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宁夏固原市第一中学2015届高三第一次模拟数学(文)试题


固原一中 2015 届高三第一次模拟文数试题
命题人:孙荣 审题人陈永文

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认

真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。
[]

第I卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.若集合 A ? x ? Z | 2 ? 2 x ? 2 ? 8 , B ? x ? R | x 2 ? 2 x ? 0 ,则 A ? 所含的元素个数 (CR B) 为( ) A.0 2.复数 z ? 1 ? i ,则 A.第一象限 B.1 C .2 ) D.第四象限 ) D.3

?

?

?

?

1 ? z 对应的点所在的象限为( z
B.第二象限
2 2

C.第三象限

3.若 a ? R, 则“ a ? 3 ”是“方程 y ? (a ? 9) x 表示开口向右的抛物线”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

4.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x ? 20 y 的焦点重合,且其渐近线的方程为 3 x ? 4 y ? 0 , 则该双曲线的标准方程为( )

x2 y 2 x2 y 2 A. B. ? ?1 ? ?1 9 16 16 9 y 2 x2 y 2 x2 C. D. ? ?1 ? ?1 9 16 16 9 5. 已知等比数列 ?an ? ,且 a4 ? a8 ? 2, 则 a6 (a2 ? 2a6 ? a10 ) 的值为(
A.4 B.6 C.8 D.10

)

6.如图所示是用模拟方法估计圆周率 ? 值的程序框图, P 表示估计的结果,则图中空白框内应填入

A. p=

M 1000

B. p=

1000 M

C. p=

4M 1000

D. p=

1000 4M

7. 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9 表 示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( ) A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75

?x ? 1 ? 8.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ( ?y ? a x ?3 ? ? ?
A.



1 2

B.

1 3

C. 1

D.2
x

9.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? 3, 则 f ( x) 的零点个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

1 6 2 C. 3 A.
11.设 P 是双曲线 x 2 ?

B.

1 2 5 D. 6
1

1

正视图

侧视图

y2 ? 1 上除顶点外的任意一点, F1 、 F2 分别是双 4 曲线的左、右焦点,△ PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 相切于点 M ,则 ????? ????? F1 M ? MF2 ? A.5 B.4 C.2 D.1

俯视图

12.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? m (m 为正整数), an ?1 ? ? ?2 则 m 的所有可能值为 A. 2 或 4 或 8 B. 4 或 5 或 8 C. 4 或 5 或 32

? an

若a6 ? 1 ?3an ?(当 1 an为奇数时) ?
D. 4 或 5 或 16

(当an为偶数时)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? 1, PA ? 3 ,则该三棱 锥外接球的表面积为 14. ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O ,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为

??? ?

??? ?

????

?

???? ??? ?

15 . 如 图 , 在 ?ABC 中 , ?B ? 45? , D 是 BC 边 上 一 点 , AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ,则 AB 的长为

16. 已知 f ( x) ?| log 2 x | ,正实数 m, n 满足 m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在区间 m 2 , n 上的最大值为 2,则 m ? n =_______。

?

?

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) ? ?? ? ? ?? ? x 设平面向量 m ? (cos2 , 3 sin x ) , n ? (2, 1) ,函数 f ( x ) ? m ? n . 2 ? ? (1)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围; 3 2 13 2? ? ? (2)当 f (? ) ? ,且 ? ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 3 6 3 18. (本小题满分 12 分) 某城市随机抽取一年 (365 天) 内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据, 结果统计如下: [0,50] (50,100] (100,150] (150, 200] (200, 250] (250,300] API ? 300
空气质量 天数 优 4 良 13 轻微污染 18 轻度污染 30 中度污染 9 中度重污染 11 重度污染 15

间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间 ?100,300? 对企业造成经济损失成直线模型(当

记某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元) ,空气质量指数 API 为 ω。在区

API 为 150 时造成的经济损失为 500 元, 当 API 为 200 时, 造成的经济损失为 700 元) ; 当 API 大于 300 时造成的 经济损失为 2000 元; (1)试写出 S(ω)的表达式: (2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 900 元的概率; (3)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2× 2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附: P(K2 ≥ k0) k0 0.25 1.323 0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计

重度污染

合计

100

19. (本小题满分 12 分)如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 ,G 是 AC 中点, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面ACE . (1)求证: AE ? 平面BCE ;

(2)求三棱锥 C ? BGF 的体积.

