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东北三省三校2014届高三第二次联合模拟考试 数学理 Word版含答案


东北三省三校 2014 年高三第二次联合模拟考试
(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)

数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符 合题目要求的。 ) 1. 若 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} ,A ? {1,2,3},B ? {5,6,7},则 (CU A) ? (CU B) = A. {4,8} B. {2,4,,6,8} C. {1,3,5,7} D. {1,2,3,5,6,7}

2. 已知复数 z ? ? A. ?

1 3 ? i ,则 z ? | z |? 2 2
B. ?

1 3 ? i 2 2

1 3 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2

3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c) = P(? ? c ? 2) ,则 c 的值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 已知 p : x ? k,q : A. [2,??)

3 ? 1 ,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围是 x ?1
C. [1,??) D. (??,?1]

B. (2,??)

5. 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

c?b sin A ,则 B= ? c ? a sin C ? sin B

A.

? 6

B.

? 4
2

C.

? 3

D.

3? 4

6. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的值域为 {0,1,2} ,则满足这样条件的函数的个数为 A. 8 B. 9 C. 26 D. 27

7. 已知△ABC 中, BC ? 10, AB· AC ? ?16 ,D 为边 BC 的中点,则 AD 等于 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

8. 函数 h( x) ? 2 sin(2 x ? 可由 h( x ) 经过

?
4

) 的图象与函数 f ( x) 的图象关于点 (0,1) 对称,则函数 f ( x)

的变换得到

A. 向上平移 2 个单位,向右平移 B. 向上平移 2 个单位,向左平移 C. 向下平移 2 个单位,向右平移 D. 向下平移 2 个单位,向左平移

? 个单位 4
? 的单位 4

? 个单位 4 ? 的单位 4

9. 一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成绩,未击中 9 环或 10 环就以 0 环 记。该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a,击中 9 环的概率为 b,既未击中 9 环也未击中 10 环的概率为 c(a,b,c∈ [0,1) ) ,如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为 9 环, 则当

10 1 ? 取最小值时,c 的值为 a 9b 1 11
B.

A.

2 11

C.

5 11

D. 0

10. 已知某算法的流程图如图所示,输入的数 x 和 y 为自然数,若已知输出的有序数对为

(13,14) ,则开始输入的有序数对 ( x, y ) 可能为

A. (6,7)

B. (7,6)

C.

?4,5?

D. (5,4)

x2 y2 11. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 的焦点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)(c ? 0) ,过 F2 的 a b
直线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点。设 F1 B ? F1C ? m , F1 A ? F1 D ? n , 则下列各式成立的是 A. | m |?| n | B. | m |?| n | C. | m ? n |? 0 D. | m ? n |? 0

12. 已知方程 正确的是

| cos x | ? k 在 (0,??) 上有两个不同的解 α、β (? ? ? ) ,则下列的四个命题 x
B. cos2α=2αsin2α D. cos2β=-2βsina2β

A. sin2α=2αcos2α C. sin2β=-2βsin2β

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作 答,第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. 观察下列等式: 13 ? 12 , 13 ? 2 3 ? 32 , 13 ? 23 ? 33 ? 6 2 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 10 2 ,…, 根据上述规律,第 n 个等式为 14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为

15. 在区间 [0,2] 和 [0,1] 分别取一个数,记为 x、y,则 y ? ? x ? 2 x 的概率为
2



16. P 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 对角线 BD1 上的一点, 且 BP= ? BD1 ( ? ? (0,1) ) 。 下面结论: ①A1D⊥C1P; ②若 BD1⊥平面 PAC,则 ? ?

