当前位置:首页 >> 数学 >>

等比数列知识点、例题与练习


等比数列 知识梳理: 1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项:

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或

A ? ? ab
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两 个等比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为 1? q 1? q

常数) 5、等比数列的判定方法: (1) 用定义: 对任意的 n , 都有 an?1 ? qan或 为等比数列 (2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列
an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } an

6、等比数列的证明方法: 依据定义:若
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7、等比数列的性质: (1)当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q n ?1 ? 数的类指数函数,底数为公比 q ; ②前 n 项和 S n ?
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? a1q n a 1 a ? 1 qn ? A ? A ? Bn ? A ' Bn ? A ' , 1? q 1? q 1? q

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系 q

系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q 。 (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m ,特别的,当 m ? 1 时, 便得到等比数列的通项公式。 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3)若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N * ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时, 得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???
a k (4)数列 {an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { } ,{k ? an } ,{an k } ,{k ? an ? bn } ,{ n } bn an

( k 为非零常数)均为等比数列。 (5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N * ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍 为等比数列。 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列。 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列。 (8) 若 {an } 为等比数列, 则数列 a1 ? a2 ????? an ,an?1 ? an?2 ????? a2n ,a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列。

a1 ? 0,则{an }为递增数列 { (9)①当 q ? 1 时, a1 ? 0,则{an }为递减数列

②当 0<q ? 1时, {a1 ? 0,则{an }为递增数列

a1 ? 0,则{ an }为递减数列

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列。 (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时, 等比数列·例题解析 【例 1】 列{an}. A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 说明 数 列 {an} 成 等 比 数列 的 必要 条件 是 an ≠ 0(n ∈ N*) ,还 要 注
an 都为同一常数是其定义规定的准确含义. a n?1

S奇 1 ? S偶 q

已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数 ( )

意对任n∈N * ,n≥2 ,

【例 2】 已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2,求 x1·x2·x3·…·x2n.
1 ,求通项公 式;(2)已 2

【例3】 等比数列{a n }中, (1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =-

知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 【例 5】 (a-d)2. 【例 6】 求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0 设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=

说明

解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发

现{an+1}是等比数列,(2)中发现{an+1-an}是等比数列,这也是通常说 的化归思想的一种体现.

1 21 【例10】 设{a n }是等差数列,b n = ( ) a n ,已知b1 +b 2 +b 3 = , 2 8 1 b1 b 2 b 3 = ,求等差数列的通项. 8

【例 8】

已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0.

(1)设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x,y,z 成 等比数列. (2)设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列.

等比数列
一、选择题:
1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ①{an2}也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列 ③{ ( )

1 }也是等比数列 an

④{lnan}也是等比数列

A.4 B.3 C.2 D.1 2.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为





A.1

B.-

1 2

C.1 或-1

D.-1 或

1 2

3.若两数的等差中项为 6,等比中项为 5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( ) 2 2 A.x -6x+25=0 B.x +12x+25=0 C.x2+6x-25=0 D.x2-12x+25=0 4.已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3,前 15 项之和为 39,则该数列的前 10 项之 和为 ( ) A.3 2 B.3 13 C.12 D.15

5. 已知等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? 2 , 且 a1 ? a2 ? a3 ? 等于 ( A. 210 ) B. 2 20 C 216

那么 a3 ? a6 ? a9 ? ? a30 ? 230 ,

? a30

D. 215
( D.3 ___. )

6.等比数列的前 n 项和 Sn=k· 3n+1,则 k 的值为 A.全体实数 B.-1 C.1

二、填空题:
7.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则该数列的公比 q=___

8. 在等比数列 {an} 中, 已知 a4a7=-512, a3+a8=124, 且公比为整数, 求 a10=
2



9 . 数 列 { an } 中 , a1 ? 3 且 an?1 ? an (n 是 正 整 数 ) , 则 数 列 的 通 项 公 式

an ?
三、解答题:



10.已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1) 求证数列{an+1}是等比数列; (2) 求{an}的通项公式. 11.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q.

一、选择题: BCDC 二、填空题: 7、 三、解答题:
10.(1)证明: 由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1) 又 an+1≠0 ∴
n ?1 1? 5 .8、512 .9、 32 . 2

a n?1 ? 1 =2 an ? 1

即{an+1}为等比数列. - (2)解析: 由(1)知 an+1=(a1+1)qn 1

即 an=(a1+1)qn-1-1=2· 2n-1-1=2n-1.
11.解析:∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66, ∴a1、an 是方程 x2-66x+128=0 的两根,解方程得 x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. 若 a1=2,an=64,由 ∴q=2,由 an=a1qn
-1

a1 ? a n q =126 得 2-64q=126-126q, 1? q
得 2n 1=32, ∴n=6.


1 ,n=6. 2 1 综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或 . 2
若 a1=64,an=2,同理可求得 q=


相关文章:
等比数列知识点总结及练习(含答案)
等比数列知识点总结及练习(含答案) - 等比数列 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 ...
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版) - 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ...
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版) - 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ...
等比数列知识点总结与典型例题 (精华版)
等比数列知识点总结与典型例题 (精华版) - 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ...
等比数列知识点总结与典型例题2
等比数列知识点总结与典型例题2 - 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? ...
高中数学等比数列知识点全覆盖训练题
高中数学等比数列知识点全覆盖训练题_数学_高中教育_教育专区。高中数学等比数列知识点全覆盖训练题 1 1.等比数列{an}的公比 q=-,a1= 2,则数列{an}是( 4 ...
等比数列基础知识点+练习
等比数列基础知识点+练习 - 等比数列 复习资料题 数列专题(三) :等比数列 知识点 等比数列的基本概念和等差数列的区别与联系 1. 定义: 公比: 等比数列 an ?1...
等差等比数列知识点梳理及经典例题
等差等比数列知识点梳理及经典例题 - 数列知识点梳理及经典习题 出题人:李老师 A、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由 an 与 Sn 的关系求 an 由 Sn 求 ...
等比数列知识点并附例题及解析
等比数列知识点并附例题及解析 - 等比数列知识点并附例题及解析 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? ...
高二数学等比数列知识点总结与经典习题
高二数学等比数列知识点总结与经典习题 - 等比数列 一.知识点梳理: 1、等比数列的概念、有关公式和性质: (1)定义: {an }为等比数列 ? n ?1 an ?1 ? q...
更多相关标签: