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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练57 曲线与方程 理 北师大版


计时双基练五十七

曲线与方程

A 组 基础必做 1.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则动点 P 的轨迹是 ( ) A.直线 C.椭圆 解析 设 P(x,y),则 ?x+2? +y =2 ?x-1? +y , 整理得 x +y -4x=0, 又 D +E -4F=16>0,所以动点 P 的轨迹是圆。 答案 B → 2.(2016·珠海模拟)已知点 A(1,0), 直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上的一点,若RA → =AP,则点 P 的轨迹方程为( A.y=-2x C.y=2x-8 ) B.y=2x D.y=2x+4
2 2 2 2 2 2 2 2

B.圆 D.双曲线

→ → 解析 设 P(x,y),R(x1,y1),由RA=AP知,点 A 是线段 RP 的中点,

x+x ? ? 2 =1, ∴? y+y ? ? 2 =0,
1 1

即?

? ?x1=2-x, ?y1=-y。 ?

∵点 R(x1,y1)在直线 y=2x-4 上, ∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即 y=2x。 答案 B 3.(2016·南昌模拟)已知 A(-2,0),B(1,0)两点,动点 P 不在 x 轴上,且满足∠APO =∠BPO ,其中 O 为原点,则 P 点的轨迹方程是( A.(x+2) +y =4(y≠0) C.(x-2) +y =4(y≠0)
2 2 2 2

) B.(x+1) +y =1(y≠0) D.(x-1) +y =1(y≠0)
2 2 2 2

解析 由∠APO=∠BOP 得点 O 在∠APB 的平分线上。由角平分线定理得|PA|∶|PB|= |AO|∶|OB|=2∶1,设点 P(x,y),则利用关系式可知 2) +y =4(y≠0)。 答案 C 4.(2016·长春模拟)设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆
1
2 2 2 2

?x+2? +y ?x-1? +y
2

2

2 2

=2。化简可得(x-

周上任一点。线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( A. C. 4x 4y - =1 21 25 4x 4y - =1 25 21
2 2 2 2

)

B. D.

4x 4y + =1 21 25 4x 4y + =1 25 21
2 2

2

2

解析 ∵M 为 AQ 垂直平分线上一点, 则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ| 5 21 4x 4y 2 2 2 =5,故 M 的轨迹为椭圆。∴a= ,c=1,则 b =a -c = ,∴椭圆的方程为 + =1。 2 4 25 21
2 2

答案 D 5. (2016·安庆模拟)平面直角坐标系中, 已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足 O C → → =λ 1OA+λ 2OB(O 为原点),其中 λ 1,λ 2∈R,且 λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 C.圆 B.椭圆 D.双曲线 )



→ → → 解析 设 C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3), → → → 因为OC=λ 1OA+λ 2OB, 所以?
?x=3λ 1-λ 2, ? ? ?y=λ 1+3λ 2,

又 λ 1+λ 2=1,所以 x+2y-5=0,表示一条直线。 答案 A 6. (2016·洛阳模拟)设过点 P(x, y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,

B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点。若BP=2PA,且OQ·AB=1,则点 P 的轨
迹方程是( )





→ →

3 2 2 A. x +3y =1(x>0,y>0) 2 3 2 2 B. x -3y =1(x>0,y>0) 2 3 2 2 C.3x - y =1(x>0,y>0) 2 3 2 2 D.3x + y =1(x>0,y>0) 2
2

→ → 解析 设 A(a,0),B(0,b),a>0,b>0。由BP=2PA,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即

a= x>0,b=3y>0。
→ → 点 Q(-x,y),故由OQ·AB=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即 ax+by=1。将 a,b 3 2 2 代入 ax+by=1 得所求的轨迹方程为 x +3y =1(x>0,y>0)。 2 答案 A 7.直线 +

3 2

x y =1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是________。 a 2-a x y

解析 直线 + =1 与 x,y 轴的交点为 A(a,0),B(0,2-a),设 AB 的中点为 M(x, a 2-a

a a y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1。∵a≠0 且 a≠2,∴x≠0 且 x≠1。
2 2 答案 x+y=1(x≠0 且 x≠1) 9 8.设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a>0),则点 P 的

a

轨迹是________。 9 解析 ∵a+ ≥2

a

a· =6。 a

9

9 当 a=3 时,a+ =6,此时|PF1|+|PF2|=|F1F2|,

a

P 点的轨迹为线段 F1F2;
当 a≠3,a>0 时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|。 由椭圆定义知 P 点的轨迹为椭圆。 答案 椭圆或线段

x2 y2 9.P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,有一动点 a b Q 满足OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________。
→ 解析 作 P 关于 O 的对称点 M,连接 F1M,F2M,则四边形 F1PF2M 为平行四边形,所以PF1 1→ → → → → → → → → +PF2=PM=2PO=-2OP,又OQ=PF1+PF2,所以OP=- OQ。 2 → → →

3

y? → ? x 设 Q(x,y),则OP=?- ,- ?, 2? ? 2

? ? 即 P 点坐标为?- ,- ?, 又 P 在椭圆上, 2? ? 2
x y

则有 答案

?-x?2 ?-y?2 ? 2? ? 2? ? ? ? ?
a
2



b

2

=1,即

x2 y2 2+ 2=1。 4a 4b

x2 y2 2+ 2=1 4a 4b
2 2 2 2

10.已知圆 C 与两圆 x +(y+4) =1,x +(y-2) =1 外切,圆 C 的圆心轨迹方程为 L, 设 L 上的点与点 M(x,y)的距离的最小值为 m,点 F(0,1)与点 M(x,y)的距离为 n。 (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)求满足条件 m=n 的点 M 的轨迹 Q 的方程。 解 (1)两圆半径都为 1,两圆圆心分别 C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,

