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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.3


第三节 函数的奇偶性与周期性

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)函数的奇偶性: 奇函数 定 义 定 义 域 偶函数

原点 对称 函数f(x)的定义域关于_____ 任意 一个x 对于定义域内的_____

x

奇函数 f(x) 与 f(-x) 的 关 系 结论 图像性质

偶函数

定 义

f(-x)=-f(x) 都有____________

f(-x)=f(x) 都有___________

函数f(x)为奇函数 原点 对称 关于_____

函数f(x)为偶函数 y轴 对称 关于____

(2)周期性:

①周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义
f(x+T)=f(x) 那么就称函数y=f(x)为周期函数, 域内的任意x,都有____________, 称T为这个函数的周期. 最小 的 ②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____ 正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)函数奇偶性常用结论:
①如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇 ×偶=奇.

(2)函数周期性常用结论:

对f(x)定义域内任一自变量的值x:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0); ②若f(x+a)=
1 ,则T=2a(a>0); f ?x? f ?x?

③若f(x+a)= ? 1

,则T=2a(a>0).

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:判断函数奇偶性的方法,求函数周期的方法.

(2)数学思想:数形结合,分类讨论、化归转化.

【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原
点对称的. ( ) ( )

(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.

(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.

(
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. (

)

)

【解析】(1)正确.根据函数奇偶性的定义,f(x),f(-x)必须同时有意
义,故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称,但定义域关

于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性.
(2)错误.若函数f(x)在点x=0处没有定义,如f(x)= 1 ,则f(0)不存在.
x

(3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于直线x=a 对称.

(4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x)关于点 (b,0)中心对称. 答案:(1)√ (2)〓 (3)√ (4)√

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修1·P51B组T2改编)若二次函数f(x)=2x2+bx+1是偶函数,则 f(x)在 上是增加的.

【解析】因为f(x)=2x2+bx+1是偶函数,所以b=0,因此f(x)=2x2+1在 (0,+∞)上是增加的. 答案:(0,+∞)

(2)(必修1·P50动手实践改编)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若

当x∈(0,+∞)时,函数f(x)的图像如图所示,则满足f(x)>0的x的取值
范围是 .

【解析】如图所示,

由f(x)为奇函数知:f(x)>0的x的取值范围为(-1,0)∪(1,+≦). 答案:(-1,0)∪(1,+≦)

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·湖南高考改编)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0) 上递增的是 A.f(x)= 1 C.f(x)=x3
x2

(

) B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2-x

【解析】选A. 选项 具体分析 幂函数f(x)=x-2是偶函数,且在区 间(-≦,0)上是增函数 二次函数f(x)=x2+1是偶函数,且 在区间(-≦,0)上是减函数 幂函数f(x)=x3是奇函数,且在区 间(-≦,0)上是增函数 指数函数f(x)=2-x= D 函数 偶函数,且在区间(-≦,0)上是减
1 ( ) x 是非奇非 2

结论

A
B C

正确
错误 错误

错误

(2)(2015·合肥模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x),若当x∈[0,1)时,f(x)=2x2 ,则 f(log 1 4 2) 的值为
2

(

)

A.0

B.1

C. 2

D.-

2

【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以
5 5 f(log 1 4 2) ? f( ? log 2 2 ) ? f( ? ) ? ?f( ), 2 2 2
1 5 1 又f(x+2)=f(x),所以 f( ) ? f( ) ? 2 2 ? 2 ? 0,所以 f(log 4 2) =0, 1 2 2 2
5 2

故选A.

(3)(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是减 少的,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 .

【解析】由题可知,当-2<x<2时,f(x)>0,f(x-1)的图像是由f(x)的图 像向右平移一个单位得到的,若f(x-1)>0,则-1<x<3. 答案:(-1,3)

考点1

函数奇偶性的判断 ( )

【典例1】(1)(2014·广东高考)下列函数为奇函数的是 A.f(x)=2x- 1x
2

B.f(x)=x3sinx D.f(x)=x2+2x

C.f(x)=2cosx+1

(2)判断下列函数的奇偶性 ①f(x)=|x+1|-|x-1|; ②f(x)=
9 ? x 2 ? x 2 ? 9;

2 1 ? x ③f(x)= ; x?2 ?2

④f(x)=(x-1) 1 ? x ,x∈(-1,1).
1? x

【解题提示】(1)奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).当在原点处有 定义时,f(0)=0. (2)先求出定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域内,解析式带 绝对值号的先化简,计算f(-x),再判断f(-x)与f(x)之间的关系.

