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重庆一中2012-2013学年高二数学10月月考 理【会员独享】


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2012 年重庆一中高 2014 级高二上期定时练习 数 学 试 题 卷(理科)
一、选择题: (每题 5 分,共计 50 分) 1、两直线 mx ? 2 y ? 3 ? 0 与 mx? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 m 为 A、 ?2 B、2 C、-2 D、0 ( )

2、过椭圆

/>x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点 F 作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为( ) 4 3
B、 3 C、 2 3 D、

A、

3 4

8 3 3
( )

3、已知直线 m, n 互不重合,平面 ? , ? 互不重合,下列命题正确的是 A 、 m // ? , m // n, 则n // ? C、 m ? ?,n ? ? ,则m // n
2 2
2

B、 m ? ? , m ? n则n // ? D、 ? ? ? ? m, m // n, 则n // ?且n // ?
2

4、圆 x ? y ? 2 x ? m ? 0 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 1外切,则实数 m 的值为 A、35 5、椭圆 B、15 C、5 D、3





x2 y2 ? ? 1 上对两焦点张角为 900 的点有 16 12
B、2 个 C、1 个 D、0 个





A、4 个?

6、如果直线 l 将圆: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 平分,且不通过第三象限,那么 l 的斜率取值范围
2 2

是 A、[?





3 ,0 ] 2

B、(?? ,? )

3 2

C、[0,??)

D、(?? ,? ] ? [0,?? )

3 2

7 、 已 知 集 合 A ? ?( x, y) | 2x ? y ? 7 ? 0, x, y ? R? , B ? ?( x, y ) |

? ?

y ?5 ? ? a, x, y ? R ? , 若 x?a ?
( ) D、1 和 2

A ? B ? ? ,则实数 a 的值为
A、2 B、 -1 C、 1

用心 爱心 专心

-1-

8、已知 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,过 F 的弦 AB 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到 25 9
( B、 )

右准线的距离为 A、6

3 2

C、 3
2

D、

19 2
( )

9、一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的全面积(单位: cm )为 A、 8 ? 2 13 ? 13 2 B、 8 ? 13 2 ? 4 13 C、 8 ? 6 13 ? 4 2 D、 8 ? 4 13 ? 6 2
2 4 2
3

2
3

4

4
(单位: cm)

4

x2 y2 10、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为 B , F 为其右焦点,若 a b

?? ? ? AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( ?12 6 ?
A、 [ 3 ? 1,



6 ] 3

B、 [

2 ,1) 2

C、 [

2 3 , ] 2 2

D、 [

3 6 , ] 2 3

二、填空题: (每题 5 分,共计 25 分) 11、方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是 3?a 4

12、 P 分有向线段 P P2 的比为-2,则 P2 分有向线段 PP 所成的比为 1 1
2 2 13、点 P( x, y) 满足: x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的最短距离是 ________

14、已知正三棱锥 P ? ABC 底面的三个顶点 A、B、C 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上, 如果 VP?ABC ? 16 3 ,则球 O 的表面积是 15、 M 为椭圆 点

x2 y2 ? ? 1 上一点, 设点 M 到椭圆的右准线的距离为 d , 已知点 A(?1,2) , 9 5

则 3 AM ? 2d 的最大值为 三、解答题: (共计 75 分)
用心 爱心 专心 -2-

16、 (13 分)已知 l1 : 2 x ? y ? 6 ? 0 与 l 2 : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 。 (1)求与 l 2 相距为 2 的直线 l 的方程; (2)求 l1 与 l 2 的夹角的余弦值。

17、 (13 分) (1)求以 (2,?1) 为圆心且与直线 x ? y ? 5 相切的圆 C 的方程; (2)求过点 P (1,1) 的直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程。

18、 (13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边 长为 4 的菱形,且 ?BAD ? 60 , N 是 PB 的中点,过 A, D, N 的平面交 PC 于 M , E 是
0

