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2016版步步高考前三个月复习数学理科(鲁、京、津专用) 第42练


专题9 系列4 选讲

第42练 坐标系与参数方程

题型分析·高考展望

高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆 的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线 的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程 与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲 线位置关系等解析几何知识.

r /> 常考题型精析 高考题型精练

常考题型精析
题型一 极坐标与直角坐标的互化 题型二 参数方程与普通方程的互化
题型三 极坐标与参数方程的综合应用

题型一 极坐标与直角坐标的互化
直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点, x 轴正半轴 作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单 位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直 角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
?ρ2=x2+y2 ?x=ρcos θ ? ? ,? y y = ρ sin θ ?tan θ= ?x≠0? ? x ?

.

π π π 解析 ∵ρcos(θ+4)=ρcos θcos 4-ρsin θsin 4
2 2 = ρcos θ- ρsin θ=3 2, 2 2 ∴直线l对应的直角坐标方程为x-y=6.

又∵ρsin2θ=8cos θ, ∴ρ2sin2θ=8ρcos θ. ∴曲线C对应的直角坐标方程是y2=8x.
?x-y=6 解方程组? 2 , ?y =8x
?x=2 ?x=18 得? 或? , ?y=-4 ?y=12

所以A(2,-4),B(18,12),
所以|AB|= ?18-2?2+[12-?-4?]2=16 2.
即线段 AB 的长为 16 2.

答案

16 2

点评

(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点

所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.
(2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,

要注意转化的等价性.

变式训练 1

?x= 2cos t (1)已知曲线 C 的参数方程为? ?y= 2sin t

(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 ______________________.
解析
?x= 2cos t 由? (t 为参数), 得曲线 C 的普通方程为 ?y= 2sin t

x2+y2=2.

则在点(1,1)处的切线l的方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0.又x=ρcos θ,y=ρsin θ,

∴l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-2=0.
答案 ρcos θ+ρsin θ-2=0

(2)(2014· 广东 ) 在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和

C2交点的直角坐标为________.
解析 因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,

由ρsin2θ=cos θ,得ρ2sin2θ=ρcos θ,
所以曲线C1的普通方程为y2=x.

由ρsin θ=1,得曲线C2的普通方程为y=1.
?y2=x, ?x=1, 由? 得? ?y=1 ?y=1,

故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).
答案 (1,1)

题型二 参数方程与普通方程的互化
1.直线的参数方程 过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
?x=x0+tcos α, (t为参数). ? ?y=y0+tsin α

2.圆的参数方程 圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为 ?x=x0+rcos θ, ? (θ为参数,0≤θ≤2π). y = y + r sin θ 0 ?

3.圆锥曲线的参数方程
?x=acos θ, x2 y2 (1)椭圆a2+b2=1 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=bsin θ ?x=2pt2, (2)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ?y=2pt

?x=4-2t, ? ?y=t-2

解析

?x=4-2t, 由于直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ?y=t-2

故直线l的普通方程为x+2y=0. x2 2 因为 P 为椭圆 4 +y =1 上的任意一点,

故可设P(2cos θ,sin θ),其中θ∈R. |2cos θ+2sin θ| 因此点 P 到直线 l 的距离是 d= 12+22
2 =
? ? ? π? ? ? ?? 2?sin?θ+4?? ? ? ??

5

.

π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5 2 10 答案 5

点评

参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,

常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等.在参数 方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.

变式训练2

如图,以过原点的直线的倾

斜角 θ 为参数,则圆 x2 + y2 - x = 0 的参数 方程为______________.
解析
? ?1? 1? ? ?2 ?2 2 由题意得圆的标准方程为?x-2? +y =? ?2? , ? ? ? ?

设圆与x轴的另一交点为Q,则Q(1,0), 设点P的坐标为(x,y), 则OP=OQcos θ=cos θ.

? ?x=OPcos θ=cos2θ=1+1cos 2θ, 2 2 ? ∴? 1 ? y=OPsin θ=cos θ· sin θ=2sin 2θ ? ?
? ?x=1+1cos 2θ, 2 2 ? ? 1 ? y=2sin 2θ ? ?

