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北京市房山区2013届高三上学期期末考试文科数学试题


房山区高三年级第一学期期末练习
数 学 (文科) 2013.01 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1.已知集合 M ? {1, 2,3}, N ? {x |1 ? x ? 4} ,则 A. M ? N 【答案】C 因为 M ? {1, 2,3}, N ? {x |1 ? x ? 4} ,所以 M ? N ? {2,3} ,选 C. B. N ? M C. M ? N ? {2,3} D. M ? N ? (1,4)

2. 设 a, b ? R , a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) (为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. 0 【答案】B B. 2 C. 3 D. 4

a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) ? 3 ? i ,所以 a ? 3, b ? ?1 ,所以 a ? b ? 3 ?1 ? 2 ,选 B.
3. 已知数列 {a n } ,那么“ an ?1 ? an ? 2(n ? N* ) ”是“数列 {an } 为等差数列”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

若 an ?1 ? an ? 2(n ? N* ) ,则数列 {an } 是公差为 2 的等差数列。如 {an } 为等差数列,公差不 一定是 2,所以“ an ?1 ? an ? 2(n ? N* ) ”是“数列 {an } 为等差数列”的充分而不必要条件。 选 A. 4. 设 a ? 0.3 2 , b ? 2 0.3 , c ? log 0.3 4 ,则 A. b ? a ? c 【答案】D B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. c ? a ? b

因为 0 ? 0.3 ? 1
2

,所以

0 ? a ?1



b ? 20.3 >1, c ? log 0.3 4 ? 0
第 1 页 共 15 页

,所以

c ? a ? b ,选 D.

5. 已知平面向量 a ,b 夹角为 A.

?
6

,且 a ? (a + b)=6 , a ? 3 ,则 b 等于 C.

? ?

?

3

B. 2 3

2 3 3

D. 2

【答案】C

因为 a ? (a + b)=6 ,所以 a ? a ? b ? 0 ,即 a ? a b cos

? ?

?

?2

? ?

?2

? ?

?

? 3 ? 6, ? 6 ,所以 3 ? 3 b ? 2 6

? 2 3 b? 解得 3 ,选 C.

6. 若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是 A. B.

3

9 3 2

C. 6 ? 3

D. 6 ? 2 3

【答案】D

由三视图可知,三棱柱的高为 1,底面正三角形的高为 3 ,所以正三角形的边长为 2,所 以三棱柱的侧面积为 2 ? 3 ?1 ? 6 ,两底面积为 2 ?

1 ? 2 ? 3 ? 2 3 ,所以表面积为 2

6 ? 2 3 ,选 D.
?2 x ? y ? ?1, ? x ? y ? 3, ? 7. 设变量 x, y 满足约束条件 ? 则目标函数 z ? 3 x ? y 的取值范围是 ? x ? 0, ? y ? 0, ?
A. [?3, 3] B. [?1, 9] C. [ ? 1 , 9] D. [ 2 , 7 ]

3

3 3

第 2 页 共 15 页

【答案】B 由 z ? 3 x ? y 得 y ? 3x ? z 。做出可行域 OBCD.平移直线 y ? 3x ? z ,由图象可知当

y ? 3x ? z 经过点 B(0,1) 时,直线截距最大,此时 z 最小为 z ? 3x ? y ? ?1 。当直线经过
点 D(3,0) 时,直线的截距最小,此时 z 最大为 z ? 3 x ? y ? 3 ? 3 ? 9 ,所以目标函数

z ? 3x ? y 的取值范围是 ?1 ? x ? 9 ,即 [?1, 9] ,选 B.

8. 对于函数 f (x) ,若在其定义域内存在两个实数 a, b(a ? b) ,使得当 x ? [a, b] 时, f (x) 的值域是 [a, b] ,则称函数 f (x) 为“ M 函数”. 给出下列四个函数 ① f ( x) ? x ? 1 ③ f ( x) ? 2 ? 2
x

② f ( x) ? ? x ? 1
2

④ f ( x) ?

x?

