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虚数


虚数
——相关概念 ——几何意义 ——运算法则 (一)相关概念
虚数单位 i : (1)它的平方等于-1,即 i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与它进 行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 复数:形如 a ? bi 的数叫做复数,通常记为 z ? a ? bi(复数的代数形式) , 其中 i 叫虚数单位, a 叫实部, b 叫虚部,数集 C

? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复 数集。 虚数: a ? bi,(b ? 0) 叫做虚数, bi,(b ? 0) 叫做纯虚数。
?实数 (b=0) 数集的关系: 复数Z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?

注意:1、两复数不能比较大小,只有等与不等。 2、i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方程 x2=-1 的另一个根是- i 。 3、 i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1。 4、复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C。

(二)几何意义
点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用 点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复 平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。实轴上的点都 表示实数。 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0, 0) , 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示实数。故除了原点外,虚轴 上的点都表示纯虚数。

拓展 虚数这个概念一直困扰着我。就和神秘的常数 e 一样,大多数解释都无非是以下两种套路: 它是一个数学概念,用来套套公式就行。 它在高等物理里面才会用到,所以别担心,到大学你就明白了。 如此教学怎么能激发出孩子学习数学的热情呢!所以今天我们将借助以下几种工具来攻克虚数这个概念: 关注数学概念间的联系,而非公式。 将虚数概念的引进看做 数学系统的扩展,就像 零、小数、负数的概念一样。 还有我们的秘密武器:类比式的学习。我们将从虚数的前辈,负数开始讨论。负数与虚数的比较如下:

如果这会儿还看不懂,那就暂时先放一边。到最后我们会把一切都弄清楚的。 情景回放: 我们真的理解负数吗? 负数的概念并不简单。想象自己是 1700 年的一个欧洲数学家。你有 3 和 4,你可以知道 4-3=1.很简单。 但是 3-4 该怎么办?这个运算到底什么意思呢?你怎么能从 3 头牛中拿走 4 头牛?你如何拥有比 没有还 少的东西? 负数曾被认为荒谬之极,它“玷污了整个等式理论”(Francis Maseres, 1759)而今天,认为负数不合逻辑而 且没用才是荒谬的。问问你数学老师负数有没有颠覆数学的根基。 为什么呢?我们创造了一个 有用的 理论数。 负数看不见摸不着, 但是却能很好地描述一些特定的关系 (如 债务)。所以它是有用的。 比如说“我欠你 30”,如果要记下来的话,我会写下“-30”,说明我欠了钱。 如果我挣了钱,还了债,(-30+100=70)我可以很容易把交易过程记录下来,现在我有+70,说明我没有 欠债。 正数和负数自动地跟随着方向,你不必特意去描述每次交易的作用。计算也变得更简单,更优雅。负数是 否是“有形的”并不重要,它很有用处,也成为了我们日常计算的一部分。 但负数概念的却来之不易:这是一场宏大的思想变革,即使是欧拉,发现了 e 常数及其他伟大成就的数学 巨人,也不能像今天的我们一样理解负数。 今天我们的孩子需要理解数百年前困扰过古代数学家的数学概念, 这说明了我们的理解力还有很大的潜能。 直面虚数 虚数有着相似的身世。我们很容易求出这样的方程解: 答案是 3 和-3 。但是假如有个家伙在方程里面加一个小小的负号: 很多人第一次看到这个方程的时候都懵了。你想让一个数的平方小于零?太荒唐了! 看起来的确很疯狂, 就像 负数, 零, 无理数, 刚进入人们视野时一样。 这个方程看起来毫无意义, 不是吗? 你错了。所谓的“虚数”和其他数一样正常,它们同样是描述世界的工具。只要 -1,0.3,和 0 存在,就让我 们假设存在一个数使得

一个数乘以它本身等于-1,这是怎么回事呢? 好吧,这确实有点头疼。“让我们假装它存在”的把戏的确让数学变得简单又优雅。新的逻辑可以更轻松地 描述某个概念。 你可能不接受 i 的存在,就像当年那些古板的数学家不接受-1 一样。 新颖,费脑的概念总是不能立即被人理解,即使他是欧拉。但如同负数那样,这些陌生的概念仍然有它的 用处。我不喜欢管它叫“虚数”,这简直是种侮辱、讽刺,令人扫兴。数字 i 和别的数字一样,但是“虚数” 的叫法沿袭下来,所以我们还是如此称呼它。

负数和复数的图形化理解 等式 x^2=9 意味着:

变换 x 为何值时,经过两次变换能将 1 变成 9? 答案是"x=3"和"x=-3"。 现在看看方程 x^2=-1,经过什么变换 x 两次后,1 变成了-1? 把一个正数平方显然不对,因为结果是正数。 把一个负数平方也不对,两个负数相乘结果会翻转成正数。 但如果进行的是旋转变换呢!听起来不靠谱,但是想象一下 x 代表“旋转 90 度”,经过两次 x 变换可以得到 一个 180 度的旋转,正好把 1 翻转成-1!

