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2016高考数学(新课标人教版)一轮总复习课件:第七章立体几何与空间向量 7


第七章 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与 平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定 理(包括三垂线定理). 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与 平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何中的应 用. 5.能用向量法解决空间的距离问题. [要点梳理] 1.用向量证明空间中的平行或垂直 (1)直线的方向向量:直线的方向向量就是指和这条直线所 平行 或共线)的向量,显然一条直线的方向向量有 对应向量_____( 无数 个. _____ (2)若直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α 无数 个,它们是_____ 共线 的法向量,显然一个平面的法向量也有_____ 向量. 质疑探究:在求平面法向量时,所列方程组中有三个变 量,但只有两个方程,如何处理? 提示:给其中某一变量恰当赋值,求出该方程组的一组非 零解,即可以作为平面法向量的坐标. (3)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2 重合)?v1∥v2. ②设直线 l 的方向向量为 v ,与平面 α 共面的两个不共线向 量v1和v2,则l∥α或l?α?存在两个实数x,y使v=xv1+yv2. ③设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或 l? α?v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β?u1∥u2. (4)用向量证明空间中的垂直关系 ① 设 直 线 l1 和 l2 的 方 向 向 量 分 别 为 v1 和 v2 , 则 l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2=0. ②设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则 l⊥α?v∥u. ③ 设 平 面 α 和 β 的 法 向 量 分 别 为 u1 和 u2 , 则 α⊥β?u1⊥u2?u1·u2=0. 2.用向量计算空间角和距离 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所 成的角θ满足cos θ=|cos〈m1,m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则 直线l与平面α所成角θ满足sin θ=|cos〈m1,m2〉|. (3)求二面角的大小 a.如图①,AB、CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂 → → 直的直线,则二面角的大小 θ=〈AB,CD〉 . b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面 α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos〈n1,n2〉或π -cos〈n1,n2〉. c.点面距的求法 如图, 设 AB 为平面 α 的一条斜线段, n 为平面 α 的法向量, 则 B 到平面 α 的距 → |AB· n| 离 d= |n| . [基础自测] 1.(2015· 西安模拟 )若直线l的方向向量为a=(1,-1,2), 平面α的法向量为u=(-2,2,-4),则( A.l∥α C.l? α [解析] B.l⊥α D.l与α斜交 因为直线l的方向向量a=(1,-1,2)与平面α的法向 ) 量u=(-2,2,-4)共线,则说明了直线与平面垂直. [答案] B 2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(- 2,-4,k),若α∥β,则k等于( A.2 C.4 ) B.-4 D.-2 [ 解析] [ 答案] 1 2

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