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等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法


等差、等比的公式性质以及数列的求和方法
第一节:等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一 项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记: an ? an?1 ? d (d 为公差) ( n ? 2 , n ? N * )注:下面所有涉及 n , n ? N * 省略,你懂的。 2、等差数列通项公式:
an ?

a1 ? (n ?1)d , a1 为首项, d 为公差

推广公式: an ? am ? (n ? m)d 变形推广: d ? 3、等差中项
b 成等差数列, (1) 如果 a ,A , 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即:
A? a?b 2

an ? am n?m

或 2A ? a ? b

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列
? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2

4、等差数列的前 n 项和公式:
Sn ?
?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
d 2 1 n ? ( a1 ? d ) n ? An2 ? Bn 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数 项为0) 特别地, 当项数为奇数 2n ? 1 时,an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的 中间项
S2 n?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1(项数为奇数的等差数列的各项

和等于项数乘以中间项) 5、等差数列的判定方法

(1) 定义法: 若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? ?an ? 是 等差数列. (2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列
? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2

(3)数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。 (4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? ?an ? 是等差 数列. 7、等差数列相关技巧: (1) 等差数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素:a1 、
d

、 n 、an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ?1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差

的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。

为d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意; 公差为 2 d ) 8、等差数列的性质: (1) 当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和
Sn ? na1 ? n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 2 2 2

0。 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减 等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2ap 。 (注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? , )当然扩充 到 3 项、4 项??都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系

数之和相等。 (4)?an ? 、?bn ? 为等差数列,则 ??an ? b?, ??1an ? ?2bn? 都为等差数列 (5) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数 列 (6) 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 每 隔 k(k ? N * ) 项 取 出 一 项 ( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等差数列 (7) ?an ?、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,则
an A2 n ?1 ? bn B2 n ?1

(8) 等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n , 前 m 项和 Sn ? m , 则前 m+n 项和 Sm?n ? ? ? m ? n? ,当然也有 an ? m, am ? n ,则 am?n ? 0 (9)求 Sn 的最值 法一:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求 二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。 法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有 非负项之和 即当 a1 ? 0,d ? 0, 由 ?
?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有 非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0, 由 ? 或求 ?an ?中正负分界项 法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像 是过原点的二次函数, 故n取离二次函数对称轴最近的整数时,S n 取 最大值(或最小值) 。若S p = S q则其对称轴为 n ?
p?q 2

?a n ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

注意:Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) ,对于任何数列都适用,但求通项时记住讨论 当 n ? 1 的情况。

解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质, 一般地运用性质可以化繁为简, 减少运算量。 (以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明,不是 很难,并能够学会运用)

第二节:等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n?1 , a1 为首项, q 为公比
an ? q ? q ? 0 ?? n ? 2 ? , q 为公比 an?1

推广公式: an ? amqn?m , 从而得 q n?m ? 3、等比中项

an am

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即:
A2 ? ab 或 A ? ? ab

注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项 有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1) 当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2) 当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 qn ? A ? A ? Bn ? A ' Bn ? A ' A, B, A ', B ' 为常数) ( 1? q 1? q

5、等比数列的判定方法

(1) 用定义: 对任意的 n,都有 an?1 ? qan或 为等比数列

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } an

(2) 等比中项: an2 ? an?1an?1 ( an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 (4) 前 n 项和公式:
Sn ? A ? A ? Bn或Sn ? A ' Bn ? A ' ? A, B, A ', B '为常数? ? {an } 为等比数列

6、 等比数列的证明方法 依据定义:若
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7、等比数列相关技巧: (1) 等比数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素:a1 、
q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这

5 个元素中

的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 ( 2 )为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:
an ? a1q n?1
a a , , a , aq , aq 2 ?(公比为 q ,中间项 2 q q

如奇数个数成等比,可设为?,

用 a 表示) ;注意隐含条件公比 q 的正负 8、等比数列的性质: (1) 当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q n?1 ? 数的类指数函数,底数为公比 q ②前 n 项和 Sn ?
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? a1q n a 1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系 1? q 1? q 1? q

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系 q

数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q (2) 对任何 m,n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m ,特别的,当 m=1 时, 便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更 具有一般性。 (3) 若 m ? n ? s ? t ( m, n, s, t ? N * ), 则 an ? am ? as ? at 。特别的 , 当 m ? n ? 2k 时 , 得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? (4) 列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为 非零常数) 均为等比数列。 (5) 数 列 {an } 为 等 比 数 列 , 每 隔 k(k ? N * ) 项 取 出 一 项 ( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为 等 比 数 列 , 则 数 列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n ,
a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列
k an
a bn