可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,C1C2 的中点为(0,-1),直线 C1C2 的斜率不存 在,故圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,其方程为 y=-1,即圆 C 的圆心轨迹 L 的 方程为 y=-1。 (2)因为 m=n,所以 M(x,y)到直线 y=-1 的距离与到点 F(0,1)的距离相等,故点 M 的轨迹 Q 是以 y=-1 为准线,点 F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而 =1,即 p=2, 2 所以,轨迹 Q 的方程是 x =4y。 11.如图所示,动圆 C1:x +y =t (1<t<3)与椭圆 C2: +y =1 相交于 A,B,C,D 四 9 点,点 A1,A2 分别为 C2 的左、右顶点。
2 2 2 2

p

x2

2

(1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程。 解 (1)设 A(x0,y0),则矩形 ABCD 的面积 S=4|x0y0|,由 +y0=1,得 y0=1- , 9 9
2

x2 0

2

2

x2 0

x0? 1? 2 9?2 9 2 2 2? 从而 x0y0=x0?1- ?=- ?x0- ? + 。 2? 4 9? ? 9?
9 2 1 2 当 x0= ,y0= 时,S 取得最大值 6, 2 2 从而 t =x0+y0=5,t= 5, ∴当 t= 5时,矩形 ABCD 的面积取得最大值 6。
4
2 2 2

(2)由椭圆 C2: +y =1,知 A1(-3,0),A2(3,0)。 9 由曲线的对称性及 A(x0,y0), 得 B(x0,-y0)。 设点 M 的坐标为(x,y), 直线 AA1 的方程为 y=

x2

2

y0

x0+3

(x+3),①

直线 A2B 的方程为 y=
2 2

-y0 (x-3),② x0-3

-y0 2 由①②得 y = 2 (x -9)。③ x0-9 又点 A(x0,y0)在椭圆 C2 上,故 y0=1- 。④ 9 将④代入③得 -y =1(x<-3,y<0), 9 因此点 M 的轨迹方程为 -y =1(x<-3,y<0)。 9 B 组 培优演练 1.已知定点 P(x0,y0)不在直线 l:f(x,y)=0 上,则方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表 示一条( )
2

x2 0

x2

2

x2

2

A.过点 P 且平行于 l 的直线 B.过点 P 且垂直于 l 的直线 C.不过点 P 但平行于 l 的直线 D.不过点 P 但垂直于 l 的直线 解析 由题意知 f(x0,y0)≠0, 又 f(x0,y0)-f(x0,y0)=0, ∴直线 f(x,y)=0 与直线 f(x,y)-f(x0,y0)=0 平行,且点 P 在直线 f(x,y)-f(x0,

y0)=0 上。
答案 A 2.(2016·东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0),B(1,1),C(0,1), 映射 f 将 xOy 平面上的点 P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系 uO′v 上的点 P′(2xy,x -y ),则当点 P 沿着折线 A-B-C 运动时,在映射 f 的作用下,动点 P′的轨迹是(
2 2

)

5

解析 当 P 沿 AB 运动时,x=1,设 P′(x′,y′),则?

? ?x′=2y, ?y′=1-y ?
2

(0≤y≤1),

∴y′=1-

x′2
4

(0≤x′≤2,0≤y′≤1)。

当 P 沿 BC 运动时,y=1, 则?
?x′=2x, ? ?y′=x -1 ?
2

(0≤x≤1),

∴y′=

x′2
4

-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),

由此可知 P′的轨迹如 D 所示,故选 D。 答案 D 3.(2016·杭州模拟)坐标平面上有两个定点 A,B 和动点 P,如果直线 PA,PB 的斜率 之积为定值 m,则点 P 的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线。试将 正确的序号填在横线上:________。 解析 设 A(a,0),B(-a,0),P(x,y),则

y

x-a x+a

·

y

=m,即 y =m(x -a )。

2

2

2

①当 m=-1 时,为圆;②当 m>0 时,为双曲线;③当 m<0 且 m≠-1 时,为椭圆;④当

m=0 时,为直线。故选①②④⑤。
答案 ①②④⑤ 4.(2016·烟台模拟)已知点 C(1,0),点 A,B 是⊙O:x +y =9 上任意两个不同的点, → → 且满足AC·BC=0,设 P 为弦 AB 的中点。
2 2

(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点: 它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距 离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由。 解 → → (1)连接 CP,OP,由AC·BC=0,知 AC⊥BC,

6

1 ∴|CP|=|AP|=|BP|= |AB|, 2 由垂径定理知|OP| +|AP| =|OA| , 即|OP| +|CP| =9, 设点 P(x,y),有(x +y )+[(x-1) +y ]=9, 化简,得 x -x+y =4。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)存在,根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在 抛物线 y =2px 上,其中 =1。 2 ∴p=2,故抛物线方程为 y =4x,
? ?y =4x, 由方程组? 2 2 ?x -x+y =4, ?
2 2 2

p

得 x +3x-4=0, 解得 x1=1,x2=-4,由 x≥0,故取 x=1,此时 y=±2。 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2)。

2

7


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