0≤θ<π.

答案

0≤θ<π

题型三

极坐标与参数方程的综合应用

解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注 意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决 与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.

?x=tcos α, ? ?y=tsin α

? 3 3? ? (0,0),? , ? 2? ? 2 ? ; (1)C2与C3交点的直角坐标分别为________________

? 3 ? x= , ?x2+y2-2y=0, ?x=0, ? 2 联立? 2 2 解得? 或? 3 ? ?x +y -2 3x=0, ?y=0, y=2. ? ?

所以 C2 与

? C3 交点的直角坐标为(0,0)和? ? ?

3 3? ? , ?. 2 2?

(2) 若 C1 与 C2 相交于点 A , C1 与 C3 相交于点 B ,则 |AB| 的最

4 大值为________.
解析 曲线 C1 的极坐标方程为 θ = α(ρ∈R , ρ≠0) ,其中 0≤α<π.
? ? ? π? ? ? ?? α|=4?sin?α-3??. ? ? ??

所以|AB|=|2sin α-2 3cos

5π 当 α= 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 6

点评

方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐

标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有 助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉 的目的,这是化归与转化思想的应用.在涉及圆、椭圆的有 关最值问题时,若能将动点的坐标用参数表示出来,借助 相应的参数方程,可以有效地简化运算,从而提高解题的 速度.

变式训练 3

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

?x=2cos α, → ? (α 为参数).M 是 C1 上的动点, P 点满足OP= ?y=2+2sin α

→ 2OM,点 P 的轨迹为曲线 C2.

(1)C2的参数方程为________;
解析 设 P(x,y),则由条件知
?x y? ? M?2,2? ?.由于 ? ?

M 点在 C1 上,

? ?x=2cos α, ?2 所以? ?y =2+2sin α, ? ?2

?x=4cos α, 即? ?y=4+4sin α.

?x=4cos α, 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ?y=4+4sin α.

答案

?x=4cos α, ? (α 为参数) ?y=4+4sin α

π π 射线 θ=3与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 3, π π 射线 θ=3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin3.

π π 射线 θ=3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin3.

所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.
答案 2 3

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结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到
直线的距离再加上半径.
4 圆心(0,4)到直线 y= 3x 的距离为 2 2 =2, ? 3? +?-1?

又圆的半径r=4,所以圆上的点到直线的最大距离为6.

答案 6

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2.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l ?x=t+1, 的参数方程是 ? (t为参数),圆C的极坐标方程是ρ ?y=t-3 =4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为________________. ?x=t+1, 解析 直线 l 的参数方程? (t 为参数)化为直角坐标 ?y=t-3
方程是 y=x-4,

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圆C的极坐标方程 ρ=4cos θ化为直角坐标方程是 x2+y2-
2 圆 C 的圆心(2,0)到直线 x-y-4=0 的距离为 d= = 2. 2 又圆 C 的半径 r=2, 因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2-d2
=2 2.

4x=0.

答案 2 2

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? ?x=3+1t, 2 ? ? 3 ? y= 2 t ? ?

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由 ρ=2 3sin θ,得 ρ2=2 3ρsin θ,

从而有 x2+y2=2 3y, 所以 x2+(y- 3)2=3.

? 1 ? P?3+ t, 2 ?

3? ? t?,又 C(0, 3), 2 ?
? ? 1? ? ?2 ? ?3+2t? +? ? ? ?

? 3 ?2 2 则|PC|= = t +12, t - 3 ? 2 ? 故当 t = 0 时, |PC| 取得最小值,

此时,P点的直角坐标为(3,0).

答案 (3,0)

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(-3 3,-3)
11 解析 点 M 的直角坐标为 x=ρcos θ=6cos 6 π=3 3, 11 y=ρsin θ=6sin π=-3.即 M(3 3,-3), 6
所以它关于 y 轴对称的点为(-3 3,-3).