1 8

其中所有“ M 函数”的序号是 A. ①③ B. ②③ C. ②④ 【答案】D

D. ②③④

① 因 为 f ( x) ? x ? 1 , 单 调 递 增 , 所 以 当 x ? [a, b] , f (a ) ? f ( x) ? f (b) , 即

a ? 1 ? f ( x) ? b ? 1,值域为 [a ? 1, b ? 1] ,所以这样的 a, b 不存在,所以①不是“ M 函数” 。
②若 f ( x) ? ? x ? 1 ,则当 x ? [0,1] 时,函数的值域为 [0,1] ,所以②是“ M 函数” 。③因
2

为 f ( x) ? 2 ? 2 单 调 递 增 , 所 以 当 x ? [a, b] , f (a ) ? f ( x) ? f (b) , 即
x

第 3 页 共 15 页

2a ? 2 ? f ( x) ? 2b ? 2 , 值 域 为 [2a ? 2, 2b ? 2] , 由 2a ? 2 ? a , 2b ? 2 ? b , 即 2a ? 2 ? a , 2b ? 2 ? b ,由图象可知函数 y ? 2 x 与 y ? 2 ? x 有两个交点,所以③是“ M 函
f ( x) ? x ?
数” ④若 。

1 8 , 则 x ? 0 , 在 定 义 域 上 为 增 函 数 , 所 以 当 x ? [ a, b] ,

f (a) ? f ( x) ? f (b) , 即

1 1 1 1 a ? ? f ( x) ? b ? [ a? , b? ] 8 8 ,值域为 8 8 ,由

1 1 1 1 1 a ? ? a, b ? ? b a ? ? a, b ? ? b y? ?x 8 8 8 8 8 得 , 由图象可知 y ? x 与 有两个

交点,所以④是“ M 函数” 。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

所以选 D.

? x 2 ? 3x 9. 已知函数 f ( x) ? ? ?lg x
【答案】 ?2

x ? 5, x ? 5,

则 f ( f (10)) 的值为

.

f ( f (10)) ? f (lg10) ? f (1) ? 1 ? 3 ? ?2 .
10. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为 .

第 4 页 共 15 页

【答案】 4 第一次循环, n ? 1, S ? 1?1 ? 1 ? 2 ;第二次循环, n ? 2, S ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ;第三次循环, 此时满足条件, 输出 n ? 4 . n ? 3, S ? 3 ? 5 ? 1 ? 16 ;第四次循环, ? 4, S ? 4 ?16 ? 1 ? 65 , n

11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ?

?
3

, a ? 3 , b ? 1, 则 c ?



?ABC 的面积等于
【答案】 2,

.

3 2

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 3 ? 1 ? c ? 2c cos
2 2 2

2

?
3

,即 c ? c ? 2 ? 0 ,解得 c ? 2
2

或 c ? ?1 (舍去)。所以 S? ABC ?

1 1 ? 3 bc sin A ? ? 2 ?1? sin ? 。 2 2 3 2
, 若直线 y ? kx ? 2 与圆 A 有

12. 以点 A(1,0) 为圆心, 2 为半径的圆的方程为 以 公共点,那么 k 的取值范围是 【答案】 ( x ? 1) ? y ? 4,
2 2

.

4 (??, 0] ? [ , ??) 3
第 5 页 共 15 页

2 2 以点 A(1,0) 为圆心, 2 为半径的圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 4 若直线 y ? kx ? 2 与圆 A 以 。

有公共点,则圆心到直线的距离 d ? r ,即

k?2 k ?1
2

? 2 ,即 k ? 2 ? 2 k 2 ? 1 ,平方整理

得 3k ? 4k ? 0 ,解得 k ?
2

4 4 或 k ? 0 ,即 k 的取值范围是 (??, 0] ? [ , ??) 3 3 。

13. 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析每辆客车运营前

n (n ? N* ) 年的总利润 S n (单位:万元)与 n 之间的关系为 Sn ? ?(n ? 6) 2 ? 11 .当每辆客
车运营的年平均利润最大时, n 的值为 【答案】 5 .

由题意知年平均利润

Sn ?(n ? 6) 2 ? 11 ?n 2 ? 12n ? 25 25 ? ? ? 12 ? (n ? ) n n n n ,因为

n?

