究:计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v ? ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49

65 ) ? h(0) 49 所以 v ? ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0( s / m) ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 49 h(
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念: 1.上述问题中的变化率可用式子

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 表示, x 2 ? x1

称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率

2. 若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代替 x2,同样

?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) )
3. 则平均变化率为

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? x 2 ? x1 ?x ?x ?x

思考:观察函数 f(x)的图象 平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f 表示什么? ? x2 ? x1 ?x

y y=f(x) f(x2) △ y =f(x2)-f(x1)

直线 AB 的斜率 f(x1)
第 2 页 共 85 页

△ x= x2-x1

O

x1

x2

x

三.典例分析 例 1 . 已 知 函 数 f(x)= ? x ? x 的 图 象 上 的 一 点 A(?1, ? 2) 及 临 近 一 点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) , 则
2

?y ? ?x


2

解: ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) ? (?1 ? ?x) ,



?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x
例2. 求 y ? x 在 x ? x0 附近的平均变化率。
2

?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? 解: ?y ? ( x0 ? ?x) ? x0 ,所以 ?x ?x
2 2

2

?
2

x0 ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ? 2 x0 ? ?x ?x
2 2

所以 y ? x 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x 四.课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为
2



2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率. 25 ? 3?t 3.过曲线 y=f(x)=x3 上两点 P(1,1)和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线,求出当Δ x=0.1 时割线的斜率. 五.回顾总结 1.平均变化率的概念 2.函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业

第 3 页 共 85 页

导数与导函数的概念
教学目标: 1、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法; 理解导数的几何意义; 理解导函数的概念和意义; 2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义,培养转化问题的 能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。 教学重点: 1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用 教学难点: 1、导数概念的理解;2、导函数的理解、认识和运用 教学过程: 一、情境引入 在前面我们解决的问题: 1、求函数 f ( x) ? x 在点(2,4)处的切线斜率。
2

?y f (2 ? ?x) ? f ( x) ? ? 4 ? ?x ,故斜率为 4 ?x ?x
2、直线运动的汽车速度 V 与时间 t 的关系是 V ? t ? 1 ,求 t ? t o 时的瞬时速度。
2

?V v(t o ? ?t ) ? v(t o ) ? ? 2t o ? ?t ,故斜率为 4 ?t ?t
二、知识点讲解 上述两个函数 f (x) 和 V (t ) 中,当 ?x ( ?t )无限趋近于 0 时,

?V ?V ( )都无限趋近于一个常数。 ?t ?x

归 纳 : 一 般的 , 定 义在区 间 ( a , b ) 上 的 函 数 f (x) , xo ? (a,b) , 当 ?x 无 限 趋 近 于 0 时 ,

?y f ( xo ? ?x) ? f ( xo ) 无限趋近于一个固定的常数 A, 则称 f (x) 在 x ? xo 处可导, 并称 A 为 f (x) 在 ? ?x ?x
x ? xo 处的导数,记作 f ' ( xo ) 或 f ' ( x) | x? xo ,
上述两个问题中: (1) f ' (2) ? 4 , (2) V ' (t o ) ? 2t o 三、几何意义: 我们上述过程可以看出

f (x) 在 x ? x0 处的导数就是 f (x) 在 x ? x0 处的切线斜率。
四、例题选讲 例 1、求下列函数在相应位置的导数 (1) f ( x) ? x ? 1 , x ? 2
2

(2) f ( x) ? 2 x ? 1 , x ? 2

第 4 页 共 85 页

(3) f ( x) ? 3 , x ? 2 例 2、函数 f (x) 满足 f ' (1) ? 2 ,则当 x 无限趋近于 0 时,

f (1 ? x) ? f (1) ? 2x f (1 ? 2 x) ? f (1) (2) ? x
(1) 变式:设 f(x)在 x=x0 处可导, (3)

f ( x0 ? 4?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于 1,则 f ?( x0 ) =___________ ?x f ( x0 ? 4?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于 1,则 f ?( x0 ) =________________ ?x
f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? 2?x) 所对应的常数与 f ?( x0 ) 的关系。 ?x

(4)

(5)当△x 无限趋近于 0,

总结:导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。 例 3、若 f ( x) ? ( x ? 1) ,求 f ' (2) 和 ( f (2)) '
2

注意分析两者之间的区别。 例 4:已知函数 f ( x) ?

x ,求 f (x) 在 x ? 2 处的切线。

导函数的概念涉及: f (x) 的对于区间( a , b )上任意点处都可导,则 f (x) 在各点的导数也随 x 的变化而 变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数被称为 f (x) 的导函数,记作 f ' ( x) 。 五、小结与作业

第 5 页 共 85 页

§1.1.2 导数的概念
教学目标: 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点:导数的概念. 教学过程: 一.创设情景 (一)平均变化率 (二)探究:计算运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49
h

65 ) ? h(0) 所以 v ? 49 ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里