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湖南省衡阳市2016


湖南省衡阳市 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考试题(文科实验班)
注意事项: 1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第一次月考试卷,分两卷。其中共 22 题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后,考生禁止入场, 监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用 2B 铅笔填涂,非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并 交回。 ★预祝考生考试顺利★ 第 I 卷 选择题(每题 5 分,共 60 分) 本卷共 12 题,每题 5 分,共 60 分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。 1.已知命题 p:对任意 x∈R,总有 3 ≤0;命题 q:“x>2”是“x>4”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.¬ p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q
x



2.设 F1,F2 为双曲线 A.1 B.
2 x

=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足 C. ) D.2

=0,则△F1PF2 的面积是(



3.设 f(x)=3x e ,则 f′(2)=( A.12e B.12e C.24e D. 24e 4.直线 y ? kx ? 1? k ? R ? 与椭圆 A. ?1, ?? ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1 恒有两个公共点,则 m 的取值范围为( 5 m
C. ?1,5? ? ?5, ??? )



B. ?1, ?? ? =(

D. ?1,5? ? ?5, ???

5.已知 i 为虚数单位,则 A.2+i B.﹣2+i
x

C.2﹣i D.﹣2﹣i
2

6.已知函数 f(x)=2 ﹣5,g(x)=4x﹣x ,给下列三个命题: p1:若 x∈R,则 f(x)f(﹣x)的最大值为 16; p2:不等式 f(x)<g(x)的解集为集合{x|﹣1<x<3}的真子集; p3:当 a>0 时,若? x1,x2∈[a,a+2],f(x1)≥g(x 2)恒成立,则 a≥3, 那么,这三个命题中所有的真命题是( A.p1,p2,p3 B.p2,p3 C.p1,p2 ) D.p1

7.如表是某厂 1﹣4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5 )

由散点可知,用水量 y 与月份 x 之间由较好的线性相关关系,其线性回归方程是 =0.7x+a,则 a 等于( A.5.1 B.5.2 C.5.3 D.5.4
0

8.设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相交于点 O .所成的角为 60 的直线 A1B1 和 A2 B2 ,使 AB 1 . B1 和 A2 . B2 分别是 1 1 ? AB 2 2 ,其中 A 这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( A. ( )

2 3 2 3 , 2] B. [ , 2) 3 3

C. (

2 3 2 3 , ??) D. [ , ??) 3 3

9.已知函数 y=f(x)的定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(﹣x)(其中 f′(x)是 f(x)的导函数),若 a= f( ),b=(lg3)f(lg3),c=(log2 )f(log2 ),则( )

A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b 10.函数 f ( x) ?

x 的图象大致是 1 ? x2

1

11.已知定义域为 {x | x ? 0} 的偶函数 f ( x ) ,其导函数为 f '( x) ,对任意正实数 x 满足 xf '( x) ? ?2 f ( x) ,若 g (x) ? x 2 f (x ) ,则 g (x) ? g (1 ?x) 的解集是( A. ( , ??) ) B. (??, )

1 2

1 2

C. (??, 0) ? (0, )

1 2

D. (0, )

1 2

12.已知面积为 S 的凸四边形中,四条边长分别记为 a1,a2,a3,a4,点 P 为四边形内任意一点,且点 P 到四边的距离分别记为 h1,h2,h3,h4,若

=

=

=

=k,则 h1+2h2+3h3+4h4=

类比以上性质,体积为 y 的三棱锥的每个面的面积分别记为 Sl,S 2,S3,S4,此三棱锥内任一点 Q 到

每个面的距离分别为 H1,H2,H3,H4,若 A. B. C. D.

=

=

=

=K,则 H1+2H2+3H3+4H4=(



第 II 卷 非选择题(共 90 分) 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.对于抛物线 C, 设直线 l 过 C 的焦点 F, 且 l 与 C 的对称轴的夹角为 . 若 l 被 C 所截得的弦长为 4, 则抛物线 C 的焦点到顶点的距离为 .

14.已知点 P 是椭圆

(a>b>0,xy≠0)上的动点,F1(﹣c,0)、F2(c,0)为椭圆对左、右焦点,O 为坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的 .