25 25 25 ? 2 n? ? 2 25 ? 10 n? n ? 5 时取等号。所以 ,当且仅当 n n n ,即

?(n ?

S 25 25 ) ? ?10 ,所以 n ? 12 ? (n ? ) ? 12 ? 10 ? 2 。 n n n

14. 已知 m ? 0 ,给出以下两个命题:
x 命题 p :函数 y ? m 在 R 上单调递减;

命题 q : ?x ? R ,不等式 x ? x ? 2m ? 1 恒成立. 若 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,则 m 的取值范围为 【答案】 (0, ] ? [1, ??) .

1 2
x

若函数 y ? m 在 R 上单调递减,则 0 ? m ? 1 ,即 p : 0 ? m ? 1 , ?p : m ? 1 。



f ( x ) ? x ? x ? 2m

不等式 x ? x ? 2m ? 1 恒成立,则有 f min ( x) ? 1 即可。则 ,则要使

?2 x ? 2m, x ? 2m f ( x ) ? x ? x ? 2m ? ? f ( x) ? 2m ,所以必有 2m ? 1 ,即 ,而函数 min ?2m, x ? 2m
m? 1 1 1 。所以 q : m ? , ?q : 0 ? m ? 。又 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,所以 p, q 2 2 2
第 6 页 共 15 页

1 1 ,此时 0 ? m ? 。若 q 真 p 假, 2 2 1 1 则 q : m ? , ?p : m ? 1 ,此时 m ? 1 ,综上 m 的取值范围为 0 ? m ? 或 m ? 1 ,即 2 2
一真一假。若 p 真 q 假,则 p : 0 ? m ? 1 , ?q : 0 ? m ?

1 (0, ] ? [1, ??) 2 。
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程. 15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域;

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

3 2 (Ⅱ)若 f (? ? ) ? ,求 cos ? 的值. 4 5

?

D1 A1 B1

C1

E

16. (本小题满分 14 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 ,

D

C

AB ? BC , E 为棱 BB1 上一点.
(Ⅰ)证明: AC ? D1 E ; (Ⅱ)是否存在一点 E ,使得 B1 D ∥平面 AEC ?若存在,求 理由.

A

B

B1 E 的值;若不存在,说明 BE

17. (本小题满分 13 分)某校从参加高三年级期中考试的学生中随机选取 40 名学生,并统 计了他们的政治成绩, 40 名学生的政治成绩全部在 40 分至 100 分之间, 这 现将成绩分成以 下 6 段:[40,50), [50, 60), [60, 70), [70,80), [80,90), [90,100] ,据此绘制了如图所示的频 率分布直方图. (Ⅰ)求成绩在 [80,90) 的学生人数; (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2
0.045 频率/组距

第 7 页 共 15 页 0.020 0.015 0.005 0 分数 40 50 60 70 80 90 100

名学生,求至少有 1 名学生成绩在 [90,100] 的概率.

18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? ax ? 20 (a ? 0) . 3

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 3 处取得极值 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)当 2b ? 1 ? a 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.
2

19. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 + =1 (a>b>0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a 2 b2

F1 (?4, 0) , F2 (4, 0) ,线段 OF1 , OF2 ( O 为坐标原点)的中点分别为 B1 , B2 ,上顶点为 A ,
且 ?AOB1 为等腰直角三角形. (Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 过 B1 点作直线交椭圆于 P, Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线的方程.

2 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a ( x ? R ) 同时满足:①函数 f ( x) 有且

只有一个零点;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立.设数列

{a n } 的前 n 项和 S n ? f (n) ( n ? N* ).
(Ⅰ) 求函数 f (x) 的表达式;
第 8 页 共 15 页

(Ⅱ) 求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ) 在各项均不为零的数列 {c n } 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的整数的个数称为数列 {c n } 的 变号数. 令 c n ? 1 ?

a ,求数列 {c n } 的变号数. an

房山区高三年级第一学期期末练习参考答案 数 学 (文科)
2013.01

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D
第 9 页 共 15 页

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?2 10. 4 11.