20. ( 本小题满分 12 分 ) 如图,已知抛物线 C : y ? 2 px 和⊙ M :
2

过抛物线 C 上一点 H 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 , B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准线的距离 17 为 . 4 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率

21.已知函数 f ( x) ? e sin x (1)求函数 f ( x) 的单调区间;
x

(2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? kx ,求实数 k 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E , EF ∥ CB , EF 交 AD 的 延长线于点 F , FG 切圆 O 于点 G . (1)求证:△ DEF ∽△ EFA ; (2)如果 FG ? 1 ,求 EF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (? 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上的点 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 按坐标变换 ? 得到曲线 C ? . (1)求曲线 C ? 的普通方程; 1 ? y? ? y ? ? 2 (2)若点 A 在曲线 C ? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C ? 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方
程.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 M . (1)求 M ; (2)当 a, b ? M 时,证明: 2 a ? b ? 4 ? ab .

固原一中 2015 届高三第一次模拟文数试题答案
一.选择题: CDACA 14. ? CDACD BC 二.填空题: 13. 5? 17.

1 5

15.

5 6 2

16.

5 2

? ? ? ? 2? 1 ? ? 当 x ? [? , ] 时, x ? ? [? , ] ,则 ? ? sin( x ? ) ? 1 , 0 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 3 , 3 2 6 6 3 2 6 6
所以 f ( x) 的取值范围是 [0, 3] .

18.

100 ? ? 63 ? 8 ? 22 ? 7 ? K 的观测值 k ? ? 4.575 ? 3.841 , 85 ?15 ? 30 ? 70
2

2

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. 19.(I)证明:? AD ? 平面ABE , AD // BC ∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC ,又? BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF BC ? BF ? B, ∴ AE ? 平面BCE (2)? BF ? 平面ACE , BF ? CE ,? ?BCE 为等腰三角形,

? F 为 CE 的中点,? G 是 AC 中点 ∴ FG // AE 且 FG ?

1 AE ? 1 2

? AE ? 平面 BCE ,? FG ? 平面 BCE , 1 ? Rt?BCE 中, BF ? CF ? CE ? 2 2 1 ∴ S ?CFB ? ? 2 ? 2 ? 1 2 1 1 ∴ VC ? BFG ? VG ? BCF ? ? S ?CFB ? FG ? 3 3
20. 解: (Ⅰ)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? ∴p?

p 17 , ? 2 4

1 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x .--------------------2 分 2

(Ⅱ)法一:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ k HE ? ?k HF , 错误!未找到引用源。设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 yH ? y1 y ? y2 错误!未找到引用源。 ,∴ 2 , ?? H ?? H 2 2 2 xH ? x1 xH ? x2 yH ? y1 yH ? y2

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 . -------------------------------5 分

k EF ?

y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ? ? .------------------------------7 分 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4
3,

法二: ∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时, 点 H (4,2) , ∴ ?AHB ? 60 ? , 可得 k HA ?

k HB ? ? 3 ,∴直线 HA 的方程为 y ? 3 x ? 4 3 ? 2 ,
联立方程组 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ,得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 , 2 y ?x ?
3 3

∵ yE ? 2 ?

∴ yE ?

3?6 13 ? 4 3 , xE ? .--------------------------------5 分 3 3 ? 3?6 13 ? 4 3 1 , xF ? ,∴ k EF ? ? .------------------7 分 3 3 4

同理可得 y F ?