1 ; 3

③若△PAC 为钝角三角形,则 ? ? (0, ) ; ④若 ? ? ( ,1) ,则△PAC 为锐角三角形。 其中正确的结论为 。 (写出所有正确结论的序号)

1 2

2 3

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=5Sn+1 成立。

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 4 | a n | ,求数列 { 18. (本小题满分 12 分) 某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调 查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分。上个月该网站 共卖出了 100 份团购产品, 所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值, 将这些产品按照 得分分成以下几组:第一组[0,2) ,第二组[2,4) ,第三组[4,6) ,第四组[6,8) ,第五组 [8,10],得到的频率分布直方图如图所示。

1 } 前 n 项和 Tn。 bn · bn ? 2

(Ⅰ)分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品。 ①已知甲产品和乙产品均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率; ②某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,设第 4 组中有 X 个产品被购买,求 X 的分布列和数学期望。 19. (本小题满分 12 分) 已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,AC∩BD=O,AA1=2 3 , BD⊥A1A,∠BAD=∠A1AC=60°,点 M 是棱 AA1 的中点。

(Ⅰ)求证:A1C∥平面 BMD; (Ⅱ)求证:A1O⊥平面 ABCD; (Ⅲ)求直线 BM 与平面 BC1D 所成角的正弦值。

20. (本小题满分 1 2 分) 已知圆 M : x ? ( y ? 2) ? 1 ,直线 l : y ? ?1 ,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相
2 2

切。设动圆圆心 P 的轨迹为 E。 (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)定点 A(4,2) ,B,C 为 E 上的两个动点,若直线 AB 与直线 AC 垂直,求证:直 线 BC 恒过定点。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax ? b (a ? 0) x2 ?1

(Ⅰ)求证: f ( x) 必有两个极值点,一个是极大值点,—个是极小值点; (Ⅱ)设 f ( x) 的极小值点为 α,极大值点为 β, f (? ) ? ?1 ,f (? ) ? 1,求 a、b 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 g ( x) ? f (e ) ,若对于任意实数 x, g ( x) ?
x

2 恒 2 ? mx 2

成立,求实数 m 的取值范围。 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD, DC 的延长线交 PQ 于点 Q。

(Ⅰ)求证:AC2=CQ·AB; (Ⅱ)若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD。 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ?
2

2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 1 ? sin 2 ?

4 2 sin ? ? cos?



(Ⅰ)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知 a, b, c ? R,a ? b ? c ? 1 。
2 2 2

(Ⅰ)求证: | a ? b ? c |?

3;
2

(Ⅱ)若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? (a ? b ? c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围。

参考答案 二模理科数学参考答案

题号 答案
3

1 A

2 D
3

3 C

4 B
3

5 C

6 B

7 D

8 A

9 A

10 B 14.

11 C

12 C 15.

13. 1 ? 2 ? ??? ? n ?

n 2 (n ? 1) 2 4

125 2 ? 3
1 4

2 3

16.①②④

17. (Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an ?1 ? 5Sn ?1 ? 1

………2 分 ………4 分

? an?1 ? an ? 5an ?1 ,



an ?1 1 ?? an 4
1 4

∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ?

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4

∴ an ? (? ) n

………6 分

(Ⅱ) bn ? log 4 (? )

1 4

n

? ?n ,

………8 分

所以

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn ? 2 n(n ? 2) 2 ? n n ? 2 ?

………10 分

Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ………12 分 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? ?1 ? ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? ?

18.(Ⅰ)解:第三组的频率是 0.150×2=0.3;第四组的频率是 0.100×2=0.2;第五组的频率 是 0.050×2=0.1 ………3 分

(Ⅱ)①由题意可知,在分层抽样的过程中第三组应抽到 6× 0.5=3 个,而第三组共有 100× 0.3=30 个,所以甲乙两产品同时被选中的概率为 P ? ②第四组共有 X 个产品被购买,所以 X 的取值为 0,1,2
1 1 1 1 2 C3 ? C32 6 C3 C2 ? C2 C2 8 1 P( X ? 0) ? ? ; P ( X ? 1) ? ? ; P ( X ? 2) ? 2 ? ; 2 2 C6 15 C6 15 C6 15 1 C28 1 ? 3 C30 145

………7 分

X
所以 X 的分布列为

0

1

2
………10 分

P

2 8 1 5 15 15

EX ?

