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1.3空间几何体的表面积与体积


1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【考纲要求】 [学习目标] 1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法. 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积,并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转 换关系. 3.培养学生的空间想象能力和思维能力. [目标解读] 1.求柱体、锥体、台体的表面积与体积是重点; 2.求组合体的表面积与体积是难点. 【自主学习】 1.多面体与旋转体的表面积公式 图形 表面积公式

多面 体

多面体的表面积就是 的面积的和, 也就是 的面积.

圆 柱

底面积:S 底= 侧面积:S 侧= 表面积:S=

旋 转 体 圆 锥 底面积:S 底= 侧面积:S 侧= 表面积:S=

旋 转 体

圆 台

上底面面积:S 上底= 下底面面积:S 下底= 侧面积:S 侧= 表面积:S=

2.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体:柱体的底面面积为 S,高为 h,则 V= (2)锥体:锥体的底面面积为 S,高为 h,则 V= . (3)台体: 台体的上、 下底面面积分别为 S′, S, 高为 h, 则 V= . 特别提醒:柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特征,必要时要展开. 【考点突破】 要点一 柱体、锥体、台体的表面积 1.求柱体、锥体、台体的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像台体的表面积公式 比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是最重要的. 2.在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算出以上旋转体的母线长和底 面圆的半径长. 3.这些公式的推导方法向我们揭示了立体几何问题的解题思路,那就是主要通过空间 概念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题. 典型例题 1、已知四棱锥 S-ABCD 中,各侧面为正三角形,底面为正方形,且各棱长 均为 5,求它的侧面积、表面积. 【思路启迪】 由题意可知,四棱锥的四个侧面为全等的正三角形,底面为正方形. 1 【解】 设 E 为 AB 中点,则 SE ⊥ AB ,∴ S 侧 = 4S △ SAB = 4× ×AB×SE = 2×5× 2 5?2 52-? ?2? =25 3. S 表=S 侧+S 底=25 3+25=25( 3+1).

方法指导:求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台,再通过 这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积,另外有时也会用 到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积. 反馈训练 1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120° 、半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表 面积与侧面积的比是( ) A.3:2 B.2:1 C.4:3 D.5:3 要点二 柱体、锥体、台体的体积 求几何体的体积首先要明确几何体的形状及相应的体积公式, 其次需要计算几何体的底 面积和高.当几何体不规则或直接求体积有困难时,可利用转化思想,采用间接方法,如割 补法等求其体积,也可借助体积公式和图形的性质转化为其他等体积的几何体,再求体积. 典型例题 2、已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面,它的两个顶点是 下底面两边的中点,求棱台被分成两部分的体积的比.

【思路启迪】 注意应用棱台和棱柱的体积公式. 【解】 设棱台上底面△A′B′C′的面积为 S′,棱台的高为 h. 由题意可知:△A′B′C′≌△DBE. ∵△DBE∽△ABC,D,E 分别是 AB,BC 的中点, S△DBE 1 ∴ = .∴S△ABC=4S′. S△ABC 4 1 ∴V 台 ABC-A′B′C′= h· (S′+ S′· 4S′+4S′) 3 1 7 = h· 7S′= h· S′ , 3 3 V 柱 DBE-A′B′C′=S′· h. ∴棱台被分成的两部分体积比为 4:3 或 3:4. 方法指导: 求几何体的体积要分清是由什么几何体构成, 利用相应几何体的体积公式进 行求解. 反馈训练 2、如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点,且 1 PB1= A1B1,则多面体 P-BCC1B1 的体积为( ) 4

8 16 B. C.4 D.16 3 3 要点三 三视图与几何体的表面积与体积 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点, 解决此类问题的 关键是正确地观察三视图,把它还原为直观图,特别要注意从三视图中得到几何体的度量, 再结合表面积或体积公式解题. 典型例题 3、 (2012· 江西卷)若一个几何体的三视图如图所示, 则此几何体的体积为( ) A.

11 9 A. B.5 C. D.4 2 2 【思路启迪】 先根据三视图复原几何体,再根据几何体的特征与体积公式求其体积. 【解析】 由三视图可以判断该几何体为六棱柱,直观图如图所示.

AB=1,AA1=1. VABCDEF-A B C D E

F =4×1=4. 1 1 1 1 1 1

【答案】 D 方法指导:根据三视图首先确定几何体的结构特征,再依据三视图中的数据进行相应 的计算. 反馈训练 3、(1)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32 B.16+16 2 C.48 D.16+32 2 (2)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )

2π A.8- 3

π B.8- 3

C.8-2π

2π D. 3

考点巩固
1.一个圆锥的全面积是底面积的 4 倍,则轴截面的面积是底面积的( ) 15 15 A. 倍 B. 倍 2π π 2 2 2 C. 倍 D. 倍 π π 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则三棱锥 A1-BC1D 的体积为(

)

2 A. 3

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 2

1 3.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何 2 体的俯视图可以是( )

4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80 5.如图是一个正方体,H、G、F 分别是棱 AB、AD、AA1 的中点,现在沿三角形 GFH

所在的平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块的体积是原正方体体积的_____

___.

6.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图,俯视图如图所示,其中 VA=4,AC=2 3,求该三 棱锥的表面积.

