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一个等式及其应用


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个等式及其应用  
福建福州第二 l ‘ 网中学 杨学枝 

f , 1 、  ‘ h ,  ( 为 奇 )   ’     。    一数  
+ - _ .+  

I 1 f ( _ 一 1   )   . ? , 2   、  


(   为偶数 l 内 烈 r ) J  
一  

卜  


本文将 介绍一 个 十分有 用的恒等式 .  

( k - 1 ) X * - 3 y+   k -1  



s  

定理 设 0 、b为任意复数, , l ∈ N且, l  1 ,   记a +b =  , a b :Y, 贝 0  
a  +6  =   一n x   一 。 J , +n  1   3  一 4 Y   / 2  
n  2








- 7   3 + …+ ( 一 1 )   一 2 - k - l c  ̄ !k


1 C

5  

i _  ̄   ★ 一 2 , +   J ,   一 2  



f 一2



4 x   Y  / 3+… +   +… 

+… +

+ . 一 十 {   卜  ‘ 2   T   H   为 奇 数   】 J  
【 ( 一 1 )   一 ? ( k - 1 ) x y  (   为 偶 数 ’  



纳 奇数 
+   十  

、 ( 1 】 ,  
=  

I ( 一 1 ) i 2   i   ( , l 为 偶 数 ) .  
这里  为第 k ( k∈ N, k ≥2 ) 项, 且 


( 七 十 1 ) x * " t y + 【 姜   一 3 + ( 七 一 1 ) 】  Y  
k + .


_ 【   k   LH 2

l   c

( 一 1 )   ’ , l  ;  “   Y  I ( k - 1 ) .  

, ,



i  I x ¨y   + …  ’ + . . ‘   ( k 为奇数)  
、  

为证定理, 先证明以下  弓 I 理 设, l , k ∈N, 且n>k  3 , 贝 4  



k-1 2+   + ( 一 l  ‘ 【 西 k   L   i -   L H i - 3 】  


k _ 2 +   n-1   c   k - 3 C
l  


n+


l   c,-2  



f  

I 一 《 一 ¨   . 2 v   2   V  

k 。 - I   — k - I  

=  

。 l i ( 一 i )   ’ . ?   2 y 一 - "  - x — f 1  . ) t 一   ' : - 2 ? ( k — 一 l   l   譬 ’ , ( L   为 / V   偶 l F 丑 数 姒 ) J  
:   .  ̄ k - - I   + 1 )   +  
一  

证 明 



(  

k _ 2+

+ C … k - 3 . , }  

¨   z  

西 1  c   k - 2 + 西 n + l   L   , - 3  
c   . y , +. . .  

1  



=  

j+ 西 1?  
+   n
- 一

一  
1   Ck_  ̄
?  

十 ( - 0  . k + ̄ q   1   ̄ t - - 2 / . , ' 3   一 l + …  


十 西 n + 1   L   ,  ̄ - 3 =  





下面, 我们应用数字 I J - 1 纳法证明定理.  

i ( 一  了 一 ? 2 y 了  
I ( _ 一 1 )  
l   . (  

(   为 奇 数 ) ?  
, T ( k * 1 ) - I

①, l = 1 时, ( 1 ) 武显然成立.   , l = 2 时, ( 1 ) 式左边 = a 。 + b  
右边 =( 口 + 6 )   一2 a b= a   +6   ,  

? (+ k  1 )   ,  

( k 为偶数) .  

因此, l =2 时( 1 ) 式也成立.  

