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2013年浙江省高考数学试卷及答案(文科)


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绝密★考试结束前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4 至 5 页。 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规 定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下面积, h 表示台体的高 柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V ? 球的表面积公式

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3

S ? 4? R2
球的体积公式

4 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径
如果事件 A, B 互斥 ,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

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一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | ?4 ? x ? 1}, 则S ? T ?

A. [? 4 ? , ? )

B. (?2, ??)

C . [? 4 , 1 ]

D. (?2,1]

2.已知 i 是虚数单位,则 (2 ? i)(3 ? i) ?

A. 5 ? 5i
A. 充分不必要条件

B. 7 ? 5i

C. 5 ? 5i
B. 必要不充分条件

D. 7 ? 5i

3.若 a ? R ,则“ a ? 0 ”是“ sin ? ? cos ? ”的

C. 充分必要条件
A. 若m // ? , n // ? , 则m // n C. 若m // n, m ? ? , 则n ? ?

D. 既不充分也不必要条件
B. 若m //? , m //? , 则? //? D. m // ? , ? ? ? , 则m ? ?

4

2 4 2

3

4.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面

正视图

侧视图

5.已知某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则该几何体的体积是

A. 108cm2

B. 100cm2

3

C. 92cm2
6.函数 f ( x) ? sin x cos x ?

D. 84cm2
3 cos 2 x 的最小正周期和振幅分别是 2

俯视图 (第5题图)

A. ? ,1

B. ? , 2

C. 2? ,1

D. 2? , 2
y

7. a, b, c ? R 函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 若f (0) ? f (4) ? f (1), 则

A. a ? 0 , 4 a? b? 0

B. a ? 0, 4a ? b ? 0

C. a ? 0, 2a ? b ? 0

D. a ? 0, 2a ? b ? 0
-1 O

8.已知函数 y ? f ( x) 的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y ? f ?( x) 的如 右图所示,则该函数的图象是

(第8题图)

1 x

9.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的 4

公共点,若四边形 AF 1BF 2 为矩形,则 C2 的离心率是

A.

2

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

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10.设 a, b ? R ,定义运算“ ? ”和“ ? ”如下:

?a a ? b ?b a ? b a ?b ? ? a?b ? ? ?b a ? b ?a a ? b
若正数 a, b, c, d 满足ab ? 4, c ? d ? 4, 则

A. a ? b ? 2 , c? d ? 2 C. a ? b ? 2, c ? d ? 2

B. a ? b ? 2, c ? d ? 2 D. a ? b ? 2, c ? d ? 2

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
11.已知函数 f ( x) ?

x ?1, 若f (a) ? 3, 则实数 a ?

.

12.从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等) ,这 两名同学都是女生的概率等于 . . .

13.直线 y ? 2 x ? 3 被圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 所截得的弦长等于 14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于

?x ? 2 ? 15.设 z ? kx ? y, 其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则实数 k ? ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
16.设 a, b ? R ,若 x ? 0 时恒有 0 ? x4 ? x3 ? ax ? b ? ( x2 ?1)2 ,则 ab ? 17.设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R.若e1, e2 的夹角为 . .

.

?? ?? ?

?

? ?

? ? ?

? ?? ? ?

? |x| ,则 ? 的最大值等于 6 |b|

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2a sin B ? 3b.
(Ⅰ) 求角 A 的大小; ( Ⅰ Ⅰ ) 若 a ? 6, b ? c ? 8, 求?ABC 的面积.

19.(本题满分 14 分)在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 10, 且a1 , 2a2 ? 2,5a3 成等比数列.
(Ⅰ) 求 d , an ; ( Ⅰ Ⅰ ) 若d

? 0, 求|a1 | ? | a2 | ??? | an | .

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20.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面ABCD, AB ? BC ? 2,

AD ?

CD ? 7 ,

P?A 3 , ?

AB ??1 C 2为线段 0 , PC G 上的点.

