安徽省潜山野寨中学2012届高三下学期第四次周考(文数)

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安徽省潜山野寨中学 2012 届高三下学期第四次周考

（数学文） 数学文）
（2012.04） 2012.04）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． （1）已知 i 为虚数单位，则 + i 3 = ( (A) 0 ( C) 2i

1 i (B) 1 ? i

)

（2）已知 a, b ∈ R，则“ a = b ”是“ (A)充分不必要条件 (C)充要条件

a+b = ab ”的( 2

(D) ? 2i )

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别是 An 和 Bn ，且

An 2n + 1 a ，则 9 等于（ = Bn n + 3 b9

）

(A)2

(B)

7 4

(C)

19 12

(D)

13 21

（ 4）设集合 A = ( x, y ) | x + a 2 y + 6 = 0 实数 a 的值为( (A) 3 或 ? 1 ) (B) 0 或 3

{

} ， B = {( x, y) | (a ? 2) x +3ay + 2a = 0} ，若 A ∩ B = ? , 则
(D) 0 或 3 或 ? 1
开始 y=4

(C) 0 或 ? 1

（5）执行如图所示的程序框图，其输出的结果是 (A) 1 (B) ?

1 2

(C) ?

5 4

(D) ?

13 8
）

（6）函数 f ( x ) =| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为（ (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

x= y
1 x ?1 2
否

y=

（7） 已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的增函数，且 f (1) = 0 ，函数 g ( x ) 在 ( ?∞,1] 上 为增函数，在 [1, +∞ ) 上为减函数，且 g (4) = g (0) = 0 ，则集合 { x | f ( x ) g ( x) ≥ 0} = （ ） （B） { x | 0 ≤ x ≤ 4} （D） {x | 0 ≤ x ≤ 1或x ≥ 4}

| y ? x |< 1 是 输出

y

（A） {x | x ≤ 0或1 ≤ x ≤ 4} （C） {x | x ≤ 4}

结束

（8）设点 P 是椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 上一点， F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点， I 为 ?PF1 F2 的内 a2 b2
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心，若 S ?IPF1 + S ?IPF2 = 2 S ?IF1F2 ，则该椭圆的离心 率是（

）

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

1 4 1 2 x 的准线上，则 sin α = （ ） 4

（9）角 α 的终边经过点 A ( ? 3, a ) ，且点 A 在抛物线 y = ? （A） ?

1 2

（B）

1 2

（C） ?

3 2

（D）

3 2

（10）下列命题中，错误的是（ ） ．． （A） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另 一个平面相交 （B）平行于同一平面的两个不同平面平行 （C）如果平面 α 不垂直平面 β ，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β （D）若直线 l 不平行平面 α ，则在平面 α 内不存在与 l 平行的直线

非选择题部分 (共 100 分) 共 个小题， 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分． 填空题（ ） （11）已知向量 a = ( 2,1) , a ? b = 10,| a + b |= 5 2 ，则 | b |=

r

r r

r

r

r

．

（12）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是

.

（13）双曲线 坐标是

x2 y2 ? = 1 上一点 M 到它的右焦点的距离是 3，则点 M 的横 4 12
．

（14）若 α ∈ (0,

π π 1 ) ，且 cos 2 α + sin( + 2α ) = ，则 tan α = 2 2 2

.

?x ? y + 1 ≥ 0 5 ? （15） 已知实数 x, y 满足 ? x + 2 y ? 8 ≤ 0 ，若 (3, ) 是使得 ax ? y 取得最 2 ?x ≤ 3 ?
小值的可行解，则实数 a 的取值范围为 .

解答题（ 小题， 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 三、解答题（本 大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． ） （16） （本题满分 12 分） 已知 m = (2 cos x + 2 3 sin x,1), n = (cos x, ? y ) ，满足 m ? n = 0 ． （I）将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ，并求 f ( x ) 的最小正周期；
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ur

r

ur r

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（II）已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B , C 对应的边长，若 f ( x ) ≤ f ( ) 对所有 x ∈ R 恒成立，且

a = 2 ，求 b + c 的取值范围．

A 2

（17） （本小题满分 12 分） 如图，FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面，CE//DF， ∠DEF = 90° ． （Ⅰ）求证：BE//平面 ADF； （Ⅱ）若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ，EF =2 3 ，则另一边 BC 的长为何值时，三棱锥 F-BDE 的体积 为 3？ F

E D A B C

（18） （本小题满分 12 分） 一工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有 500ml 和 700ml 两种型号，某天的产量如下表(单 位:个): 型号 500ml 700ml 甲样式 2000 3000 乙样式 z 4500 丙样式 3000 5000

按样式进行分层抽样，在该天生产的杯子中抽取 100 个,其中有甲样式杯子 25 个. （I）求 z 的值； （II）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 5 的样本，从这个样本中任取 2 个杯子，求至少 有 1 个 500ml 杯子的概率．

（19） （本题满分 13 分） 在数列 {an } 中， S n 为其前 n 项和，满足 S n = kan + n 2 ? n ( k ∈ R , n ∈ N *) ． （I）若 k = 1 ，求数 列 {an } 的通项公式； （II）若数列 {an ? 2n ? 1} 为公比不为 1 的等比数列，求 S n ．

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（20） （本题满分 13 分） 设函数 f ( x ) = c ln x +

1 2 x + bx (b, c ∈ R, c ≠ 0) ，且 x = 1 为 f ( x ) 的极值点． 2

(Ⅰ) 若 x = 1 为 f ( x ) 的极大值点，求 f ( x ) 的单调区间（用 c 表示） ； (Ⅱ)若 f ( x ) = 0 恰有 1 解，求实数 c 的取值范围．

（21） （本小题满分 13 分） 已知圆 C1 的方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 1 ，定直线 l 的方程为 y = ?1 ．动圆 C 与圆 C1 外切，且与直线 l 相切． （ Ⅰ）求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程； （II）斜率为 k 的直线 l ' 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P，过点 P 作直线 l ' 的垂线恰好经过点 A（0，6） ， 并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q，记 S 为 ? POQ（O 为坐标原点）的面积，求 S 的值．

第四次周考数学文科参考答案

所以 f ( ) = 3 ，且 A +

A 2

π π = 2 kπ + , k ∈ Z 6 2

因为 A 为三角形内角，所以 0 < A < π ，所以 A = 由正弦定理得 b =
4 4 3 sin B ， c = 3 sin C ， 3 3

π ． 3

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综上，当

BC =

3 2 时，三棱锥 F-BDE 的体积为 3 ．————12 分

18． （本小题满分 12 分）

25 x = 解: （I）设该厂本月生产的乙样式的杯子为 n 个,在丙样式的杯子中抽取 x 个，由题意得, 5000 8000 ,
所以 x=40. -----------2 分

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当 n ≥ 2 时， an = S n ? S n ?1 = n 2 + n ? ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) = 2n 所以数列 {an } 的通项公式为 an = 2n(n ∈ N ? ) ． （II）当 n ≥ 2 时， an = S n ? S n ?1 = kan ? kan ?1 + 2n ? 2 ，

(k ? 1)an = kan ?1 ? 2n + 2 ， a1 = S1 = ka1 ，若 k = 1 ，则 an ? 2n ? 1 = ?1 ，
从而 {an ? 2n ? 1} 为公比为 1 的等比数列，不合题意； 若 k ≠ 1 ，则 a1 = 0 ， a2 =

4 ? 6k 2 ， a3 = 1? k (1 ? k ) 2

a1 ? 3 = ?3, a2 ? 5 =

5k ? 3 ?7k 2 + 8k ? 3 , a3 ? 7 = 1? k (k ? 1)2

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（II）若 c < 0 ，则 f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在 (1, +∞ ) 上递增

1 1 f ( x ) = 0 恰有 1 解,则 f (1) = 0 ，即 + b = 0 ,所以 c = ? ； 2 2 1 1 若 0 < c < 1 ，则 f极大 ( x ) = f (c ) = c ln c + c 2 + bc ， f极小 ( x ) = f (1) = + b 2 2
因为 b = ?1 ? c ，则 f极大 ( x) = c ln c +

c2 c2 + c(?1 ? c) = c ln c ? c ? < 0 2 2

1 f极小 ( x) = ? ? c ，从而 f ( x ) = 0 恰有一解； 2
若 c > 1 ，则 f极小 ( x) = c ln c +

c2 c2 + c(?1 ? c) = c ln c ? c ? < 0 2 2

1 f极大 ( x) = ? ? c ，从而 f ( x ) = 0 恰有一解； 2 1 所以所求 c 的范围为 0 < c < 1或c > 1或c = ? ． 2
21 ． 本 小 题 满 分 13 分 ） 解 （ Ⅰ ） 设 动 圆 圆 心 C 的 坐 标 为 ( x, y ) ， 动 圆 半 径 为 R ， 则 （

| CC1 |= x 2 + ( y ? 2) 2 = R + 1 ，且 | y + 1|= R
可得

————2 分

x 2 + ( y ? 2) 2 =| y + 1| +1 ．
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