8 1 2 ? ?2 ? 15 15 3

………12 分

19. (Ⅰ)证明: 连结 MO

A1M ? MA? ? ? ? MO // A1C ? AO ? OC ? ? ? MO ? 平面BMD ? ? A1C // 平面BMD ? A1C ? 平面BMD ? ? ?
(Ⅱ) BD ? AA1 ,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是 BD ? A1O

………3 分

AC ? BD ? O
? ? ? 1 ? ? ? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? AB ? 2 ? ? ? ? ? ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? A1O ? 平面ABCD ?? cos ?A1 AC ? 60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ? ABCD
?

………7 分 (Ⅲ) 如图建立直角坐标系, A1 (0, 0,3) A( 3, 0, 0)C (? 3, 0, 0) B(0,1, 0) D(0, ?1, 0)

???? ? ???? 3 3 ???? 3 3 A1C1 ? AC ? (?2 3, 0, 0) ? C1 (?2 3, 0,3) M ( , 0, ) MB ? (? ,1, ? ) 2 2 2 2

??? ? ???? ? DB ? (0, 2, 0) BC1 ? (?2 3, ?1,3)
设平面 BC1 D 的法向量为 n ? ( x, y, z )

?

? ??? ? ? ??? ? ? ? ? n ? DB ? 0 ? 2y ? 0 ? n ? DB ? ? ?? ? n ? ( 3,0, 2) ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ?n ? BC1 ? ?n ? BC1 ? 0 ? ??2 3 ? y ? 3z ? 0 ?
???? ? ? 9 cos ? BM , n ?? 4 7
所以,直线 BM 与平面 BC1 D 所成角的正弦值为 20.
2 2 2 (Ⅰ)设 P( x, y ) ,则 x ? ( y ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ? x ? 8 y

………9 分

………11 分

9 7 28

………12 分

………4 分

(Ⅱ)设直线 BC : y ? kx ? b , B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) 将直线 BC 代入到 x ? 8 y 中得 x ? 8kx ? 8b ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?8b ………5 分
2

2

又因为 AB ? ( x1 ? 4, y1 ? 2), AC ? ( x2 ? 4, y2 ? 2) 所以

??? ?

????

??? ? ???? AB ? AC ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( kx1 ? b ? 2)( kx2 ? b ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? [k (b ? 2) ? 4]( x1 ? x2 ) ? (b ? 2) 2 ? 16 ? 0

? ?8b (k 2 ? 1) ?8k [k (b ? 2) ? 4] ? (b ? 2)2 ? 16 ? 0 ? b2 ? 12b ? 16k 2 ? 32k ? 20 ? 0 ? (b ? 6)2 ? 16(k ? 1)2 ? 0 ………8 分

? b ? 4k ? 10 或 ? b ? ?4k ? 2
所以恒过定点 (?4,10) 21. (Ⅰ) f ( x) ?
'

………10 分 ………12 分

a ? x 2 ? 1? ? 2 x ? ax ? b ?

?x

2

? 1?

2

??

ax 2 ? 2bx ? a

?x
2

2

? 1?
2

2

令 f ( x) ? 0 ? ax ? 2bx ? a ? 0 ? ? ? 4(b ? a ) ? 0
' 2

………2 分

? f ' ( x) ? 0 有两实根不妨记为 ? , ?

x
f ' ( x)

? ??, ? ?
?

?
0
极小

?? , ? ?
?
?

?
0
极大

? ? , ?? ?
?
?

f ( x)

?

所以, f ( x) 有两个极值点 ,一个极大值点一个极小值 点
2

………4 分

(Ⅱ) ax ? 2bx ? a ? 0 ,由韦达定理得 ? ? ? ? ?

