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空间直线与平面的位置关系2


课题名称 同步教学知识内容 教学目标 个性化学习问题解决

空间直线与平面的位置关系 必修二第二、三章 熟练运用空间直线与平面之间的证明定理

教学重点 能运用空间几何的各种定理及推论证明; 教学难点 二面角的证明和计算; 教学内容 【回顾与训练】 1、基本概念 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平

面 内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理 3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相 等。 2、空间两直线的位置关系: 空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面: 平行、 相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面 直线。

两异面直线所成的角:范围为 ( 0° ,90°) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点—— 平行或异面 3、直线和平面的位置关系: ①直线在平面内——有无数个公共点 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的 角为 0° 角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0° ,90° ] 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也与这条斜线垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线 a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说 esp.直线和平面垂直 直线 a 和平面 互相垂直.直线 a 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 a 的垂面。 直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行——没有公共点 个平面平行。 直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这 直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线和交线平行。 4、两个平面的位置关系: (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系: a、平行 两个平面平行-----没有公共点; 两个平面相交-----有一条公共直线。 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行。 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。 b、相交 二面角 (1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。 (2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范 围为 [0° ,180° ] (3) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (4) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记 两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂 直 于另一个平面。 【巩固训练】 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1、线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 与平面 ? 的位置关系是 A、 AB ? ? B、 AB ? ? C、由线段 AB 的长短而定 D、以上都不对

2、下列说法正确的是 A、三点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 B、四边形一定是平面图形 D、平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点

3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能

4、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是 A、 AC 1 1 ? AD B、 D1C1 ? AB C、 AC1 与 DC 成 45? 角
? D、 AC 1 1与B 1C 成 60 角

5、若直线 l //平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 A、 l // ? B、 l 与 a 异面 C、 l 与 a 相交 D、 l 与 a 没有公共点

6、下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; ( 2) 、平行于同一平面的两个平面 平行; (3) 、垂直于同一直线的两直线平行; (4) 、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确 的个数有 A、1 B、2 C、3 D、4

7 、 在 空 间 四 边 形 ABCD 各 边 AB、BC、CD、DA 上 分 别 取 E、F、G、H 四 点 , 如 果 与
EF、GH 能相交于点 P ,那么

A、点必 P 在直线 AC 上 C、点 P 必在平面 ABC 内

B、点 P 必在直线 BD 上 D、点 P 必在平面 ABC 外

8、a,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;② 若 b ? M,a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中正 确命题的个数有( A、0 个 ) B、1 个 C、2 个 D、3 个

9、已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? , ? 内一点 C 到 ? 的距离为 3,点 C 到棱 AB 的

距离为 4,那么 tan ? 的值等于 A、
3 4

B、

3 5

C、

7 7

D、

3 7 7

10、如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为 A、
V 2
A' P B' Q A C B C'

B、

V 3

C、

V 4

D、

V 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分); 11、设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则下列命题成立的是 ;

(1)a ? b, a ? ? , b ? ? 则b // ? ; (2)a // ? , ? ? ? 则a ? ? ; (3)? ? ? , a ? ? 则a // ? ; (4)a ? b, a ? ? , b ? ? 则? ? ?
12、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为 ;

13 、已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC ? BD ,平行则四边形 ABCD 一定 是 ;
B1 C1 A1 D1

14、如图,在直四棱柱 A1B1C1 D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条 件_________时,有 A1 B⊥ B1 D1 . (注:填上你认为正确的一种条件即 可,不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)

D A B

C

15、已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且EH∥F

G.
求证:EH∥BD. (12 分)

A E B F H D G C


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