(9) ①当 q ? 1 时,
1 ? 0,则{ an }为递增数列 {a a1 ? 0,则{an }为递减数列 ,

②当 0<q ? 1时,
1 ? 0,则{ an }为递减数列 {a a1 ? 0,则{an }为递增数列

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列。 (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N * )时,
S奇 1 ? ,。 S偶 q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn?m ? Sn ? qn ? Sm

注意:在含有参数的数列时,若是等比数列,一定要考虑到公比 q ? 1 的特殊情况。 解决等比数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 q 的方程; ②巧妙运用等比数列的性质, 一般地运用性质可以化繁为简, 减少运算量。

关于等差、等比两个引申: an ? kan?1 ? b 模式(其中 k , b 为常数,
n ? 2) ; an ? pan?1 ? pn 模式(其中 p 为常数, n ? 2 )
在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解: 例1 已知数列 ?an ? ,有 an ? 3an?1 ? 4 ( n ? 2 ) ,则求该数列的通项公式

解题大致思路: 先设 an ? b ? 3(an?1 ? b) , 则对于 an ? 3an?1 ? 4 ? an ? 2 ? 3(an?1 ? 2) , 那么我们就可以构造数列 ?an ? 2? 为等比数列,利用等比的相关性质去解决,注意:构造新 数列的首项和公比分别是多少?还有你考虑到当 n ? 1 的这种情况了吗? 已知数列 ?bn ? ,有 bn ? 2bn?1 ? 2n ( n ? 2 ) ,求该数列的通项公式

例2

解题的大致思路: bn ? 2bn?1 ? 2n ( n ? 2 ) ?

bn 2bn ?1 b b ?1 ? n ?1 ? n ? n ? 1 ,相信你已 n n 2 2 2 2 n ?1

经知道构造什么数列了吧,这两个模式考试中喜欢考,也比较基础,当然也希望通过这两个 模式能让你意识到求数列中的构造思想。

第三节:数列的求和方法(引用别人的,稍加改进)
一、教学目标:1、熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运 算; 3、熟记一些常用的数列的和的公式. 二、教学重点:特殊数列求和的方法.

三、教学过程:
(一)主要知识: 1、直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

(1)等差数列的求和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含参数时一定要讨论) (q ? 1) ? ? 1? q
2、公式法:

?k
k ?1

n

2

2 2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ? ?? n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6

1)

(证明利用立方差公式,

1, 2,3? n替换 ,错位相消即可整体得出) (n ? 1)3 ? n3 ? 3n2 ? 3n ? 1 ,将 n用

? n(n ? 1) ? k ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? 2 ? ? (证明利用 4 方差,原理同上) k ?1
n 3 3 3 3 3

2

3、错位相减法:比如 ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 4、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 :

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

n ? n!? (n ? 1)!?n!

5、分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
2 2 2 2 2 2 6、合并求和法:如求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和。
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 7、倒序相加法:如求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ?? ? sin 89 的和。

8、其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等等 (二)主要方法: 1、求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2、求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3、转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11? 111? ? ? 11 ? 1 ? ? ?
n个

② Sn ? (x ?

1 2 1 1 ) ? (x 2 ? 2 )2 ? ? ? (x n ? n )2 x x x

③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,?前 n 项和 S n 思路分析:通过分组,直接用公式求和。

? 1 ? 1 ? 10 ? 10 ? ? ? 10 ? 解:① ak ? 11 ? ? ?
2 k k个

1 k (10 ? 1) 9

1 1 S n ? [(10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] ? [(10 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? n] 9 9

1 10(10n ? 1) 10n?1 ? 9n ? 10 ? [ ? n] ? 9 9 81
2 ② Sn ? (x ?

1 1 1 ? 2) ? ( x 4 ? 4 ? 2) ? ? ? ( x 2 n ? 2 n ? 2) 2 x x x 1 1 1 ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n x x x

(1)当 x ? ?1 时, S n ?

x 2 ( x 2n ? 1) x ?2 ( x ?2n ? 1) ( x 2n ? 1)(x 2n?2 ? 1) ? ? 2 n ? ? 2n x2 ?1 x ?2 ? 1 x 2n ( x 2 ? 1)

(2)当 x ? ?1 时, S n ? 4n ③

a k ? (2k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? ? ? [( 2k ? 1) ? (k ? 1)] ?

k[( 2k ? 1) ? (3k ? 2)] 5 2 3 ? k ? k 2 2 2

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
1 n(n ? 1)( 5n ? 2) 6

5 2 3 5 n(n ? 1)( 2n ? 1) 3 n(n ? 1) (1 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ? ? 2 2 2 6 2 2

?

总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1讨论。 2、错位相减法求和 例 2.已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2 n?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。
0 2 n?1

思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,?2n-1 与等比数列 a , a, a ,?, a 积,可用错位相减法求和。 解 :

对应项

S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n?1 ?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)Sn ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a3 ? ?? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n


a ? 1时, (1 ? a)S n ? 1 ?