角平分线上的一点,且 F1M⊥MP,则|OM|的取值范围是 15.下列说法正确的有 (只填序号)

①函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点个数为 0 或 1; ②设函数 f(x)=x +(2a﹣1)x+4,若当 x1<x2,x1+x2=0 时,总有 f(x1)>f(x2),则 ③ 时,函数 y=lg(x2+x+a)的值域为 R;
2



④与函数 y=f(x)﹣2 的图象关于点(1,﹣1)对称的图象对应的函数为 y=﹣f(2﹣x). 16 .对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数,f″是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数 都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现,求:函数 对称中心为 .
3 2

三.解答题(共 6 题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分) 已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2+ax+1>0 对? x∈R 恒成立,若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动. 为了解本次考试学生的某学科成绩情况, 从中 抽取部分学生的分数 (满分为 100 分, 得分取正整数, 抽取学生的分数均在 ?50,100? 之内) 作为样本 (样 本容量为 n) 进行统计. 按照 ?50,60? , ?60,70? ,?70,80? ,?80,90? ,?90,100?

的分组作出频率分布直 方图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在 ?50,60? , ?90,100? 的数据).

2

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“省级学科基础 知识竞赛”,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 ?90,100? 内的概率.

19.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A、B 两点,|AB|=2.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P 是椭圆 C 上的动点,且直线 PA,PB 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,是否存在点 P,使得以 MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存 在,求出点 P 的横坐标;若不存在,说明理由.

20.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x ﹣alnx(常数 a>0). (1)当 a=3 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)在区间(1,e )上零点的个数(e 为自然对数的底数).
a 2

21.(本题满分 12 分)
3

x2 y 2 3 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , P(?2,1) 是 C1 上一点. a b 2
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 A, B, Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于 AB 的直线 l 交 C1 于异于 P, Q 的两点 C , D ,点 C 关于原点的对称点为 E , 证明:直线 PD, PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形.

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax2+lnx(a∈R). (1)当 a= 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)如果函数 g(x),f1(x),f2(x),在公共定义域 D 上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称 g(x)为 f1(x),f2(x)的“活动 函数”.已知函数 动函数”,求 a 的取值范围. +2ax.若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活

4

2017 年上期高二年级文科实验班第一次月考数学参考答案 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 A 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 B

13. 14.(0,c) 15.①②④ 16.( ,1) 17.∵y=ax 在 R 上单调递增, ∴a>1; 又 a>0,不等式 ax2+ax+1>0 对? x∈R 恒成立, ∴△<0,即 a ﹣4a<0,∴0<a<4, ∴q:0<a<4. 而命题 p 且 q 为假,p 或 q 为真,那么 p、q 中有且只有一个为真,一个为假. ①若 p 真,q 假,则 a≥4; ②若 p 假,q 真,则 0<a≤1. 所以 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞). 18.
2

19. (Ⅰ)由题意可得 e= = 又 a2﹣c2=1,解得 a=2,c= 即有椭圆的方程为 +y =1; +n2=1,
2

,2b=2,即 b=1, ,

(Ⅱ)设 P(m,n) ,可得 即有 n2=1﹣ ,

由题意可得 A(0,1),B(0,﹣1),设 M(4,s),N(4,t), 由 P,A,M 共线可得,kPA=kMA,即为 可得 s=1+ , = , = ,

由 P,B,N 共线可得,kPB=kNB,即为 可得 s= ﹣1.

假设存在点 P,使得以 MN 为直径的圆经过点 Q(2,0).
5

可得 QM⊥QN,即有 即有[1+ ][

?

