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测试二 第一章 集合 B卷


测试二

第一章

集合(B 卷)

【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直 接作答.共 120 分,考试时间 100 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.(2006 重庆高考,理 1)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( A.{1,6} B.{4,5} C.{1,2,3,4,5,7} A)∪( B)等于

D.{1,2,3,6,7}

2.(2006 辽宁高考,理 1)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是 A.1 B.3 C.4 D.8

3.(探究题)设 I 为全集,S1、S2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是 A.( S1)∩(S2∪S3)= ? C.( S1)∩( S2)∩( S3)= ? B.S1 ? ( S2)∩( S3) D.S1 ? ( S2)∪( S3)

4.已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1=0},若 A∪B=A,则实数 m 的值是 A. ?

1 2

B.1

C. ?

1 或1 2

D.0 或 1 或 ?

1 2

5.(2006 江苏高考,7)若 A、B、C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有 A.A ? C B.C ? A C.A≠C D.A= ?

6.设 A={x|x= 5k ? 1 ,k∈N},B={x|x≤6,x∈Q},则 A∩B 等于 A.{1,4} B.{1,6} C.{4,6} D.{1,4,6}

7.2006 年寒假,小明为完成社会实践作业,对某校大学生进行调查,结果如下:电脑拥有率为 49%,手机拥有率 为 85%,MP3 拥有率为 44%,拥有上述三种物品中两种的占 38%,三种物品齐全的占 25%,那么三种物品中一 种也没有的大学生比例为 A.10% B.12% C.15% D.27%

8.设数集 M={x|m≤x≤m+

3 1 },N={x|n ? ≤x≤n},且 M、N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把 b-a 叫做集合 4 3 2 3 1 12 5 12

{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是 A.

1 3

B.

C.

D.

9.设集合 P={x|x=2m+1,m∈Z},Q={y|y=2n,n∈Z},若 x0∈P,y0∈Q,a=x0+y0,b=x0y0,则 A.a∈P,b∈Q B.a∈Q,b∈P
1

C.a∈P,b∈P

D.a∈Q,b=Q

10.(创新题)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P× Q={ab|a∈P,b∈Q},若 P={0,1,2},Q={2,3,4},则 P× Q的 元素个数是 A.6 B.7 C.8 第Ⅱ卷(非选择题 共 80 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案需填在题中横线上) 11.集合 M={x|x∈Z,且 D.9

12 ∈N},则 M 的非空真子集的个数是______________. 10 ? x

12.(2006 上海高考,理 1)已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B ? A,则实数 m=___________. 13. 已 知 全 集 U={ 不 大 于 30 的 质 数 },A 、 B 是 U 的 两 个 子 集 , 且 A∩( ={2,3,5,7,13,17,23},( A)∩( B)={3,7},则 A=___________,B=___________. B)={5,13,23},A∪( B)

14.已知集合 S={x|-1≤x≤4},若集合 T 满足条件:(S∩T) (S∪T),则集合 T 等于____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 64 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤) 15.(本小题满分 10 分)已知全集 I={1,2,3,4,5},集合 A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2+px+12=0}, 且( A)∪B={1,3,4,5},求 p、q 的值,并求( A)∩( B).

16.(本小题满分 10 分)已知集合 M={a,a+d,a+2d} ,N={a,aq,aq2} ,其中 a≠0,且 M=N,求 q 和 d 的 值.

2

17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合 B 是不是集合 A 的子集?是否 存在实数 a 使 A=B 成立?

18.(本小题满分 10 分)已知 A={2,4,a3-2a2-a+7},B={-4,a+3,a2-2a+2,a3+a2+3a+7},且 A∩B={2,5}. (1)求实数 a 的值; (2)求 A∪B.

19.(本小题满分 12 分)数集 A 满足条件:若 a∈A,则 (1)若-2∈A,试求出集合 A 的所有元素;

1 ∈A(a≠1), 1? a

(2)请你设计一个数集 A,然后求出 A 中的所有元素; (3)通过(1) (2)你悟出了什么道理?

20.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 P={x|ax2+2bx+c=0,a≠0},Q={x|dx2+2ex+f=0,d≠0}, 且 2be=ac+df, 求 证:(P∪Q)∩R≠ ? .

3

1、答案:D 解 析 : 已 知 集 合 ( A)∪ ( B)={1,2,3,6,7}. U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},( A)={1,3,6},( B)={1,2,6,7}, 则

2、答案:C 解析:A={1,2},A∪ B={1,2,3},则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题,所 以满足题目条件的集合 B 共有 22=4 个. 3、答案:C 4、答案:D 解析:由 A∪ B=A,得 B ? A. ∵ A={-1,2}, ∴ B= ? 或{-1}或{2}. ∴ 方程 mx+1=0 的根的情况可以是(1)无实根;(2)x=-1;(3)x=2.相应解得 m=0 或 1 或 ? 5、答案:A 解析:因为 A ? A∪ B 且 C∩B ? C,A∪ B=C∩B, 由题意得 A ? C. 6、答案:D 解析:将集合 A 化简:A={1, 11,4, 21, 26, 31,6 ,…}. 7、答案:A 解析:设 I={被调查的 100 名大学生},M={100 名学生中拥有电脑的学生},S={100 名学生中拥有手机的学 生},P={100 名学生中拥有 MP3 的学生},要求 (M∪ P∪ S)的元素 个数 , 根据已知条 素 个 数 为