(Ⅰ) 证明: BD ? 平面APC ; ( Ⅰ Ⅰ ) 若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成角的正切值;
( Ⅰ Ⅰ Ⅰ ) 若 G 满足 PC

P

? 平面BGD, 求

PG 的值. GC

G A B C D

(第20题图)

21. (本题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax
(Ⅰ) 若 a

? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

( Ⅰ Ⅰ ) 若 | a |? 1 ,求 f ( x ) 在闭区间 [0, 2 | a |] 上的最小值.

22. (本题满分 14 分)已知抛物线 C 的顶点为 O (0, 0) ,焦点为 F (0,1) .
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; ( Ⅰ Ⅰ ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A, B 两点,若直线 AO, BO

分别交直线 l : y ? x ? 2 于 M , N 两点,求 | MN | 的最小值.

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参考答案
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 题号 D C A C B A A 答案 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. 8 B 9 D 10 C

11.10

12.

1 5

13.4 5

14.

9 5

15.2

16. ? 1

1 7 . 2

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分 18.(本题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2a sin B ? 3b.
(Ⅰ) 求角 A 的大小; ( Ⅰ Ⅰ ) 若 a ? 6, b ? c ? 8, 求?ABC 的面积. (Ⅰ) 解:由 2a sin B ?

3b 及正弦定理
A?

a b 3 ? ,得 sin A ? sin A sin B 2

因为 A 为锐角,所以
( Ⅰ Ⅰ ) 由余弦定理 a
2

?
3

? b2 ? c2 ? 2bc cos A得b2 ? c2 ? bc ? 36 ,又 b ? c ? 8
bc ? 28 3

所以

由三角形面积化工得 S?ABC ?

1 1 28 3 7 3 bc sin A ? ? ? ? 2 2 3 2 3

19.(本题满分 14 分)在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 10, 且a1 , 2a2 ? 2,5a3 成等比数列.
(Ⅰ) 求 d , an ; ( Ⅰ Ⅰ ) 若d

? 0, 求|a1 | ? | a2 | ??? | an | .

(Ⅰ) 解;:由题意得

5a3 ? a1 ? (2a2 ? 2)2 ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? d ? ?1或d ? 4 所以 an ? 11 ? n, n ? N * 或an ? 4n ? 6, n ? N *. ( Ⅰ Ⅰ ) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,因为 d ? 0, 由(Ⅰ) 得 d ? ?1, an ? 11 ? n, 则 1 2 21 n. 当 n ? 11 时, | a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? S n ? ? n ? 2 2 1 2 21 n ? 110. 当 n ? 12 时, | a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? ? S n ? 2 S11 ? n ? 2 2 ? 1 2 21 ? n ? n n ? 11, ? ? 2 2 综上即得 | a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? ? ? 1 n 2 ? 21 n ? 110 n ? 12. ? ?2 2 20.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面ABCD, AB ? BC ? 2,
AD ? CD ? 7 , P?A 3 , ? AB ??1 C 2为线段 0 , PC G 上的点.
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(Ⅰ) 证明: BD ? 平面APC ; ( Ⅰ Ⅰ ) 若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成角的正切值;

PG ( Ⅰ Ⅰ Ⅰ ) 若 G 满足 PC ? 平面BGD, 求 的值. GC
(Ⅰ) 设点 O 为 AC , BD 的交点,

P

G A B C D

由 AB ? BC, AD ? CD, 得BD 是线段 AC 的中垂线. 所以 O 为 AC 的中点, BD ? AC ① 又因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD ② 由①②即得

O

BD ? 平面APC .

(第20题图)


( Ⅰ Ⅰ ) 连结 OG 由(Ⅰ) 可知 OD ? 平面APC , 则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG , 所以 ?OGD 是 DG

平面 APC 所成的角,由题意得 OG ? 在 ?ABC 中, 所以

1 3 PA ? 2 2

AC ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 2 3
OC ? 1 PA ? 3 2
2 2

在 Rt ?OCD 中, OD ? CD ? OC ? 2 在 Rt ?OGD 中, tan ?OGD ?