2,

3 2

12. ( x ? 1) ? y ? 4,
2 2

4 (??, 0] ? [ , ??) 3
14. (0, ] ? [1, ??)

13.

5

1 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x? ??????1 分 ??????3 分

? ? k? , k ? Z 2
{x | x ?

所以函数 f (x) 的定义域为 (Ⅱ) f ( x) ?

?
2

? k? , k ? Z }

?????4 分

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 cos x

=

2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 1 2 cos x
= sin x ? cos ?

?????8 分

2 sin( x ? ) 4

?

?????10 分

? ? 3 2 f (? ? ) ? 2 sin(? ? ) ? 4 2 5
所以 cos ? ? sin(? ?

? 3 )? 2 5

?????13 分

16. (本小题满分 14) (Ⅰ)证明:连接 BD ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,
A1 D1 B1 C1

∴ D1 D ? 平面 ABCD ,??????1 分 又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC ??????2 分
第 10 页 共 15 页
A D O B E C

在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC 又 BD ? D1 D ? D ?????3 分 ??????4 分

∴ AC ? 平面 BB1 D1 D ,??????5 分 而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D ??????6 分 ∴ AC ? D1 E ??????7 分

(Ⅱ)存在一点 E ,使得 B1 D ∥平面 AEC ,此时

B1 E ? 1 . ??????8 分 BE



B1 E ? 1 时, E 为 B1 B 中点 BE

设 BD 交 AC 于点 O ,则 O 为 BD 中点 连接 OE ,在三角形 BB1 D 中, OE ∥ B1 D ??????10 分 ??????13 分 ??????14 分

B1 D ? 平面 AEC , OE ? 平面 AEC
∴ B1 D ∥平面 AEC 17. (本小题满分 13)

(Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,

???????3 分

所以,40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 ? 0.1 ? 4 (人). ???????5 分 (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一名学生成 绩在区间 [90,100] 内” , 由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 2 人, 记这两个人分别为 e, f , 则选取学生的所有可能结果为: ???????7 分

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) , (d , e), (d , f ), (e, f )
第 11 页 共 15 页

基本事件数为 15,

???????9 分

事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
基本事件数为 9, 所以 P ( A) ? ???????11 分 ???????13 分

9 3 ? . 15 5

18. (本小题满分 13)

f '( x) ? ax 2 ? 2bx ? a
(Ⅰ)因 f ( x) 在 x ? 3 处有极值 2 ,所以有 ?

?????????1 分

? f '(3) ? 0 ?9a ? 6b ? a ? 0 即? ? f (3) ? 2 ?9a ? 9b ? 3a ? 20 ? 2
??????????3 分

解得 ?

?a ? 3 ?b ? ?4

????????5 分

经检验 a ? 3 , b ? ?4 符合题意 所以,当 f ( x) 在 x ? 3 处有极值 2 时, a ? 3 , b ? ?4 . (Ⅱ)因 2b ? 1 ? a 2 ,所以 f '( x) ? ax ? (1 ? a ) x ? a ? ( x ? a )(ax ? 1)
2 2

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? a , x ? ? ① 当 a ? 0 时, ?

1 a

????? ????7 分

1 ?a a

1 , a) 有 f '( x) ? 0 a 1 1 所以 f ( x) 的增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (? , a ) . ????10 分 a a 1 ② 当 a ? 0 时, ? ? a a 1 1 在 (??, a ) , (? , ??) 有 f '( x) ? 0 ;在 (a, ? ) 有 f '( x) ? 0 a a 1 1 所以 f ( x) 得增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (? , ??) . ????13 分 a a 1 1 综上所述, 当 a ? 0 时, f ( x) 得增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (? , a ) ; a a 1 1 当 a ? 0 时, f ( x) 得增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (? , ??) . a a
在 (??, ? ) , (a, ??) 有 f '( x) ? 0 ;在 (?
第 12 页 共 15 页

1 a

19. (本小题满分 14) (Ⅰ)由焦点坐标可得 c ? 4 又 B1 为 OF1 的中点, A 为上顶点, ?AOB1 为等腰直角三角形 所以 b ? OA ? OB1 ? 2 所以 a ? b ? c ? 20
2 2 2