【规范解答】(1)选A.几个函数的定义域都关于原点对称,在原点处有
定义,故应满足f(0)=0,此时f(x)=2cosx+1和f(x)=x2+2x不符合题意;

又f(x)=2x- 1x 满足f(-x)=-f(x),但x3sinx满足f(-x)=f(x),所以只有
f(x)=2x- 1x 是奇函数.
2 2

(2)①函数的定义域x∈(-≦,+≦),关于原点对称.

因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.
? 9 ? x 2 ? 0, ? ②由 ? 得x=〒3. 2 ? ? x ? 9 ? 0,

所以f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称.

又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.
即f(x)=〒f(-x).

所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.

③去掉绝对值符号,根据定义判断.
? 1 ? x 2 ? 0, ??1 ? x ? 1, ? 由? 得 ? ? x ? 0且x ? ?4. ? ? x ? 2 ? 2 ? 0,

故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2>0.从而有
f(x)= 1 ? x ? 1 ? x ,这时有f(-x)= x?2?2 x
2 2

1 ? ? ?x ? ?x

2

1 ? x 2 =-f(x), ?? x

故f(x)是奇函数.

④已知f(x)的定义域为(-1,1),

其定义域关于原点对称.
因为f(x)= ? x ? 1? 1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ?,
1? x

所以f(-x)= ? ?1 ? x ??1 ? x ? =f(x). 即f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数.

【易错警示】解答本题(2)有三点容易出错: (1)忽视函数的定义域. (2)对函数奇偶性概念把握不准. (3)存在既是奇函数,又是偶函数的情形,对②不知如何判断.

【互动探究】本例(2)④题中若将条件“x∈(-1,1)”去掉,函数的奇 偶性如何? 【解析】要使f(x)有意义,则 1 ? x ≥0,解得-1≤x<1,显然f(x)的定
1? x

义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

【规律方法】判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法:

(2)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(y轴)对称.

【变式训练】下列函数:

①f(x)=x3-x;
②f(x)=ln(x+
x 2 ? 1 );

x ?x a ? a ③f(x)= x ? x (a>0且a≠1); a ?a ④f(x)= lg 1 ? x ; 1? x

? x ?1 ? x ? , x ? 0, ⑤f(x)= ? ?

? ?? x ?1 ? x ? , x ? 0,

其中有

个奇函数.

【解析】①f(x)=x3-x的定义域为R,

又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),
所以f(x)=x3-x是奇函数.

②由x+

x 2 ? 1 >x+|x|≥0知f(x)=ln(x+

x 2 ? 1 )的定义域为R,

又f(-x)= ln( ? x ?

? ?x ?

2

? 1) ? ln

1 x ? x2 ?1

= -ln(x+

x 2 ? 1 )=-f(x),

所以f(x)为奇函数.

?x x a ? a ③f(x)定义域为R,且f(-x)= ? x x =-f(x), a ?a

所以f(x)为奇函数. ④由 1 ? x >0得-1<x<1,
1? x f(x)=lg 1 ? x 的定义域为(-1,1), 1? x

又f(-x)= lg 1 ? x ? lg( 1 ? x ) ?1 ? ?lg 1 ? x ? ?f ? x ?,
1? x 1? x 1? x

所以f(x)为奇函数.

⑤函数f(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),其关于原点对称,并且有

当x>0时,-x<0,
f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x)=f(x),

当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=f(x),

所以函数f(x)为偶函数.所以①②③④⑤中共有4个奇函数.
答案:4

x ?1, x ? Q, e 【加固训练】1.设Q为有理数集,函数f(x)= ? g(x)= x ? 1 , e ?1 ??1, x ? ?R Q,

则函数h(x)=f(x)·g(x) (
A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

)

【解析】选A.因为当x∈Q时,-x∈Q,

所以f(-x)=f(x)=1;当x∈?RQ时,-x∈?RQ,
所以f(-x)=f(x)=-1. 综上,对任意x∈R,都有f(-x)=f(x), 故函数f(x)为偶函数.

e? x ? 1 1 ? e x ex ? 1 因为g(-x)= ? x ? ?? ? ?g ? x ?, e ? 1 1 ? ex 1 ? ex

所以函数g(x)为奇函数. 所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·[-g(x)] =-f(x)g(x)=-h(x), 所以函数h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.
e?1 ? 1 1 ? e e ?1 所以h(1)=f(1)·g(1)= ,h(-1)=f(-1)·g(-1)=1〓 ?1 ? , e ?1 1? e e ?1

h(-1)≠h(1), 所以函数h(x)不是偶函数.