7.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等 腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V;

(2)求该几何体的侧面积 S.

8.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,AD=a,BC=2a,∠DCB=60° ,在平 面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB,以 l 为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.

考点巩固-答案
1、解析:设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,高为 h 依题意得 πr2+πrl=4πr2 ∴l=3r,圆锥的高 h= ?3r?2-r2=2 2r S轴 2 2 故 S 轴=r· 2 2r=2 2r2, = . π S底 答案:D 2、解析:三棱锥 A1-BC1D 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 去掉 4 个角得到的,其体积 V 1 1 1 =1×1×1-4× × ×1×1= . 3 2 3 答案:B 3、解析:当俯视图为 A 中正方形时,几何体为棱长为 1 的正方体,体积为 1;当俯视 1 π 图为 B 中圆时,几何体为底面半径为 ,高为 1 的圆柱,体积为 ;当俯视图为 C 中三角形 2 4 1 时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1,体积为 ;当俯 2 1 π 视图为 D 中扇形时,几何体为圆柱的 ,且体积为 . 4 4 答案:C 4、解析:

由该几何体的三视图得出原型为: S 四边形 A B C D =4×2=8,
1 1 1 1

S 四边形 ABCD=4×4=16, 四边形 ADD1A1 与四边形 BCC1B1 为全等的梯形,面积均为:

?2+4?×4 =12,四边形 2

ABB1A1 与四边形 CDD1C1 均为矩形, 其中 BB1= 42+1= 17, ∴面积均为: 4× 17=4 17. ∴该几何体的全面积 S=8+16+12×2+4 17×2=48+8 17. 答案:C 5、解析:因为锯掉的是正方体的一个角,所以 HA 与 AG、AF 都垂直,即 HA 垂直于 三角形 AGF 所在的正方体的上底面,实际上锯掉的这个角,是以三角形 AGF 为底面,H 为 顶点的一个三棱锥,如果我们假设正方体的棱长为 a,则正方体的体积为 a3.三棱锥的底面 是直角三角形 AGF,而∠FAG 为 90° ,G、F 又分别为 AD、AA1 的中点, 1 1 1 1 1 2 ∴AF=AG= a,∴S△AGF= × a× a= a , 2 2 2 2 8 1 又 AH= a, 2 1 1 1 1 ∴锯掉一角的体积为 V= × a× a2= a3, 3 2 8 48 1 ∴锯掉的这块的体积是原正方体体积的 . 48 1 答案: 48 6、解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图,且 VA=VB=VC=4, AB=BC=AC=2 3, 取 BC 的中点 D,连接 VD,则 VD= VB2-BD2 = 42-? 3?2= 13, 1 1 ∴S△VBC= ×VD×BC= × 13×2 3= 39, 2 2 1 3 S△ABC= ×(2 3)2× =3 3, 2 2 ∴三棱锥 V-ABC 的表面积为 3S△VBC+S△ABC=3 39+3 3=3( 39+ 3). 7、解析:

由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为 6 和 8 的矩形, 高为 4 的四棱锥. 设底面 矩形为 ABCD.如图所示, AB=8,BC=6,高 VO=4. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)四棱锥中侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三 角形.

在△VBC 中,BC 边上的高 AB?2 2 ?8?2 h1= VO2+? ? 2 ? = 4 +?2? =4 2. 在△VAB 中,AB 边上的高 BC?2 6?2 h2= VO2+? 42+? ?2?= ?2? =5. 所以此几何体的侧面积 1 1 ×6×4 2+ ×8×5?=40+24 2. S=2×? 2 ?2 ? 8、解:如图,在梯形 ABCD 中,∠ABC=90° ,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB= 60° , BC-AD ∴CD= =2a,AB=CDsin60° = 3a, cos60° ∴DD′=AA′-2AD=2BC-2AD=2a, 1 ∴DO= DD′=a. 2 由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等 高的圆锥. 由上述计算知,圆柱母线长 3a,底面半径 2a,圆锥的母线长 2a,底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1=2π· 2a· 3a=4 3πa2, 圆锥的侧面积 S2=π· a· 2a=2πa2, 圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积 S4=πa2, ∴组合体上底面积 S5=S3-S4=3πa2, ∴旋转体的表面积 S=S1+S2+S3+S5=(4 3+9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V 柱=Sh= π· (2a)2· 3a=4 3πa3. 1 1 3 V 锥= S′h= · π· a2· 3a= πa3. 3 3 3 3 11 3 3 ∴V=V 柱-V 锥=4 3πa3- πa3= πa . 3 3