AD 的中点。
(1)求证: BC ? 平面PEB; (2)求证: M 为 PC 的中点; (3)求四棱锥 M ? DEBC 的体积。

P

M D E A B

N

C

19、 (12 分) 已知 F1 , F2 为椭圆 C: 离为 2,且离心率为 (1)椭圆 C 的方程; (2)设点 A ? ?1, 2? ,若 P 是椭圆 C 上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)若 E 是椭圆 C 上的动点,求 EF ? EF2 的最大值和最小值。 1

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,椭圆上的点到 F2 的最近距 a2 b2

1 。 3

20、 (12 分)
用心 爱心 专心 -3-

在平面直角坐标系中, 设二次函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2x ? c( x ? R) 的图象与两坐标轴有三个交 点,经过这三个交点的圆记为 A 。 (1)求实数 c 的取值范围; (2)求圆 A 的方程; (3)问圆 A 是否经过某定点(其坐标与 c 无关)?请证明你的结论。

21、 (12 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1。 5 3

(1) 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上取一点 P,过点 P 且以椭圆 E 的焦点为焦点的椭圆中,求长 轴最短的椭圆 C 的方程; (2) 设 P, Q, R, N 都在椭圆 C 上,F 为右焦点, 已知 PF // FQ ,RF // FN 且 PF ? RF =0, 求四边形 PRQN 面积 S 的取值范围。

2012 年重庆一中高 2014 级高二上期定时练习(本部)
用心 爱心 专心

-4-

数学答案(理科) 2012.10 一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 D 10 A

二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11. (??, ?1) 12. 1 13.

2 ?1

14. 64?

15. 18 ? 3 5

三.解答题.(共 75 分) 16.解:(1)设 L : 3x ? 4 y ? m ? 0 ∵

| m ? (?6) | 3 ? (?4)
2

?2

∴ m ? 4 或 ?16

∴L 的方程为: 3x ? 4 y ? 4 =0 或 3x ? 4 y ? 16 ? 0 (2)直线 l1 与 l2 的法向量分别为 n1 ? (2,1), n2 ? (3, ?4) 设夹角为 ? , 则 cos ? ?

??

?? ?

| 2 ? 3 ? 1? (?4) | 22 ? 12 ? 32 ? (?4)2

?

2 5 25

17.(1)∵ r ?

| 2 ?1 ? 5 | 1 ?1
2 2

?2 2

∴圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 8
2 2

(2)当 CP⊥ l 时,弦长最短,
2 2 2 2 | | 此时,弦长 ? 2 r ? CP ? 2 8 ? [(2 ? 1) ? ( ?1 ? 1) ] ? 2 3

?1 ? 1 ? ?2 2 ?1 1 ∴ l : y ? 1 ? ( x ? 1) 2
∵ kCP ?

∴ kl ?

1 2

即: x ? 2 y ? 1 ? 0

18.(1)∵ABCD 为边长为 2 的菱形,且∠BAD=60°, E 为 AD 中点. ∴BE⊥AD 又∵△PAD 为正△ ∴PE⊥AD ∵PE∩BE=E ∴AD⊥平面 PBE ∵AD//BC ∴BC⊥平面 PBE (2)∵AD//BC, BC ? 平面 PBC, AD ? 平面 PBC ∴AD//平面 PBC 又∵平面 ADN∩平面 PBC=MN ∴AD//MN ∴MN//BC ∵N 为 PB 中点 ∴M 为 PC 中点 (3)V=6
用心 爱心 专心 -5-

?a ? c ? 2 ? 19.(1)由条件知 ? c 1 ?a ? 3 ?
∴椭圆 C:

得: c ? 1, a ? 3, 则 b ? 8
2

x2 y 2 ? ?1 9 8
∵M 为 PA 中点 ∴P (2 x ? 1, 2 y ? 2)

(2)设 M( x, y) ,

又∵点 P 在椭圆上 ∴

(2 x ? 1)2 (2 y ? 2) 2 ? ? 1 即为所求点 M 的轨迹方程. 9 8
2 2 x0 y0 ? ?1 9 8

(3)设 E ( x0 , y0 ) ,则有: ∵F1 (?1, 0) ,

F2(1,0)

2 2 ∴ EF ? EF2 ? (?1 ? x0 , ? y0 ) ? (1 ? x0 , ? y0 ) ? x0 ? y0 ?1 1
2 x0 1 2 ) ? 1 ? x0 ? 7 9 9

???? ???? ?

