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2013年全国高中数学联赛天津市预赛


2013 年全国高中数学联赛天津赛区预赛
试题: 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分.) 1.设函数 = 1 ? 2 ( ? 2 + 2 ?1)考虑命题 p : f ? x ? 是奇函数;命题 q : f ? x ? 是
4

偶函数.那么,以下结论正确的是( ) (A) p, q (B) p, ?q (C) ? p , q (D) ?p , ?q 2.设 B, C 是定点且都不在平面 ? 上, 动点 A 在平面 ? 上且 sin ?ABC ? 迹是( ) (A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线(D)以上皆有可能 3.在 ?ABC 中, BC ? BA ? CB ? CA ,则 ?ABC 是(

1 .那么,A 点的轨 2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)以上均不对 4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 (A)125

S25 S S ? 5 , 45 ? 25 ,则 65 的值是( a23 a33 a43



(B)85(C)45(D)35

5.如果曲线 y ? 2sin (A) ?? ,? ?
2

x 的两条互相垂直的切线交于 P 点,则 P 点的坐标不可能是( 2
(B) ? 3? , ?? ? (C) ? 5? , ?? ? (D) ? 7? , ?? ?



6.如果不等式 x ? x ? 1 ? a 的解集是区间 ? ?3,3? 的子集,则实数 a 的取值范围是( (A) ? ??,7? (B) ? ??,7? (C) ? ??,5? (D) ? ??,5?



二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.若 log2 log8 x ? log8 log 2 x ,则 log4 x 的值是_____________. 8. 设 M 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的动点,又设点 F 和点 P 的坐标分别是 ?1,0 ? 和 ? 3,1? ,则 4 3

2 MF ? MP 的最大值是__________.
2 2 9.已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 1,则 x ? y ? xy 的最大值是____________.

k !? ? ? lim xn 等于___________. 10.设 xn ? ? ? cos ? ,则 n ?? 2013 ? k ?1 ?
2013

n

11.如果 ?1,2,?,9? 的某个非空子集中所有元素之和是 3 的倍数,则称该子集为忐忑子集. 那么,忐忑子集的个数是_____________. 12.在 ?ABC 中,bc ? b2 ? a 2 , 且 B ? A ? 80? , 则内角 C 等于___________ (用度数作答) .
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三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D 为 AC 的中点. (1)证明 AB1 // 平面 BDC1 ; (2)当

AA1 取何值时, AB1 与 BC1 垂直? AB

14.在平面直角坐标系中,设 A, B, C 是曲线 xy ? 1 上三个不同的点,且 D, E, F 分别是

BC, CA, AB 的中点.求证: ?DEF 的外接圆经过原点 O .

3.设 ? , ? 为实数, n 为正整数,且 0 ? ? ? ? ? (1)证明

?
4

, n ? 1.

tan ? ? tan ? ? ? ? ? ,并判断等号成立的条件. 1 ? tan 2 ?

(2)证明

?n
k ?1

n

2

1 ? . ? 2 ?k 4n

解答: 1. B 提示:注意 的定义域是[?1, ) ∪ (0,1],所以 = 1 ? 2 ? (2 ? + = 1 ? 2 ? (? + 2 ?
4 2 ?1

) ),

2 +1 2 ?1

容易看出 是奇函数,不是偶函数. 2. D 提示:满足sin∠ABC = 2的A点轨迹是以B为锥顶,以BC为轴线的一个圆锥面(母线与 轴线的夹角为 30°).现在,A点还需落在平面 π 上,从而其轨迹是圆锥面与平面 π 的 交线,可能是三种圆锥曲线中的任何一种. 3. A 提示:所给数量积等式可转化为 ?
1

+



= 0.若记BC的中点为D,则



+



=2



,从而 ? = 0.这表明BC与中线AD垂直,因此?ABC是等腰三角形.


4. C 提示:由于25 = 25 ? 13 ,所以由已知条件可得13 : 23 = 1: 5,从而23 : 33 = 5: 9, 33 : 43 = 9: 13.现在,65 = 65 ? 33 ,所以65 :43 = 45: 1. 5. C 提示:函数 y ? 2sin 线互相垂直, 则cos
1 2

x 的图像在 = 处的切线斜率为cos ,因此,若1 和2 处的切 2 2
2 2

cos

=-1.不妨设cos

1 2

≤cos 22 , 则从上式可得cos



1 2

=-1, cos

2 2

=1,

即 21 =(2+1)π, 22 = 2,a,b ∈ .进一步,可求出两条切线的交点的坐标为(0 ,
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0 )=(

1 + 2 2



1 ? 2 2

).可见,的横坐标与纵坐标都是π 的奇数倍,且两者之差是 4π

的整数倍.四个选项中只有(C)不符合这一特征. 6. D 提示: 当 ≥ 1时, 原不等式成为 2 -+1-<, 其解集中不含任何≥3的数, 故当≥3时 2 总有 -+1-≥成立,由此得到 ≤ 7. 当 < 1时,原不等式成为 2 +-1-<,其解集中不含任何小于等于-3 的数,故当≤-3时 总有 2 +-1-≥成立,由此得到 ≤ 5. 综上, ∈ (-∞,5]. 7.
3 3 2

提示: 由log2 log 8 =log8 log2 可知(log8 )3 = log2 > 0.令log2 = , 则有(3 )3 = ,
3 3 2



由此解得 = 3 3.从而log4 =

.