2b a

f ?? ? ? ?1? ? ?? 2 ? a? ? b ? 1 ? 0 ? ? 2 ? ? 2 ? a ?? ? ? ? ? 2b ? 0 ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? 0 ?? ? 2 f ?? ? ?1 ? ? ? ? ? a? ? b ? 1 ? 0
……6 分

?? ? ? ? 0 ? b ? 0, ? ? ?1, ? ? 1,所以 a ? 2
(Ⅲ) 因为 g ( x) ?

………7 分

2e x ? 0 ,所以 m ? 0 e2 x ? 1

………8 分

又因为当 x ? 0 时,不等式恒成立 所以,原问题 ? m ?

e x ? e? x ? 2 对一切 x ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? 恒成立 x2

法一、设 u ( x) ?

e x ? e? x ? 2 ( x ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? ) x2

?e u ( x) ?
'

x

? e? x ? x 2 ? 2 x ? e x ? e? x ? 2 ? x4

?e ?

x

? e? x ? x ? 2 ? e x ? e? x ? 2 ? x3




h( x ) ? ? e x ? e ? x ? x ? 2 ? e x ? e ? x ? 2 ?

h' ( x) ? ? e x ? e ? x ? x ? ? e x ? e ? x ?



h '' ( x) ? ? e x ? e ? x ? x
当 x ? 0 时, e ? e ,所以 h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, e ? e ,所以 h ( x) ? 0 ,
x
''

?x

x

?x

''

所以 h ( x ) 在 R 上单调递增,又因为 h (0) ? 0
' '

所以当 x ? 0 时, h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, h ( x) ? 0
' '

所以 h( x ) 在 ? ??, 0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 分 所以当 x ? 0 时, u ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, u ( x) ? 0
' '

………10

所以 u ( x ) 在 ? ??, 0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? lim h( x ) ? 1
x ?0

所以 0 ? m ? 1 法二不妨设 x ? 0

………12 分

h( x ) ? ? e x ? e ? x ? ? mx 2 ? 2 h ' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2mx , h '' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2m
当 m ?1 时 , e ? e
x

?

?x

? ? 2 ? 2m , h ( x) ? 0 , 所 以 h ( x) 在 ? 0, ?? ? 上 单 调 递 增 ,
'' '

h' ( x) ? h' (0) ? 0 所以

h( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,所以当 m ? 1 时成立………10 分
2 2 '' 当 m ? 1 时 h ( x) ? 0 得 x ? ln(m ? m ? 1), 令x0 ? ln(m ? m ? 1)

当 x ? ? 0,x0 ? 时 h ( x) ? 0 所以 h ( x ) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h ( x) ? h (0) ? 0 所以
'' ' ' '

h( x) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h( x) ? h(0) ? 0 ,与条件矛盾,同理 x ? 0 时亦如此
综上 0 ? m ? 1 22. (Ⅰ) 12 分

? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为圆O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ? ?ACB ~ ?CQA ? AQ为圆O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC
………5 分 (Ⅱ)

AB / / CD ? ?PAB ? ?AQC

AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?

AP 为圆 O 切线 ? AP 2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3

又因为 AQ 为圆 O 切线 ? AQ 2 ? QC ? QD ? QD ? 分 23. (Ⅰ) C1 : x ? 2 y ? 2 , l : 2 y ? x ? 4
2 2

16 3 3

………10

………5 分

(Ⅱ)设 Q

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离

?

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? 3 3

?

………8 分

当且仅当 ? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 ? ? 2k? ?

?
4
2

( k ? Z )时取等
2 2 2 2 2 2

………10 分

24.解: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a ? b ? c) ? (1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? 3 ∴? 3 ? a?b?c ? 3 分 所以 a ? b ? c 的取值范围是 [ ? 3,

3]

……… 5

(? 1)? 1 ](a ? b ? c ) ? 3 (Ⅱ)同理, (a ? b ? c) ? [1 ?
2 2 2 2 2 2 2

………7 分

若不等式 | x ? 1| ? x ? 1 ? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,
2

则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 (??, ? ] ? [ , ??)

3 2

3 2

………10 分


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