2a(1 ? a n?1 ) ? (2n ? 1) n 2 (1 ? a)

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 (1 ? a) 2

当 a ?1 时, S n ? n 2

3、裂项相消法求和 例 3.求和 S n ?

22 42 (2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
:

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解

(2k ) 2 (2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ak ? ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

练习:求 S n ?

? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 答案: S n ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ? (a ? 1) ? a n (a ? 1) 2 ?

4、倒序相加法求和
0 1 2 n 例 4 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n
m n?m 思路分析:由 Cn 可用倒序相加法求和。 ? Cn

0 1 2 n 证:令 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn

(1) (2)
m n ?m ? Cn ? Cn

n n?1 2 1 0 则 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? 5Cn ? 3Cn ? Cn

0 1 2 n ? (1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? ? ? (2n ? 2)Cn 0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2n

等式成立

5、其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例 5.已知数列 ?an ? , an ? ?2[n ? (?1) n ],求S n 。 思路分析: an ? ?2n ? 2(?1) n ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。 解: an ? ?2n ? 2(?1) n ,若 n ? 2m, 则S n ? S 2 m ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? 2

? (?1)
k ?1

2m

k

S n ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? ?(2m ? 1)2m ? ?n(n ? 1)


n ? 2m ? 1, 则S n ? S 2m?1 ? S 2m ? a2m ? ?(2m ? 1)2m ? 2[2m ? (?1) 2m ] ? ?(2m ? 1)2m ? 2(2m ? 1)

? ?4m 2 ? 2m ? 2 ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 ? ?n 2 ? n ? 2

(n为正偶数) ?? n(n ? 1) ? Sn ? ? 2 ? ? n ? n ? 2 (n为正奇数)
预备:已知 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n , 且a1 , a2 , a3 ,?an 成等差数列,n 为正偶数, 又 f (1) ? n 2 , f (?1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。

1 2

? (a1 ? a n )n ? n 2 ?a ? a ? 2n ? f (1) ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n 2 ? n 2 解: ? ?? ?? 1 n ? d ?2 ? f (?1) ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? n ? d ?n 2 ?
?a ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ?? 1 ? a1 ? 1? an ? 2n ? 1 ? d ?2
f ( x) ? x ? 3x 2 ? 5 x 3 ? ? ? (2n ? 1) x n
1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 f ( ) ? ? 3( ) 2 ? 5( ) 3 ? ? ? (2n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2
1 2

n?2 ? (2n ? 1)( ) n ,∵n 为正偶数,? f ( ) ? 3 可求得 f ( ) ? 3 ? ( )

(四)巩固练习: 1.求下列数列的前 n 项和 Sn :
n (1)5,55,555,5555,?, (10 ? 1) ,?; (2)

5 9

1 1 1 1 , , ,? , ,? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

(3) an ?

1

n ? n ?1 ( 5 ) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),? ; ( 6 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ?? ? sin 89 . n个 n个 ? ? ? 5 ? ? ? 解: (1) S n ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99?9) 9 5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9 1 1 1 1 ? ( ? ), (2)∵ n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? (1 ? ? ? ). ∴ S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 1 n ?1 ? n (3)∵ an ? ? ? n ?1 ? n n ? n ? 1 ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )



(4) a, 2a2 ,3a3 ,?, na n ,? ;

∴ Sn ?

1 1 1 ? ??? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n

? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( n ?1 ? n ) ? n ? 1 ?1 . (4) Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan , n(n ? 1) 当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , 2 当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? na n , aSn ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? ? ? na n ?1 ,
两式相减得 (1 ? a)Sn ? a ? a2 ? a3 ? ? ? a ? na
n n ?1

?

a(1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

na n? 2 ? (n ? 1)a n?1 ? a . (1 ? a)2 (5)∵ n(n ? 2) ? n 2 ? 2n ,
∴ Sn ? ∴ 原式 ? (12 ? 22 ? 32 ? ? ?n2 ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (6)设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2 ? ? sin 2 3 ? ? ??? sin 2 89 ? , 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 又∵ S ? sin 89 ? sin 88 ? sin 87 ? ?? ? sin 1 , ∴ 2 S ? 89 , S ?

n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

89 . 2

2.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 ? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? (n为奇数) ? ? 2 3 所以, Sn ? ? . n n (3 n ? 2) 4(2 ? 1) ? ? (n为偶数) ? 2 3 ?
四、小结:
1、掌握各种求和基本方法; 2、利用等比数列求和公式时注意分 q ? 1或q ? 1讨论。

其实学习数列并不难,只要能熟练掌握以上基本性质和公式灵活运用,多加练习,基本上能 解决高中所有数列问题了。


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