②假设  , l ≤ k ( k ≥ 2 1 时, ( 1 ) 式成立, 特  
另 4 当, l :k 一 1 和 n=k时成立, 那么,   ’   , l :k +1 时, 有 
口  ’ +b  ’  


f 以上证明应用了引理的组合等式) .   此, 、  n = k + j 时( 1 ) 式也成立.   综上①、②可知, 财 于任意大予零的 自   然数 , ! . ( i ) 武都成立. 定理获证.   以下列举数例说明等式( i ) 的应用.   例 1设 , l ∈ N目 . 疗 ≥ 1 , 贝 0  
1 一, l +, l  




/ 2 一, z c  4 / 3 +… +  

( a + 6 ) ( 口   + b   ) 一 a b ( a  + b   一 )  

㈩  

一  



j f 【  一   - 2 y+ J I }  




 

3  

Y   / 2 。 一  

i   r — l  ” 一 , l( , l 为奇数)  

n / I "  

冬  ¨   + . - - + ( _ l 1 H  c  ’  

+ 1 ( 一 1 )   f   为 偶 数 )  2 c 0   了‘  
提示 在( 1 ) 中令 a = C O S (  ̄ / 3 ) 十 i s i n ( x / 3 ) ,  

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b = c o s ( n ' / 3 ) 一 i s i n ( z / 3 ) , 此时 = Y = 1  
例 2设 , l ∈ N , 且, l ≥ 1 , 贝 0  


十九+  

,+   c 

一+  

c…

i - 2+. .

个不等式猜想的证明 
浙江衢州第二中学 舒金根 

’  

l  为 偶 数 ; )   =   、 2 ’ 2  、 +   2   一   2   。  
2  

提示

2 , 6=   1 在( 1 ) 中令口 =   1 +  


在文… 中, 吴善和先生、 石焕南先生提出   如下 

2 ,  

猜想  , X 2 , x 3 , …X n ∈ R   , 且  十 .  +  + .  


此 时 =1 , Y=一 1 .  

+   =1 , n  2 , , l ∈N 贝  

例 3设, l 为任意 自然数, 且, l ≥ 1 , 记  
(   ) =  ” 一 n x “   十九 c   3  一 4 / 2  


(   +  

+ . . - +  

) (  

+ 

詈   4 x n - 6   4 , . . . + (   告  :   + . 一 ‘  
+ 』 ≮   ( _ 1 ) 。   为 奇 数 ) I  则 U 有 伺  


+ … + 

赢  赢 

+ . . - +   ‘  
, l  

I ( 一 1 ) j . 2   为 偶 数 ) ,  
1 。 C O S /  ̄= -  ̄ f ( 2 c o s a ) ;  
2 。 当, l 为 奇数时,  

本文证明该猜想是正确的.   证明 山柯两不等式得:  

?  


+  ,  
n 

, l  

s i n n a : ( - 1 ) T? 去   ( 2 s i n   ) .  
提示: 在( 1 ) 中令 a = C O S 口+ i s i n 口 , b :   C O S a— i s i n a , 此时 :2 c o s a , Y:1 , 可得 1 。 ;   在( 1 ) 中令 a = c o s o  ̄ 十 / s i n   , b : 一 C O S O  ̄  
+ i s i n a , 此时 =2 i s i n a , Y=一 l , 可得 2 。 .  

√   -x I .n - 1 : 腼:  
+  + . . . +  

_、  

由 1 o 、2 。 我 们分 别给 出 了C O S   r l O  ̄ 与 

s i n 刀 口的展开式. 若分别取 
n =3 , 5 , 7 , 有 
c o s 3 o r =4 c o s   一3 c o s a;  
s i n 3 a :- 4 s i n   +3 s i n  .   C O s 5 a :1 6 c o s   a 一2 0 c o s   +5 c o s c t ;  

 ̄ n —— 2   n + l  
同理可得:  
+  +. . ? + 

s i n 5  =1 6 s i n   一2 0 s i n   +5 s i n  .  
c o s 7 a :6 4 c o s   一1 1 2 c o s   +5 6 c o s   一7 c o s a:   s i n7 a :一 6 4 s i n   +1 1 2 s i n  


I —  2 n + l  
+  +. . ? + 

5 6s i n   +7 s i n   .  


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