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?x=1+3t, 5.若直线的参数方程为 ? (t为参数),则直线的倾 ?y=2- 3t

150° 斜角为________.
y-2 - 3t 3 解析 由直线的参数方程知,斜率 k= = 3t =- 3 = x-1 tan θ,

θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为150°.

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?x=3t2+2, 6.将参数方程 ? (0≤t≤5)化为普通方程为 2 ?y=t -1

x-3y-5=0,x∈[2,77] _______________________. 解析 化为普通方程为x=3(y+1)+2,

即x-3y-5=0,由于x=3t2+2∈[2,77],
故曲线为线段.

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?x=cos θ, 1 7.已知曲线 C:? (参数 θ∈R)经过点 (m, ),则 2 ?y=2sin θ

m=________.
解析
?x=cos θ, 将曲线 C:? (参数 θ∈R)化为普通方程为 ?y=2sin θ

2 y x2+ 4 =1,

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1 将点(m,2)代入该椭圆方程,
1 4 2 得 m +4=1,

15 15 即 m = ,所以 m=± . 16 4
2

答案

15 ±4

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8.(2015· 福建改编)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方
?x=1+3cos t, 程为? (t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标 ?y=-2+3sin t

系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负 半轴为极轴)中,直线l的方程为

? π? ? 2ρsin?θ-4? ? =m(m∈R).设 ? ?

圆心C到直线l的距离等于2,则m的值为__________.

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消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
ρsin θ-ρcos θ-m=0.

? π? ? 2ρsin?θ-4? ?=m,得 ? ?

所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0. 依题意,圆心C到直线l的距离等于2,
|1-?-2?+m| 即 =2,解得 m=-3± 2 2. 2 答案 -3± 2 2

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9.在直角坐标系 xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲
?x=t2, 16 线 ? ( t 为参数 ) 相交于 A , B 两点,则 | AB | = ______. 3 y = t ?

解析 将极坐标方程ρcos θ=4化为直角坐标方程得x=4,
?x=t2, 将 x=4 代入? 得 t=± 2,从而 y=± 8. 3 ?y=t

所以A(4,8),B(4,-8).所以|AB|=|8-(-8)|=16.

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?x=2pt2, 10.已知抛物线的参数方程为 ? (t为参数),其中p>0, ?y=2pt

焦点为 F,准线为 l. 过抛物线上一点 M作 l 的垂线,垂足为E. 若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=________. 解析 2px,
所以 y2 M=6p,所以
? p E? ?-2,± ? ? ?p ? ? ? 6p?,F?2,0? ?, ? ? ?

根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2=

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p 所以2+3= p2+6p,

所以p2+4p-12=0,解得p=2(负值舍去). 答案 2

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π 3 由 θ=6(ρ∈R)得,曲线 C2 的直角坐标方程为 y= 3 x.

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3 把 y= x 代入 x2+y2-4y=0, 3

1 2 4 3 4 2 4 3 得 x +3x - 3 x=0,即3x - 3 x=0,
2

解得 x1=0,x2= 3,

∴y1=0,y2=1. ∴|MN|= ? 3?2+1=2.
即线段MN的长为2. 答案 2

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12.已知极坐标系中, 极点为 O, 将点

? π? ? A?4,6? ?绕极点逆时针旋 ? ?

π 转 4 得 到 点 B , 且 OA = OB , 则 点 B 的 直 角 坐 标 为 ______________.
解析 依题意,点 B
? 5π? ? 的极坐标为 ?4,12? ?, ? ?

?π π? 5π ? + ∵cos =cos? ?4 6? 12 ? ?

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π π π π =cos cos -sin sin 4 6 4 6
6- 2 2 3 2 1 = 2 × 2 - 2 ×2= 4 ,
?π π? 5π ? + sin 12=sin ? ?4 6 ? ? ?

π π π π =sin cos +cos sin 4 6 4 6

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6+ 2 2 3 2 1 = 2 × 2 + 2 ×2= 4 ,

6- 2 ∴x=ρcos θ=4× 4 = 6- 2,
6+ 2 y=ρsin θ=4× = 6+ 2. 4
答案 ( 6- 2, 6+ 2)

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