再想想,我们还可以从其他方向讲 1 变成-1 ,“负”旋转或者乘以 -i

如果我们两次 乘以 -i,就会把 1 变成 -i ,把 -i 变成 -1 所以-1 的平方根是 i 和 - i。 看上去很酷。我们已经有了方程的解,但是它有什么用呢? i 是用来衡量数字 的一个“新的虚构维度” i 或-i 代表了经过旋转后的数字。 乘以 i 代表 旋转逆时针 90 度 乘以 -i 代表旋转顺时针 90 度 经过同一方向的两次旋转后结果为 -1 ,回到了只有正数和负数的”正常“维度。

数字是二维的。有点伤脑筋,想当年分数和长除法也让古罗马的人伤透了脑筋(1 和 2 之间才不会还有数 字呢!)。 当我们提问”如何用两步把 1 变成-1 ?“,我们已经有了答案:经过两次 90 度旋转。这是一种思考数字的全新 视角。但是它很管用(顺便提一下,复数运算的几何意义在复数出现几十年后才被发现)。出于习惯我们 规定逆时针旋转 90 度为正。

找规律 我们再深入一点。当你连乘一个负数(如-1),你会得到形如: 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1 的数列 因为-1 不会改变数字的大小,只会改变符号,运算结果会在正负间不来回变换。对于任意数“x”,你可以 得到数列: x, -x, x, -x, x, -x…

数 x 可以代表周期,假设周期在 好坏之间来回变换,如果此时是一个好的周期,那么 47 个周期之后会是 好还是坏呢?

-x 代表了坏周期。注意负数是如何保持符号的——我们把 -1^47 按进计算器里而不需要掰着手指头算(老 外真 SB。) 现在如果我们连乘 i 会怎么样呢?

对数列求值

(三次逆时针旋转等于一次顺时针旋转)

(四次旋转得到一个完整的周期)

(新的周期) 表达成图形就是:

四个旋转为一周期。明白了吗?小孩子都知道 4 个转向与没转时方向一样。在看下面这个数列: X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

如同负数的翻转模式一样,虚数可以使一个数在两个维度“X”和"Y"之间旋转。 理解复数 一个数有可能即是“实”的,又是“虚”的吗? 当然。谁说我们只能转 90 度?如果我们有一个数它是实部为 1,虚部也为 1,看上去是这样:

我们就有了一个 45 度角,它的实部和虚部大小相等。 事实上我们可以用虚数和实数的结合来代表角度。这个角 的意义是“旋转角”。既有实部又有虚部的数称为 复数,写作 a+ib 的形式。 a 是实部,b 是虚部。

看上去不错,但还有一个问题:如何衡量复数的大小?我们没法单独 计算实部和虚部的大小,因为这样不能从整体上衡量复数。 让我们退一步想想。负数的大小也不是掰着手指头数出来的——它代表了负数和零点间的距离。负数的大 小计算如下:

也即计算绝对值,那么对于复数而言,如何计算两个相差 90 度的部分呢?当然是毕达哥拉斯定理。我们讲 实部和虚部构造成一个直角三角形,其斜边就是到原点的距离:

计算复数的大小虽然没有“去掉负号”那样简单,但是复数的大小很有用处。请看一个列子。 一个实例:旋转 不用等到学大学物理时再使用复数运算,今天我们就搞定它。关于复数的乘法可讲的内容很多,但是请记 住一点:乘以一个复数就是按照复数的角度进行旋转。

我们来看一个例子:假设我有一艘船,船头朝向偏东 3 个单位而偏北 4 个单位的方向。如果我逆时针旋转 我的船头 45 度, 现在我的船头朝向哪里? 某高手也许会用三角函数去解出这道题目,但这里我们会选用一种更简便的方法:我的船正处于 3+4i 方 向(不必在意角度到底是多少),需要正传 45 度。好,45 度角的复数形式是 1+ i ,用它乘以原来的方向 就行啦!

解题思想是这样的: 原方向:向东 3 个单位,向北 4 个单位=3 + 4i 逆时针旋转 45 度= 乘以 1+i 两个复数相乘得到:

所以新的船头方向是向西 1 个单位(向东-1 个单位),向北 7 个单位。 惊讶吧,我们用了十秒钟就算出来的,甚至不用正弦余弦运算,也不用考虑向量、矩阵、象限等概念。仅 仅使用了算数中的交叉相乘。虚数天生适合表达旋转。 计算的结果也十分有用,我们得到一个方向(-1,7),而不是一个角度(atan(7/-1),第二象限)这个角度 和难用量角器画出来,却可以用坐标轻松地表示出来。 如果你和我一样,你会觉得这个方法简直太过瘾了。如果不是,额,恐怕数学不适合你,孩子。

运算法则
1.复数的加法运算及几何意义 复数的加法法则: z1 ? a ? bi与Z2 ? c ? di ,则 Z1 ? Z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 。 复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满 足平行四边形、三角形法则) 2.复数的减法及几何意义 类比实数, 规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若 Z1 ? Z ? Z 2 , 则 Z叫做 Z2减去Z1的差,记作Z ? Z2 ? Z1 。 复数的减法法则及几何意义: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,复数的减 法运算也可以按向量的减法来进行。 3.复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 。 4.复数的除法法则:
(a ? bi) ? (c ? di) ? a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

其中 c ? di 叫做实数化因子 5.共轭复数: 两复数 a ? bi与a ? bi 叫做互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。

小结:1、两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加 减运算都可以按照向量的加减法进行。 2、两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数。


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