1.3.2 球的体积和表面积

【考纲要求】 [学习目标] 1.了解球的体积和表面积公式. 2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. 3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力. [目标解读] 1.球的表面积与体积公式的应用是重点; 2.解决球的组合体及三视图中球的有关问题是难点. 【自主学习】 1.球的体积公式是 V 球 = (R 为球的半径). 2.球的表面积公式是 S 球 = (R 为球的半径). 特别提醒:在球的截面中,经过球心的截面是最大的圆. 【考点突破】 要点一 球的表面积与体积 1.球的体积是球体所占空间的大小的度量, 设球的半径为 R, 它的体积只与半径 R 有关, 4 3 是以 R 为自变量的函数即 V= πR . 3 2.球的表面积是对球的表面大小的度量,它也是关于球半径的函数即 S=4πR2. 典型例题 1、(1)已知球的直径为 6cm,求它的表面积和体积; (2)已知球的表面积为 64π,求它的体积; 500 (3)已知球的体积为 π,求它的表面积. 3 【思路启迪】 利用条件确定半径 R 代入相关公式可求. 【解】 (1)∵直径为 6cm,∴半径 R=3cm, ∴表面积 S 球=4πR2=36π(cm2), 4 体积 V 球= πR3=36π(cm3). 3 (2)∵S 球=4πR2=64π,∴R2=16,即 R=4, 4 4 256 ∴V 球= πR3= π×43= π. 3 3 3 4 3 500 (3)∵V 球= πR = π 3 3 方法指导:已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知体积或表面积 也可以求其半径. 反馈训练 1、 (1)把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱,则圆柱的高为 ( ) A.R B.2R C.3R D.4R (2)若两球表面积之比为 4:9,则其体积之比为__ ___. 要点二 球的切接问题 球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体, 主要包括“内切”和“外接”等有关的 问题,像长方体内接于球,正方体内接于球,正四面体内接于球,球内切于正方体,球内切 于正四面体,球内切于圆台等组合体.解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”,作 出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算. 典型例题 2、正三棱锥(三棱锥的底面是正三角形,顶点在底面的投影是底面三角形的 中心)的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全面积和球的表 面积. 【思路启迪】 本题关键是求出球的半径.类比三角形内切圆半径的求法(即分割法), 求出三棱锥内切球半径. 【解】 :如图,过侧棱 PA 与球心 O 作截面 PAE,交侧面 PBC 于 PE.

∵△ABC 为正三角形,易知 AE 既是△ABC 底边 BC 上的高,又是 BC 边上的中线. 作正三棱锥的高 PD,则 PD 过球心 O,且 D 是正△ABC 的中心, 1 1 3 ∵AB=2 6,∴DE= AE= · AB= 2.∴PE= 12+? 2?2= 3. 3 3 2 1 3 ∴S 全=S 侧+S 底=3· · 2 6· 3+ (2 6)2 2 4 =9 2+6 3, 即棱锥的全面积为 9 2+6 3. 以球心为顶点,棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,球半径为 r. 1 1 则 V1+V2+V3+V4= r· S 全= h· S , 3 3 △ABC 3 · ?2 6?2· 1 S△ABC· h 4 ∴r= = = 6-2, S全 9 2+6 3 ∴S 球=4πr2=4π( 6-2)2. 方法指导: (1)与球有关的组合体问题一种是内切,一种是外接,明确切点和接点的位置,并作出 合适的截面图,是确定有关元素间的数量关系的关键. (2)球外接于正方体、长方体时,正方体、长方体的对角线长等于球的直径. (3)球与旋转体的组合,通常作轴截面解题. 反馈训练 2、有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各 条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积.

要点三 球的截面问题 解决球的问题时常常用到球的轴截面,在轴截面图形中,球半径、截面圆半径、球心与 圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.球心是球的灵 魂,抓住了球心就抓住了球的位置. 典型例题 3、已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π,它们位于球心的同一侧,且相距 为 1,求这个球的表面积. 【思路启迪】 要求球的表面积,只需求出球的半径,因此要抓住球的轴截面(过直径 的球的平面). 【解】 如图所示, 设以 r1 为半径的截面面积为 5π, 以 r2 为半径的截面面积为 8π, O1O2 =1,球的半径为 R,OO2=x,那么可得下列关系式:

2 2 2 2 2 r2 2=R -x 且 πr2=π(R -x )=8π, 2 2 2 2 2 r2 1=R -(x+1) 且 πr1=π[R -(x+1) ]=5π, 2 2 2 2 于是 π(R -x )-π[R -(x+1) ]=8π-5π,即 R2-x2-R2+x2+2x+1=3,∴2x=2,即 x

=1. 又∵π(R2-x2)=8π,∴R2-1=8,R2=9,∴R=3. 球的表面积为 S=4πR2=4π×32=36π(平方单位). 方法指导:球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平 面问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来 分析解决问题. 反馈训练 3、 用与球心距离为 1 的平面去截球, 所得的截面面积为 π, 则球的体积为( ) 32π 8π 8 2π A. B. C.8 2π D. 3 3 3

考点巩固
1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的( ) A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 D.3 2倍 2.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍,则圆锥的侧面面积和球的表面 积之比为( )

A.4:3 C.3:2

B.3:1 D.9:4 )

3.某几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为(

4π? 3 A.? ?8+ 3 ?m 4π? 3 C.? ? 4+ 3 ? m

2π? 3 B.? ?8+ 3 ?m 2π? 3 D.? ?4+ 3 ?m

4.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是________.

5.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆 3 锥底面面积是这个球面面积的 , 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体积较大者的高的比 16 值为__________.

6.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻 了一个如图所示的图案, 图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等, 圆锥的顶点在 圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积之 比.

7.一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这容器内注入水并且放入一个半 径为 r 的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多 少.

8.如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到

一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30° )

考点巩固-答案
1、解析:设原来球的半径为 r,变化后的球半径为 r′, ∴4πr′2=2· 4πr2,∴r′= 2r. 4 πr′3 V′ 3 ? 2r?3 ∴ = = 3 =2 2. V 4 3 r πr 3 答案:B 2、解析:作轴截面如图,则 PO=2OD,∠CPB=30° ,CB= 3 PC= 3r,PB= 3

2 3r,圆锥侧面积 S1=6πr2,球的面积 S2=4πr2,S1:S2=3:2. 答案:C 3、解析:该几何体是一棱长为 2 的正方体,上面放了一个半径为 1 的半球,所以其体 2π 2π 积为 23+ =8+ (m3). 3 3 答案:B 4、解析:据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成,如上图所示. 故该几何体的表面积为 S=S 圆柱+S 球=2π+6π+4π=12π. 答案:12π 5、解析:设两圆锥高分别为 h1,h2,(设 h2<h1)球半径为 R,圆锥底面半径为 r,如图, S1S2=2R,AO1=r,且∠S1AS2=90° ,AO1⊥S2S1, ∴AO2 = S O · S O , 1 1 1 2 1 3 2 即 r =h1h2,又∵πr2= 4πR2, 16 3 ? ?h1h2=4R2 3 ∴r= R,∴? 2 ? ?h1+h2=2R 3 1 h2 1 ∴h1,h2 分别为 R, R,∴ = . 2 2 h1 3 1 答案: 3 6、解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 V 圆柱=πr2h,

1 图中圆锥的底面半径为 r,高为 h,则 V 圆锥= πr2h, 3 4 3 球的半径为 r,所以 V 球= πr ,又 h=2r 3 1 4 πr2h?:? πr3?: (πr2h) 所以 V 圆锥:V 球:V 圆柱=? ?3 ? ?3 ? 2 4 3 3 3 ?? ? =? ?3πr ?:?3πr ?: (2πr )=1:2:3. 7、解:设球未取出时高 PC=h,球取出后水面高 PH=x.如图所示,∵AC= 3r,PC =3r,∴以 AB 为底面直径的圆锥容积为 1 1 4 V 圆锥= πAC2· PC= π( 3r)2· 3r=3πr3,V 球= πr3. 3 3 3 球取出后水面下降到 EF,水的体积为 1 V 水= πEH2· PH 3 1 1 = π(PH· tan30° )2· PH= πx3. 3 9 而 V 水=V 圆锥-V 球, 1 4 3 即 πx3=3πr3- πr3,∴x= 15r. 9 3 3 故球取出后水面的高为 15r. 8、解:

如图所示,过 C 作 CO1⊥AB 于 O1. 在半圆中可得∠BCA=90° ,∠BAC=30° ,AB=2R, 3 ∴AC= 3R,BC=R,CO1= R. 2 ∴S 球=4πR2, 3 3π S 圆锥 AO1 侧=π× R× 3R= R2, 2 2 3 3π 2 R×R= R, 2 2 ∴S 几何体表=S 球+S 圆锥 AO1 侧+S 圆锥 BO1 侧 11π 3π 2 11+ 3 2 = R2+ R= πR . 2 2 2 11+ 3 2 故旋转所得几何体的表面积为 πR . 2 S 圆锥 BO1 侧=π×

章末小结
【知识框架】


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