1 . 2

件,先求集合 M∪ P∪ S 中元素的个数较容易.由图形知 M∪ P∪ S 的元 49+85+44-38-2× 25=90. ∴ (M∪ P∪ S)的元素个数为 10. 8、答案:C 解析:根据定义,可知集合 M、N 的长度一定,分别为 得 M∩N={x| 9、答案:A 解析:设 x0=2m0+1,m0∈Z,y0=2n0,n0∈Z,
4

3 1 、 ,要使集合 M∩N 的“长度”最小,应取 m=0,n=1, 4 3

2 3 3 2 1 ? x ? },其区间长度为 ? ? . 3 4 4 3 12

则 a=x0+y0=2m0+1+2n0=2(m0+n0)+1∈P; b=x0y0=(2m0+1)· 2n0=2(2m0n0+n0)∈Q. 10、答案:A 解析:P× Q 的元素分别为 0× 2,0× 3,0× 4,1× 2,1× 3,1× 4,2× 2,2× 3,2× 4,即 0,2,3,4,6,8 共有 6 个. 11、11、答案:62 解析:∵ x∈Z,且 ∴ x=-2,4,6,7,8,9. ∴ 集合 M 的非空真子集的个数是 26-2=62. 12、答案:1 解析:由 m2=2m-1 ? m=1,经检验,m=1 为所求. 13、答案:{2,5,13,17,23} {2,11,17,19,29} 解析: U={不大于 30 的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},而( 集合 A∩( B),A∪ ( B), (A∪ B),易得 A∩B={2,17}. A)∩( B)= (A∪ B),画出韦恩图,标出三个

12 ∈N, 10 ? x

∴ A={2,5,13,17,23},B={2,11,17,19,29}.

14、答案:{x|-1≤x≤4} 解析: 对任意非空集合 S、 T,应有(S∩T) ? (S∪ T),又知(S∩T) ? (S∪ T),所以有 S∩T=S∪ T,由于 S、 T 非空,∴ S=T, 即 T=S={x|-1≤x≤4}. 15、解:∵ ( A)∪ B={1,3,4,5}, ∴ 2∈ A,即 22-5× 2+q=0. ∴ q=6.∴ A={x|x2-5x+6=0}={2,3}. ∴ A={1,4,5}. 又( A)∪ B={1,3,4,5},∴ 3∈ B, 即 32+3p+12=0.∴ p=-7. ∴ B={x|x2-7x+12=0}={3,4}, B={1,2,5}. ∴ ( A)∩( B)={1,5}.

5

16.解:∵ M=N,就有 ?

? a ? d ? aq, 2 ?a ? 2d ? aq ,




或?

?a ? d ? aq 2 , ?a ? 2d ? aq,
1 3 ,d= ? a . 4 2

由① 解得 q=1,d=0,此时每个集合三个元素相等应舍去. 由② 解得 q= ?

17、解:(1)当 a=1 时,B={1},所以 B 是 A 的子集; (2)当 1<a≤3 时,B 也是 A 的子集; (3)当 a<1,或 a>3 时,B 不是 A 的子集. 综上可知,当 1≤a≤3 时,B 是 A 的子集. 由于集合 B 最多只有两个元素,而集合 A 有无数个元素, 故不存在实数 a,使 B=A. 18、解:由题意知 a3-2a2-a+7=5.解之,得 a=-1,1,2, 当 a=-1,1 时,A={2,4,5},B={-4,2,4,5}或{-4,1,4,12},这与已知 A∩B={2,5}矛盾;当 a=2 时,符合题意,故 a=2. 此时 A∪ B={2,4,5}∪ {-4,2,5,25}={-4,2,4,5,25}. 19、解:由-2∈ A,根据规则,

1 1 1 3 ? ∈ A, ? ∈A, 1 2 1 ? (?2) 3 1? 3 3 3 1 再代入 则重复出现-2,由此可知 A 的所有元素为-2、 、 . 2 2 3 1 1 (2)如 2∈ A,则由 ∈ A(a≠1)知 A 的全部元素为 2、-1、 . 1? a 2 1 a ?1 , (3)A 中只能有 3 个元素:a、 ,这三个元素之积为-1. 1? a a
可得 20、证明:方程 ax2+2bx+c=0 中 Δ1=4b2-4ac,方程 dx2+2ex+f=0 中 Δ2=4e2-4df, 所以 Δ1+Δ2=4b2+4e2-4· (ac+df). 因为 2be=ac+df, 所以 Δ1+Δ2=4b2+4e2-8be=4(b-e)2≥0. 所以 Δ1 和 Δ2 中至少有一个大于等于 0, 即方程 ax2+2bx+c=0 和 dx2+2ex+f=0 至少有一个有解 , 所以 (P∪ Q)∩R≠ ? .

6


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