OD 4 3 ? OG 3 4 3 . 3

所以与 DG 平面 APC 所成角的正切值
( Ⅰ Ⅰ Ⅰ ) 连结 OG ,因为 PC

? 平面BGD, OG ? 平面BGD, 所以PC ? OG
AC ? OC 2 15 3 15 , PG ? ? , PC 5 5

在 Rt ?PAC 中,得 PC ? 15 ,从而 GC ? 所以

PG 3 ? . GC 2
3 2

21. (本题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x ? 3(a ? 1) x ? 6ax
(Ⅰ) 若 a

? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

( Ⅰ Ⅰ ) 若 | a |? 1 ,求 f ( x ) 在闭区间 [0, 2 | a |] 上的最小值. (Ⅰ) 当 a

? 1 时, f ?( x) ? 6 x2 ?12 x ? 6 ,所以 f ?(2) ? 6.
y ? 6x ? 8

又因为 f (2) ? 4 ,所以切线方程为

( Ⅰ Ⅰ ) 记 g ( a ) 为 f ( x ) 在闭区间 [0, 2 | a |] 上的最小值,

f ?( x) ? 6x2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a).
令 f ?( x) ? 0, 得x1 ? 1, x2 ? a
第 6 页 共 8 页

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当 a ? 1 时,

x
f ?( x )

0

(0,1)

1

(1, a )

a
0
极小值 a 2 (3 ? a)

( a, 2a )

2a

?
0
单调递增

0
极大值 3a ? 1

?
单调递减

?
单调递增

f ( x)

4a 3

比较 f (0) 和 f (a) ? a2 (3 ? a) 的大小可得 g (a) ? ? 当 a ? ?1 时

1? a ? 3 ?0 2 ?a (3 ? a) a ? 3
?2a

x
f ?( x ) f ( x)


0

(0,1)

1

(1, ?2a)

?
0
单调递减

0
极小值 3a ? 1

?
单调递增

?28a3 ? 24a 2

g (a) ? 3a ?1

?3a ? 1 a ? ?1 ? 1? a ? 3. 综上所述, f ( x ) 在闭区间 [0, 2 | a |] 上的最小值为 g ( a ) ? ?0 ?a 2 (3 ? a ) a ? 3 ?
22. (本题满分 14 分)已知抛物线 C 的顶点为 O (0, 0) ,焦点为 F (0,1) .
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; ( Ⅰ Ⅰ ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A, B 两点,若直线 AO, BO

分别交直线 l : y ? x ? 2 于 M , N 两点,求 | MN | 的最小值.
(Ⅰ) 设抛物线 C 方程为 x
2

? 2 py ( p ? 0) ,则 x2 ? 4 y

p ? 1. 2

所以抛物线 C 的方程为

( Ⅰ Ⅰ ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1

由?

? y ? kx ? 1 ? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 得 x1 ? x2 ? 4k , x1 ? x2 ? 4 2 ?x ? 4 y
| x1 ? x2 |? 4 k 2 ? 1

从而

y1 ? ?y ? x 由? 得点 M 的横坐标 x1 ?y ? x ? 2 ?
同理得点 N 的横坐标

xM ?

2 x1 ? x1 ? y1

2 x1 8 ? 2 x 4 ? x1 x1 ? 1 4

xN ?

8 4 ? x2

x1 ? x2 8 8 8 2 k 2 ?1 所以 | MN |? 2 2 | xM ? xN |? 2 | ? |? 8 2 | |? 4 ? x1 4 ? x2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 | 4k ? 3 |
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t ?3 . 令 4k ? 3 ? t , t ? 0, 则k ? 4
当 t ? 0 时, | MN |? 2 2

25 6 ? ?1 ? 2 2 t2 t

2 当 t ? 0 时, | MN |? 2 2 ( ? ) ?

5 3 t 5

16 8 2 ? . 25 5

综上所述,当 t ? ?

25 4 8 2 ,即 k ? ? 时, | MN | 的最小值是 . 3 3 5

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