2.(2014·六盘水模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都

是奇函数,则

(

)
B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数

A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2)

【解析】选D.f(x+1)是奇函数,

则有f(-x+1)=-f(x+1); ①
f(x-1)是奇函数,则有f(-x-1)=-f(x-1); ② 在①式中用x+1代替x,则有f[-(x+1)+1]=-f[(x+1)+1],即f(-x)= -f(x+2);

在②式中用x-1代替x,则有f[-(x-1)-1]=-f[(x-1)-1],即f(-x)=

-f(x-2),
则f(x-2)=f(x+2),可知周期为4, 则f(x-1)=f(x+3),f(-x-1)=f(-x+3). 由②式:f(-x-1)=-f(x-1),可得f(-x+3)=-f(x+3), 所以f(x+3)是奇函数.

考点2

函数周期性及其应用

【典例2】(1)(2015·延安模拟)函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)
是偶函数,f(1-x)=f(1+x),若f(0.5)=9,则f(8.5)等于 ( A.-9 B.9 C.-3 D.0 )

(2)(2014·四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈
??4x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, [-1,1)时,f(x)= ? 则 f( 3 ) = 2 ? x,0 ? x ? 1,

.

【解题提示】(1)根据函数f(x)的奇偶性及f(1-x)=f(1+x)求出f(x)

的周期,再求f(8.5)的值.
(2)利用周期得 f( 3 ) ? f (? 1 ), 再求值即得.
2 2

【规范解答】(1)选B.因为f(1-x)=f(1+x),

即f(x)=f(2-x).
又因为f(-x)=f(x),故f(-x)=f(2-x),

即f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为2,
所以f(8.5)=f(0.5)=9.

(2)因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数,
所以 f ( 3 ) ? f (? 1 ) ? ?4 ? (? 1 ) 2 ? 2 ? 1.
2 2 2

答案:1

【规律方法】函数周期性的判定与应用

(1)判定:判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数
是周期函数,且周期为T. (2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体 性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z 且k≠0)也是函数的周期.

【变式训练】(2015·合肥模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并

且f(x+2)= ? 1

f ?x?

,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=

.

【解析】由已知,可得f(x+4)=f((x+2)+2)
?? 1 1 ?? ? f ? x ?. 1 f ? x ? 2? ? f ?x?

故函数的周期为4.

所以f(105.5)=f(4〓27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).

因为2.5∈[2,3],由题意,得f(2.5)=2.5.
所以f(105.5)=2.5. 答案:2.5

【加固训练】1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足

f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于 (
A.-1 B.1 C.-2

)
D.2

【解析】选A.由f(x)是R上周期为5的奇函数知 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, 所以f(3)-f(4)=-1.

2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x +2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2015)等于( A.335 B.336 C.1 678 D.2 012 )

【解析】选B.因为f(x+6)=f(x),

所以f(x)是以6为周期的函数.
因为当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;

当-1≤x<3时,f(x)=x, 所以f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)= -1,f(6)=f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+?+f(6)=1, 所以f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12)=?=f(2005)+f(2006) +?+f(2010)=1, 所以f(1)+f(2)+?+f(2010)=1〓 2 010 =335.
6

而f(2011)+f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1.
所以f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2015)=335+1=336.

3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)·f(x)=1对于x∈R恒成立,且

f(x)>0,则f(119)=
【解析】因为f(x+2)= 1 所以f(x+4)=f(x+2+2)=
f ?x?

.
,

1 =f(x), f ? x ? 2?

所以f(x)为周期函数,且周期为4,

又因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),

所以f(119)=f(29〓4+3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1),
又因为f(-1+2)=
1 , f ? ?1?

所以f(1)·f(-1)=1即f2(1)=1,因为f(x)>0, 所以f(1)=1,所以f(119)=1. 答案:1

考点3

函数奇偶性的应用

知·考情
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中 常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周 期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、 填空题形式出现.

明·角度

命题角度1:已知函数的奇偶性求函数的值
【典例3】(2014·湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函 数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= ( A.-3 B.-1 C.1 D.3 )

【解题提示】由奇函数和偶函数的定义,把x=-1代入即可.

【规范解答】选C.把x=-1代入已知,得f(-1)-g(-1)=1,所以f(1)+g(1)
=1.

命题角度2:利用奇函数、偶函数图像的对称性

【典例4】(2015·杭州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数
g(x),当x<0时,f(x)=- 1 ,当x≥0时,g(x)=2x,则f(x)和g(x)图像的公
x

共点在

(

) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

【解题提示】根据奇函数、偶函数图像的对称性分别作出 f(x)与g(x) 的图像,数形结合求解.

【规范解答】选B.根据奇函数、偶函数图像的对称性分别作出 f(x)与

g(x)的图像如图所示,

由图像知公共点在第二象限.

