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高二数学同步测试直线与圆锥曲线(一)


高二数学同步测试直线与圆锥曲线(一)
一、选择题

x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( ) 4 4 5 4 10 8 10 A.2 B. C. D. 5 5 5 2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、 B 两点, 且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有

( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 2 3. (浙江)函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a= ( )
1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆

1 1 (C) (D)1 4 2 2 4. (上海)过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐
(A) (B) 标之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 ( C.有无穷多条 ) D.不存在

1 8

5. (山东卷) 设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? , 若 l ? 与椭圆

x2 ?

y2 ?1 4 的


1 交点为 A、B、 ,点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 2 的点 P 的个数为(
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

x2 3 x? ? y 2 ? 1 (a ? 0) 2 2 ,则该双曲线的离心率 6. (全国卷Ⅰ)已知双曲线 a 的一条准线为
为 ( )

3 (A) 2

3 (B) 2

6 (C) 2

2 3 (D) 3

7. (全国卷 III)设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )

2 ?1 (B) 2 (C) 2 ? 2 (D) 2 ? 1 2 2 x y 2 2 8.(湖南卷)已知双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近 a2 线交于点 A,△OAF 的面积为 2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为( ) 2 (A) 2
A.30? B.45? C.60? D.90? 9. (福建卷)已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )

1 A. 2

3 B. 2

7 C. 2
1

D.5

x2 y 2 1 ? ?1 m 10. (广东卷)若焦点在轴上的椭圆 2 的离心率为 2 ,则 m=( 3 8 2 3 (A) (B) 2 (C) 3 (D) 3
二、填空题 11.已知两点 M(1,

)

5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4 2 2 x x ②x2+y2=3,③ +y2=1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2
_________. 12.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 13.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 14.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值.

15.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=

21 的双曲线过点 P(6,6). 3

(1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直 线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论.

2

16.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆 相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直 线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.

17.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q, 且 OP⊥OQ,|PQ|=

10 ,求椭圆方程. 2

3

18.如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为

?
4

的直线 l

与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积.

19. 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2) (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点, 没有交点. (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在.

4

20.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与 椭圆的一个交点为 B, 且|F1B|+|F2B|=10, 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件: |F2A|、 |F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围.

5

直线与圆锥曲线(一) 参考答案
一、选择题 1.. C 2. B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9. C 10.B

二、填空题 11.解析: 点 P 在线段 MN 的垂直平分线上, 判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存 在交点. 答案:②③④ 12.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利 用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 13.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 2 y1 =16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). y ? y2 16 ? ? kAB=8. 即 1 x1 ? x2 y1 ? y 2 故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、解答题 14. 解 : (1) 设 直 线 l 的 方 程 为 : y=x - a, 代 入 抛 物 线 方 程 得 (x - a)2=2px, 即 x2 - 2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-

p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=

x1 ? x2 y ? y2 x1 ? x2 ? 2a =p. ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0 | a ? 2p ? a| ? 2p 点 N 到 AB 的距离为 2

1 ? 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 2 p 当 a 有最大值- 时,S 有最大值为 4 x2 15.解:(1)如图,设双曲线方程为 2 ? a
从而 S△NAB= 解得 a2=9,b2=12.

2 p ? 2 p 2ap ? p 2
2 p2.
y2 62 62 a 2 ? b 2 21 2 ? ? 1 , e ? ? , =1. 由已知得 3 b2 a2 b2 a2

6

x2 y2 ? =1. 9 12 (2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有 ?12 x12 ? 9 y12 ? 108 ? y ? y 2 12 4 4 ?12 x2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 ? 1 ? ? ,∴kl= ? x ? x 9 3 3 1 2 ? x1 ? x2 ? 4 ?y ? y ? 4 2 ? 1 4 ∴l 的方程为 y= (x-2)+2, 3 ?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 y ? ( x ? 2 ) ? 3 ? ∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在. | 2k | 16.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d= =1,解得 k=±1. k2 ?1 即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的
所以所求双曲线方程为 距离为 2 . 设直线 l′:y=kx+m,应有

| 2k ? m | k ?1
2

? 2 ,化简得 m2+2 2 km=2.

② 把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0.可得 m2+2k2=2 ③ ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=

2 m, 代 入 ③ 得 m2=

? mk ? 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ). k2 ?1 17.解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0), P(x1,y1),Q(x2,y2)
7

10 2 5 2 , 解 设 m= ,k= ,此时 5 5 5

?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 mx ? ny ? 1 ? Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴ ①

2(n ? 1) 2n +1=0,∴m+n=2 ? m?n m?n

4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4 ② 1 3 3 1 由①、②式得 m= ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2 2 x 3 3 1 故椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2 18.解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0. ?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0 ? y ? 4x
又2 ① ∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(

2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 19.解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率 存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 * () (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k=

3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2
8

②当Δ >0,即 k<

方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k>

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 2 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 y ? y2 即 kAB= 1 =2 x1 ? x 2 但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在. 20.解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为

3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 综上知:当 k=± 2 ,或 k= ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2 3 当 2 <k< ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2 3 当 k> 时,l 与 C 没有交点. 2

x2 y2 ? =1. 25 9

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 5 4 4 25 4 25 根据椭圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4
(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5 x ? x2 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 1 =4. 2
(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 得? 2 2 ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25 ①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, x ? x2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 即 9× ( 1 2 2 x1 ? x 2
2 2

① ②



x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? x0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? (k ≠ 0) 代 入 上 式 , 得 9 × 4+25y0( - 2 2 x1 ? x 2 k

1 )=0 k
9

(k≠0) 即 k=

25 y0(当 k=0 时也成立). 36

25 16 y0=- y0. 9 9 9 9 16 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,得- <y0< ,所以- 5 5 5 16 <m< . 5
由点 P(4, y0)在弦 AC 的垂直平分线上, 得 y0=4k+m,所以 m=y0-4k=y0- 解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- ③

1 (x-4)(k≠0) k

x2 y2 ? =1,得 25 9 (9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 50( k 0 ? 4) 25 所以 x1+x2= =8,解得 k= y0.(当 k=0 时也成立) 2 9k ? 25 36 (以下同解法一).
将③代入椭圆方程

10


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