2 ? x0 ? 8(1 ?

2 ∵点 E 在椭圆上 ∴ 0 ? x0 ? 9



1 2 x0 ? 7 ? [7,8] 9
2 当 x0 ? 9 时,所求最大值为 8.

2 ∴当 x0 ? 0 时,所求最小值为 7.

20.解:(1)令 x ? 0 ,得抛物线与 y 轴的交点 (0, c ) 令 f ( x) ? 3x ? 2 x ? c ? 0
2

由题意知: c ? 0 且△>0 得c ?

1 且c ? 0 3
2 2

(2)设圆 A: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 令 y ? 0 得: x ? Dx ? F ? 0
2

这与 3x ? 2 x ? c ? 0 是同一个方程.
2

用心 爱心 专心

-6-

∴D= ?

2 c , F= 3 3
此方程有一个解 c .

令 x ? 0 得 y 2 ? Ey ? F ? 0 ∴ c ? EC ?
2

c 1 ? 0 得 E ? ?c ? 3 3 2 1 c 2 2 ∴圆 A: x ? y ? x ? (c ? ) y ? ? 0 3 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 (3)由 x ? y ? x ? (c ? ) y ? ? 0 得 ( x ? y ? x ? y ) ? c ? ( ? y ) ? 0 3 3 3 3 3 3

x2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0 由 1 ?y?0 3
1 3

得y?

1 2 , x ?0或 3 3

∴圆 A 必过定点 (0, ) 和 (0, )

2 3

21.(1)设左右焦点为 F1 , F2 ,则 F (? 2,0), F2 ( 2,0) 1 又设 F 关于 l 的对称点为 F ' ,则 F ' (?2, 2 ? 2) 1 1 1 当点 P 为 F ' F2 与 l 的交点时,长轴最短. 1 此时, 2a ?| F1 F2 |?
'

( 2 ? 2) 2 ? (0 ? 2 ? 2) 2 ? 2 3
∴b ?1
2

∴a ?3
2

∵c ? 2
2

∴椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1 3

(2)当 k 存在且 k ? 0 时: 设直线 PQ 方程为 y ? k ( x ? 2) 由?

? y ? k ( x ? 2) ?
2 ?x ? 3y ? 3 ?

联解得

(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2k 2 ? x ? 6k 2 ? 3 ? 0
x1 ? x2 ?
x1 ? x2 ?

6 2k 2 1 ? 3k 2

6k 2 ? 3 1 ? 3k 2
2 2

∵ | PQ |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
用心 爱心 专心 -7-

6 2k 2 6k 2 ? 3 ? 1? k 2 ? ( ) ? 4? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
? 2 3? k 2 ?1 3k 2 ? 1

1 (? ) 2 ? 1 1? k 2 k 同理, | RN |? 2 3 ? ? 2 3? 1 3? k2 3 ? (? ) 2 ? 1 k 1 ∴ S ? ? | PQ | ? | RN | 2
1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? ?12 ? 2 ? 2 2 3k ? 1 k ? 3

? 2?

8k 2 3k 4 ? 10k 2 ? 3

? 2?

8 1 3(k 2 ? 2 ) ? 10 k
∴ S ? [ , 2)

1 ? [2, ??) k2 当 k 不存在或 k ? 0 时,
∵k ?
2

3 2

1 2b2 S ? ? 2a ? 2 a
? 2b 2
?2
∴综上, S ? [ , 2]

3 2

用心 爱心 专心

-8-


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