=﹣1,即 st=﹣4. ﹣1]=﹣4,

化为﹣4m2=16n2﹣(4﹣m)2=16﹣4m2﹣(4﹣m)2, 解得 m=0 或 8, 由 P,A,B 不重合,以及|m|<2,可得 P 不存在. 20.(1)当 a=3 时,f(x)=x ﹣3lnx, ∴f'(x)=2x﹣ ∴fˊ(1)=﹣1 又∵f(1)=1, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1). 即 x+y﹣2=0. (2)①下面先证明:e >a(a≥0). 设 g(a)=e ﹣a(a≥0),则 g′(a)=e ﹣1≥e ﹣1=0(a≥0),且仅当 g′(a)=0?a=0, 所以 g(a)在[0,+∞)上是增函数,故 g(a)≥g(0)=1>0. 所以 e ﹣a>0,即 e >a(a≥0). ②因为 f(x)=x ﹣a lnx, 所以 f′(x)=2x﹣ = .
2 a a a a 0 a 2

因为当 0<x< 又

时,fˊ(x)<0,当 x> <ea,

时,1,fˊ(x)>0.

<a<ea<e2a(a≥0,a<2a)? ]上是减函数,在[ )=

所以 f(x)在(0, 所以 f(x)min=f(

,+∞)是增函数.

(3)下面讨论函数 f(x)的零点情况. ①当 ②当 >0,即 0<a<2e 时,函数 f(x)在(1,ea)上无零点; =0,即 a=2e 时, = ,则 1< <e
a

而 f(1)=1>0,f(
a

)=0,f(ea)>0,

∴f(x)在(1,e )上有一个零点; ③当 <0,即 a>2e 时,ea> )=
2 a a

> <0.

>1,

由于 f(1)=1>0,f(
a 2a a 2a

f(e )=e ﹣a lne =e ﹣a =(e ﹣a)(e +a)>0, 所以,函数 f(x)在(1,e )上有两个零点 .(13 分) 综上所述,f(x)在(1,e )上有结论: 当 0<a<2e 时,函数 f(x)有、无零点; a=2e 时,函数 f(x)有一个零点; 当 a>2e 时,函数 f(x)有两个零点.
a a

21.(Ⅰ)

x2 y 2 ? ?1 8 2
1 1 .设直线 l 的方程为: y ? x ? t . 2 2

2)由题设知 A, B 的坐标分别为 (?2, ?1),(2,1) .因此直线 l 的斜率为

6

1 ? y ? x?t ? ? 2 2 2 由? 2 得: x ? 2tx ? 2t ? 4 ? 0 ,当 ? ? 0 时,不妨设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,于是 x1 ? x2 ? ?2t , x1 x2 ? 2t 2 ? 4 ,分别设直线 PD, PE 2 x y ? ? ?1 ? 2 ?8
的斜率为 k1 , k2 ,则

k1 ? k2 ?

y2 ? 1 ? y1 ? 1 ( y2 ? 1)(2 ? x1 ) ? (2 ? x2 )( y1 ? 1) ,则要证直线 PD, PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形,只需证 ? ? x2 ? 2 ? x1 ? 2 (2 ? x2 )(2 ? x1 )

( y2 ?1)(2 ? x1 ) ? (2 ? x2 )( y1 ? 1) ? 0 ,而 ( y2 ?1)(2 ? x1 ) ? (2 ? x2 )( y1 ? 1) ? 2( y2 ? y1 ) ? ( x1 y2 ? x2 y1 ) ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? x1 ? x1x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? 4 ? ? x1x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?2t 2 ? 4 ? 2t 2 ? 4 ? 0 ,所以直线
PD, PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形.

22.(1)当

时,





对于 x∈[1,e],有 f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数, ∴ , .

(2)在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活动函数”,则 f1(x)<f(x)<f2(x) 令 且 h(x)=f1(x)﹣f(x)= <0,对 x∈(1,+∞)恒成立, <0 对 x∈(1,+∞)恒成立,



1)若

,令 p′(x)=0,得极值点 x1=1,



当 x2>x1=1,即

时,在(x2,+∞)上有 p′(x)>0,

此时 p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p(x)∈(p(x2),+∞),不合题 意; 当 x2<x1=1,即 a≥1 时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有 p(x)∈(p(1),+∞),也不合题意; 2)若 ,则有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 p′(x)<0,

从而 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 p(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 所以 ≤a≤ . ,

又因为 h′(x)=﹣x+2a﹣

=

<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,

h(x)<h(1)= 综合可知 a 的范围是[

+2a≤0,所以 a≤ , ].

7


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