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1.4.1-1.4.2全称量词和存在量词


1.4 .1-1.4.2

全称量词与 存在量词

复 习
思考: 下列语句是命题吗?⑴与⑶,⑵与⑷之间有 什么关系?

⑴x>3;

⑵2x+1 是整数;

⑶对所有的 x∈R,x>3; ⑷对任意一个 x∈Z,2x+1 是整数.

全称量词与全称命题

短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词,用符号“?”。含有全 称量词的命题,叫做全称命题 全称命题:对M中任意一个x,有p(x)成立
?x∈M, p(x) 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”

?

?

?

如: (1)对所有的x∈R, x>3; 可简记为: ?x∈R, x>3; (2)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 可简记为:? x∈Z,2x+1 ∈Z 常见的全称量词: “对一切”、“对每一 个”、“任给”、“所有的”、“任意”、 “每一个”、“全部” 等

讲授新课

例 1 判断下列全称命题的真假. (1)所有的素数都是奇数; 2 (2) ?x ? M , x ? 1 ? 1 ; ( 3 )对每一个无理数 x , x2 也是无理数; (4)每个指数函数都是单调函数. (5)所有有中国国籍的人都是黄种人;

全称量词与全称命题

小 结:
判断全称命题是真命题的方法
——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立 判断全称命题“?x∈M, p(x) ”是假命题的方法 ——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 不成立即可(举反例)

反例否定

讲授新课

思考: 下列语句是命题吗?⑴与⑶, ⑵与⑷之 间有什么关系? ⑴2x+1=3; ⑵x 能被 2 和 3 整除; ⑶存在一个 x0∈R,使 2x0+1=3; ⑷至少有一个 x0∈Z,x0 能被 2 和 3 整除.

存在量词与特称命题

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中 通常叫做存在量词。含有存在量词的命题, 叫做特称命题。
特称命题:
M中存在一个x0,使p(x0)成立

?x0∈M, p(x0) 读作“存在一个x0属于M,有p(x0)成立”

?

如:(3)存在实数 x0 , 可简记为:

?x0 ? R, x0 ? 0

满足x0 ? 0 ;
2

2

常见的存在量词:“有些”、“有一 个”、“有的”, “对某个”等.

讲授新课
例 2 判断下列特称命题的真假.
⑴有一个实数 x0,使 x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ; ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线; ⑶有些整数只有两个正因数; ⑷ ?x0 ? R, x0 2 ? 0 ; ⑸有些数的平方小于 0.
2

小 结:
判断特称命题是真命题的方法

特例肯 定

——只需在集合M中找到一个元素x0,使

得p(x0) 成立即可 (举例说明).
判断特称命题是假命题的方法

——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不 存在.

巩固练习 1.指出下列命题是全称命题还是特称命题并判
断它们的真假.

(1)所有的抛物线与x轴都有两个交点;

全称命题,假命题
(2)存在函数既是奇函数又是偶函数;

特称命题,真命题
( 3) ?x0 ? R, x0
2

? 2 x0 ? 3 ? 0

1 ?2 (4) ?x ? R, x ? 全称命题,假命题 x

特称命题,真命题

(3)用符号“?”“?”表示下列含有量词的命题: ① 实数的平方大于等于0;
② 存在一对实数,使2 x ? 3 y ? 3 ? 0成立.





课本23页 练习 1. 2.


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