8. 1提示:注意 是椭圆的右焦点.椭圆的右准线为: = 4,则2||等于到的距离,过 作的垂线,再过作的垂线,其中、分别为垂足.我们有2 ? = ? ≤ ? = ||, 其中||就是点到右准线的距离, 等于 1, 当的 纵坐标为 1 时取得,本题答案为 1. 9. 1 提示:由于+-= 1- +,可见固定时必定当 尽量大时此式才可取最大值;同 样,固定 时,也应尽量大.因此,不妨设, 均为非负,且 2 + 2 = 1.令+ = , 则由基本不等式 ( + )2 ≤ 2( 2 + 2 ) 可得 t ∈ [1, 2] . 又由 2 = 2 + 2 + 2 = 1 + 2得到 =
( 2 ?1) 2 2 ?1 2 ?1 2
2

,故+- = ?

=1?

≤ 1,且当=1,=0时可取等

号,故所求最大值为 1. 10. 1953 提 示 : 注 意 到 2013 = 3 ? 11 ? 61 ~ , 所 以 当 1 ≤ ≤ 60 时 , 2013 不 为 整 数 , cos
!π 2013 !

∈ ( ? 1,1),从而 limn →∞ cos
! !π 2013 n

= 0.

而当 ≥ 61,2013 为整数,且总为偶数,这时cos 2013 = 1,相应地 limn →∞ cos
!π 2013 n



= 1.

综上可知本题答案为 2013-60=1953. 11. 175 提示:若某个真子集是忐忑子集,则其补集也是忐忑子集.因此,我们只需考虑元 素个数≤ 4的忐忑子集.显然,只有 1 个元集的忐忑子集,总有 3 个;恰有 2 个元素的忐 2 忑子集,共有C3 + 3 ? 3 = 12个;恰有 3 个元素的忐忑子集,共有3 + 3 ? 3 ? 3 = 30个. 对于 4 元子集, 由于其中的 4 个元素被 3 除的余数必有两个相同, 讨论可知只有(0,0,1,2), (1,1,1,0),(1,1,2,2),(2,2,2,0)这四种可能的余数组合.因此,4 个元素的忐忑子集共有
3 2 1 1 1 2 2 C3 ? C3 ? C3 + C3 ? C3 ? 2 + C3 ? C3 = 42(个). 注意全集也是忐忑子集,所以忐忑子集的个数为 2 ? 3 + 12 + 30 + 42 + 1 = 175. 2 12. 60°提示:由 = ? 2 结合正弦定理可得 = 2 ? 2

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=

1 1 1 ? 2 ? (1 ? 2) 2 2 1 = (2 ? 2) 2 = + ? ( ? )

因而 = ? ( ? ).现在 ? = 80° ,故 = 100° , = 20° .从而 = 60° . 13. 取1 1 的中点1 ,则A1 1 为平行四边形,A1 //1 ,从而A1 //平面1 . 又1 1 //,所以1 1 平面 1 . 结合这两个平行关系可知平面1 1 //平面1 ,从而1 //平面1 . 不妨设底棱长为 1,侧棱长为,则我们有
AB

? = ? 2, ?
AB 1

1

AB 1

=

1

? = 0, +

BB 1 CC 1

?

= 2 . ? =
2 2

现在

=

AB

+

1 BC 1

,

=



CC 1

,所以

AB 1 BC 1

AB

+

1

?



+

CC 1

= - 2 + 2 ,

1

令上式为零,既得 =

2 2

,这也就表明 1 =
1



.

14. 方法一不妨设不与、、之中的任何一点重合. 设 ,
1 1

、 ,

1

、 , ,则 的中点的坐标为

1 2

+ c , ( + ) .我们有
2

1 1

1

= .这里 表示直线的斜率,以下同此. 注意//,有 = =
( ? ) (? )
1 1

=- .可见 =- .


1

同理 =- .这样,若从直线旋转到直线 的角为α,从直线旋转到直线 的角为β,则有 ? ? α = = = β 1 + 1 + 即 α = β,故α与β相差π的整数倍.由此即知O、、、 四点共圆,即O在△ 的外接 圆上. 方法二 同上得
1 2

+ c , 2 ( + ) ,并求出的斜率为

1 1

1

1

从而可得的中垂线方程为 ? 4
1 1

+ = ?( ? 4 ( + )).

1

1

同理可求得的中垂线方程为 ? 4
1 1

+ = ?( ? 4 ( + )).

1

1

联立以上两式,便得到和的中垂线之交点坐标 (4 + + ? , 4
1 1 1 1

+ + ? ).

1

1

容易看到,它关于、、是全对称.所以,它也在的中垂线上.该点到O、、、的距 离相等,所以O、、、四点共圆. 15. (1) 方法一 令
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= 则只需证 ≤ 0.注意到

? 1+ 2

? ( ? ),

′() = ?

1+ 2 1+ 2

+ 1 ≥ 0,

可见函数在区间[0, α]上为增函数, ≤ = 0. 进一步,当β ≠ α时, ′ > 0,所以在[0, α)上严格递增,所以等号成立当且仅当β=α. 方法二 左端切割化弦后可整理为? (-) ? .其中? (-) ≤ - ,且 ≤ 1,从 而得证. (2) 方法一 取 ∈ [0, 4 ],使得 = , = 0,1, … , .则由(1)的结果有
? ?1 1+ 2
1 1+( )2







k

< ? ?1 .



< ? ?1 ,也即
n 2 + 2

< ? ?1 .

上式对从 1 到求和,就得到
n
2 2 =1 +

< ? 0 = .
4



从而原不等式获证. 方法二
1 0

注 意 = 1+ 2 在 [0,1] 上 单 调 减 , 所 以 有 定 定 积 分 的 几 何 意 义 可 知
1

1

>

? ( ).两端分别化简就得到原不等式.




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