命题角度3:已知函数的奇偶性,求参数

【典例5】(2014·湖南高考)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则
a= .

【解题提示】利用偶函数的定义求解.

【规范解答】方法一:由偶函数的定义得f(-x)=f(x),

即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,-3x=2ax,
a= - 3 .
2

方法二:因为函数f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1), 即ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a,
?3 e 即2a= ln 3 ? 1 =ln e-3=-3,所以a= ? 3 . 2 e ?1 答案: ? 3 2

悟·技法

函数奇偶性的应用及解题思路
(1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区 间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值:常常利用待定系数 法,利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或方程求解.

(3)应用奇偶性画图像和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间

上的图像及判断另一区间上的单调性.

通·一类

1.(2015·九江模拟)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)
=2,f(1)+g(-1)=4.则g(1)等于 ( A.4 B.3 C.2 ) D.1

??f ?1? ? g ?1? ? 2, 【解析】选B.由已知条件变形得 ? 解得g(1)=3. ? ? ?f ?1? ? g ?1? ? 4,

2.(2015·西安模拟)设f(x)= lg( 2 ? a) 是奇函数且在原点处有定义,
1? x

则使f(x)<0的x的取值范围是
A.(-1,0) C.(-∞,0)

(

)

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

【解析】选A.因为函数f(x)= lg( 2 ? a) 为奇函数,且在x=0处有定义,
1? x

故f(0)=0,即lg(2+a)=0,所以a=-1.
故函数f(x)= lg( 2 ? 1) ? lg 1 ? x .
1? x 1? x

令f(x)<0,得0< 1 ? x <1,解得-1<x<0,
1? x

即x∈(-1,0).

3.(2015·烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意

的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数
y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是 ( A.0 C.- 1 或- 1
4 2

)

B.0 或-

1 2 D.0或- 1 4

【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2.

又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图像如图.
显然a=0时,y=x与y=f(x)在[0,2]内恰有两个不同的公共点.

另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题

意知y′=(x2)′=2x=1,所以x= 1 .
2

所以A ( 1 , 1 ),又A点在y=x+a上,所以a= ? 1 , 综上可知a=0或 ? 1 .
4 2 4 4

巧思妙解1

妙用奇偶性求函数中的参数值
x 为奇函数,则 ? 2x ? 1?? x ? a ?

【典例】(2015·金华模拟)若函数f(x)= a=
A. 1 2

(

)
B. 2 3 C. 3 4 D.1

【常规解法】选A.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),

因为f(x)=
所以

x x ? 2 , ? 2x ? 1?? x ? a ? 2x ? ?1 ? 2a ? x ? a

?x ?x ? , 2 2 2x ? ?1 ? 2a ? x ? a 2x ? ?1 ? 2a ? x ? a 所以-(1-2a)=1-2a,所以1-2a=0,所以a= 1 . 2

【巧妙解法】选A.方法一:由已知f(x)为奇函数,

得f(-1)=-f(1),

?1 ?1 ? , ? ?2 ? 1?? ?1 ? a ? ? 2 ? 1??1 ? a ?
2

所以a+1=3(1-a),解得a= 1 .

方法二:因为f(x)的分子是奇函数,

所以要使f(x)为奇函数,
则它的分母必为偶函数, 所以1-2a=0,所以a= 1 .
2

方法三:因为f(x)为奇函数,且 ? 1

2

不在f(x)的定义域内, 故 1 也不在f(x)的定义域内, 所以 1 -a=0,所以a= 1 .
2 2 2

【方法指导】利用函数的奇偶性求参数的思路:利用函数的奇偶性的

定义转化为f(-x)=±f(x),建立方程,使问题得到解决,但是在解决选
择题、填空题时还显得比较麻烦,为了使解题更快,可采用特殊值法求 解.

x ? 2 【类题试解】(2015·济南模拟)已知定义域为R的函数f(x)= x ?1 ? b 2 ?a

是奇函数,则a=

,b=

.

【常规解法】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
x x ? 2 ? b ? 2 ?b 又f(x)= ? , x ?1 x 2 ?a 2 2 ?a ?x x ? 2 ? b ? 2 ?b 所以= ? ? , ?x x 2 2 ?a 2 2 ?a x x b 2 ? 1 2 ?b 即 ? , x x a 2 ?2 2 2 ?a

左、右对照得a=2,b=1. 答案:2 1

1 ? ?1 【巧妙解法】由f(0)=0,得b=1,再由f(-1)=-f(1),得 2 ? ? ?2 ? 1, 1? a 4?a

解得a=2.

答案:2

1


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