(Ⅲ)法一:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA ?

y1 4 ? x1 ,∴ k HA ? , x1 ? 4 y1

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 ) x ? y1 y ? 4 x1 ? 15 ? 0 ,

同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x 2 ) x ? y 2 y ? 4 x 2 ? 15 ? 0 , ∴ (4 ? x1 ) y 0 ? y1 y 0 ? 4 x1 ? 15 ? 0 ,
2

(4 ? x 2 ) y 0 ? y 2 y 0 ? 4 x 2 ? 15 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分
∴直线 AB 的方程为 (4 ? y 0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ? 15 ? 0 ,
2 2

2

令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) , y0

∵ t 关于 y0 的函数在 [1, ??) 单调递增, ∴ t min ? ?11 .--------------------------------12 分 21. (1) f ( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ,
' x x x

令 y ? sin x ? cos x ?

? ? 3? 2 sin( x ? ), 当 x ? (2k? ? , 2k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单增, 4 4 4 3? 7? x ? (2k? ? , 2 k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单减 4 4
x

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,即 g ( x) ? 0 恒成立, 而 g ( x) ? e (sin x ? cos x) ? k ,
' x

令 h( x) ? e (sin x ? cos x) ? h ( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) ? 2e cos x
x ' x x x

? x ? [0, ], h ( x) ? 0 ? h( x) 在 [0, ] 上单调递增, 1 ? h( x) ? e 2 , 2 2
'

?

?

?

当 k ? 1 时, g ( x) ? 0, g ( x) 在 [0,
'

?
2

] 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;

当 k ? e 2 时, g ( x) ? 0 ? g ( x) 在 [0,
'

?

?
2

] 上单调递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;

当 1 ? k ? e 2 时, g ( x) 为一个单调递增的函数,而 g (0) ? 1 ? k ? 0, g ( ) ? e 2 ? k ? 0 ,
'
' '

?

?

?

2

由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g ' ( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g ( x) ? 0, 从而
'

g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合,
综上所述: k 的取值范围为 (??,1]

22. (1)

EF // BC ? ?DEF ? ?EBC ? ? ? ?DEF ? ?BAD ? ?DEF ?BCD ? ?BAD ?
?EFA
(2) ?EFA ∽ ?EFD ? FE 2 ? FD ? FA 又因为 FG 为切线,则 FG 2 ? FD ? FA 所以, EF ? FG ? 1 . 23. 【解析】 (1) C ? : x ? y ? 1 ; (2) ( x ? ) 2 ? y 2 ?
2 2



3 2

1 4

解析: (1) C : ?

? x ? 3cos ? ? y ? 2sin ?

? C:

x2 y 2 ? ?1, 9 4

? ? 1 x ? x ? ? x ? 3 x? ? 3 2 2 2 2 将? 代入 C 的普通方程得 x? ? y? ? 1 ,即 C ? : x ? y ? 1 ; ?? ? y ? 2 y? ? y? ? 1 y ? ? 2
(2)设 P ( x, y ),

A( x0 , y0 ) , 则 x ?

x0 ? 3 y ,y? 0 2 2

所以 x0 ? 2 x ? 3, y0 ? 2 y ,即 A(2 x ? 3, 2 y ) 代入 C ? : x ? y ? 1 ,得 (2 x ? 3) ? (2 y ) ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
2 2 2 2

3 2

1 4

3 1 AB 中点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 2 4
24. (1)解不等式: x ? 1 ? x ? 1 ? 4

?x ? 1 ? ?2 x ? 4

或?

??1 ? x ? 1 ? x ? ?1 或? ? 1 ? x ? 2 或 ?1 ? x ? 1 或 ?2 ? x ? ?1 , ?2 ? 4 ??2 x ? 4

? ?2 ? x ? 2 ? M ? ? ?2, 2 ? .
(2)需证明: 4(a ? 2ab ? b ) ? a b ? 8ab ? 16 ,
2 2 2 2

只需证明 a 2b 2 ? 4a 2 ? 4b 2 ? 16 ? 0 , 即需证明 (a ? 4)(b ? 4) ? 0 。
2 2

证明: a, b ? (?2, 2) ? a ? 4, b ? 4 ? ( a ? 4) ? 0, (b ? 4) ? 0
2 2 2 2

? (a 2 ? 4)(b 2 ? 4) ? 0 ,所以原不等式成立.


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