????????2 分 ????????4 分

所以椭圆 C 标准方程为

x2 y 2 ? ?1 20 4

???????5 分

(Ⅱ)解法一:当直线与 x 轴垂直时,易知 PB2 , QB2 不垂直; 当直线与 x 轴不垂直时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2) ,
2 2 2 2

???6 分 ???7 分

代入椭圆方程整理得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 20 ? 0(? ? 0 恒成立)???8 分 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则

20k 2 20k 2 ? 20 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

???9 分

???? ? ???? ? B2 P ? ( x1 ? 2, y1 ) , B2Q( x2 ? 2, y2 ) ???? ???? ? ? B2 P?B2Q ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
= (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2k 2 ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? 4

(20k 2 ? 20)(1 ? k 2 ) 20k 2 (2k 2 ? 2) = ? ? 4(k 2 ? 1) 2 2 1 ? 5k 1 ? 5k
由 PB2 ? QB2 ,得 B2 P ?B2Q ? 0 即

???11 分

???? ???? ? ?

1 (20k 2 ? 20)(1 ? k 2 ) 20k 2 (2k 2 ? 2) ? ? 4(k 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ? ? ???13 分 2 2 2 1 ? 5k 1 ? 5k
???14 分

所以满足条件的直线有两条,其方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 2 ? 0 解法二:由题意可知 B1 (?2, 0) , B2 (2, 0) ,直线的斜率不为 0, 设直线的方程为 x ? my ? 2

??????6 分 ???????7 分

第 13 页 共 15 页

代入椭圆方程整理得 (m ? 5) y ? 4my ? 16 ? 0(? ? 0 恒成立)
2 2

???8 分

设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ?

4m 16 , y1 y2 ? ? 2 2 m ?5 m ?5

???????9 分

???? ? ???? ? B2 P ? ( x1 ? 2, y1 ) , B2Q( x2 ? 2, y2 )

???? ???? ? ? B2 P?B2Q ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
= (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 = (m ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16
2

=?

16(m 2 ? 1) 16m 2 ? 2 ? 16 m2 ? 5 m ?5
???????12 分

16m 2 ? 64 =? m2 ? 5
由 PB2 ? QB2 ,得 B2 P ?B2Q ? 0 即?

???? ???? ? ?

16m 2 ? 64 ,解得 m ? ?2 m2 ? 5
???14 分

所以满足条件的直线有两条,其方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 2 ? 0

20. (本小题满分 13) (Ⅰ)? f ( x) 有且只有一个零点,

?? ? a 2 ? 4a ? 0

解得 a ? 0, a ? 4
2

??????1 分

当 a ? 4 时,函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在(0,2) 上递减 故存在 0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x 在(0,??) 上递增
2

??????2 分

故不存在 0 ? x1 ? x 2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立 综上,得 a ? 4 , f ( x) ? x ? 4 x ? 4
2

??????3 分 ??????????4 分

第 14 页 共 15 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 S n ? n 2 ? 4n ? 4 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ??????5 分

? (n 2 ? 4n ? 4) ? [(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 4]
? 2n ? 5
????????????7 分 ??????????8 分

n ?1 ?1, ? an ? ? ?2n ? 5, n ? 2
n ?1 ??3, ? , cn ? ? 4 ?1 ? 2n ? 5 , n ? 2 ?

(Ⅲ)由题设得

??????9 分

? n ? 3时, c n ?1 ? c n ?

4 4 8 ? ? ? 0, 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)
????????????10 分

? n ? 3时, 数列{c n } 递增,

1 4 ? c 4 ? ? ? 0,由1 ? ? 0 ? n ? 5, 可知c 4 ? c5 ? 0, 3 2n ? 5
即 n ? 3 时,有且只有 1 个变号数; 又? c1 ? ?3, c 2 ? 5, c3 ? ?3, 即c1 ? c 2 ? 0, c 2 ? c3 ? 0 ∴此处变号数有 2 个; 综上得数列 {c n } 的变号数为 3. ??????????????????12 分 ??????13 分

第 15 页 共 15 页


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