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1.1.1 任意角


第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角

跳水运动员向内、向外转体两周半,这是多大角度?

体操中有转体两周或 转体两周半,如何度 量这些角度呢?

经过1小时,秒针、分针各转了多少度?

在齿轮转动中,被动轮与主动轮是按相反方向旋 转的. 一般地,一

条射线绕其端点旋转,既可以按逆时 针方向旋转,也可以按顺时针方向旋转.你认为将一 条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角, 与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等?

1.推广角的概念,引入大于360°的角和负角.

2.理解并掌握正角、负角、零角的定义.(重点)
3.理解任意角以及象限角的概念.(重点)

4.掌握所有与角α 终边相同的角的表示方法.(难点)

一、任意角的概念
上述这些例子有的角不仅不在0°~360°范围内, 而且有方向,如何解决这一问题呢? 将角的概念及范围推广. 想想用什么办法才能推广到任意角? 关键是用运动的观点来看待角的变化.

1.角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形叫做角.

终边
B

顶点
O A

始边

2.角的构成要素

B 终边

方向 始边

O
顶点

A

规定: 正角:按逆时针方向旋转形成的角 任 意 角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:一条射线没有作任何旋转形成的角

这样,我们就把角的概念推广到了任意角.

【回归生活】
1.从中午12点到下午3点,

-90° 时针走过的角度是_______.
2.钟表经过4小时,时针与 -120°、-1 440° 分针各转了________________.

看谁答得快

二、象限角 思考1:为了进一步研究角的需要,我们常在直角 坐标系内讨论角,并使角的顶点与原点重合,角的

始边与x轴的非负半轴重合,那么对一个任意角,
角的终边可能落在哪些位置? 答案:x轴上、y轴上或者 x轴、y轴之间的区域内
y

o

x

思考2: 如果角的终边在第几象限,我们 就说这个角是第几象限角;如果角的终边 在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一 个象限,或称这个角为轴线角.

那么下列各角:-50°,405°,210°,
-200°,-450°分别是第几象限角?

y x
O O

y 210° x

y x

-50°

O

405°

第四象限角
y x
O

第一象限角
y x

第三象限角

O

-200°

-450°

第二象限角

轴线角

思考3:锐角与第一象限角是什么关系?

钝角与第二象限角是什么关系?
直角与轴线角是什么关系? 锐角一定是第一象限角,第一象限角不一定是锐角. 钝角一定是第二象限角,第二象限角不一定是钝角. 直角一定是轴线角,轴线角不一定是直角.

思考4:第二象限角一定比第一象限角大吗? 象限角只能反映角的终边所在象限,不能反

映角的大小.

三、终边相同的角 思考1: -32°,328°,-392°是第几象限角? 这些角有什么内在联系? -32°,328°,-392°都 是第四象限的角,它们的 终边相同. o y
328°

x -392° -32°

思考2:所有与-32°角终边相同的角,连同 -32°角在内,可构成一个集合S,你能用描 述法表示集合S吗?

S ? ? ? ? -32 ? k ? 360 , k ? Z
o o

?

?

思考3:一般地,所有与角α终边相同的角,

连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示?
S={β|β=α+k·360°,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α 与整数个周角的和.
终边相同的角不一定相等,但相等的角终边 一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360°的整数倍

例1.在0°~360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的 角,并判定它是第几象限角.

关键是通过加减360°的整
数倍,在0°~360°范围 内找到终边相同的角.

思考4:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴正

半轴、负半轴上的角分别如何表示? 终边在x轴正半轴:α= k·360°,k∈Z ;
终边在x轴负半轴:α= 180°+k·360°,k∈Z ;

终边在y轴正半轴:α= 90°+k·360°,k∈Z ;
终边在y轴负半轴:α= 270°+k·360°,k∈Z .

例2.写出终边在y轴上的角的集合. 解:在0°~360°范围内,终边在y轴上的角有 两个,即90°,270°角(如图).因此,所有 与90°角终边相同的角构成集合 S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}, 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z},

于是,终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z} ∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z} ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z} ∪{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z} ={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.

例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中
适合不等式-360°≤β <720°的元素β 写出来.

解:如图,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发
现它与x轴的夹角是45°,在0°~360° 范围内, 终边在直线y=x上的角有两个: 45°,225°.

因此,终边在直线y=x上的角的集合 S={β|β=45°+k·360°,k∈Z} ∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z} ={β|β=45°+k·180°,k∈Z} S中适合不等式-360°≤β<720°的元素是 45°-2×180°= -315°,

思考是如何
变换的?

45°-1×180°= -135°, S={β |β =45°+2k·180°, 45°+0×180°= 45°, k∈Z}∪{β |β =45°+(2k+1) 45°+1×180°= 225°, ·180°,k∈Z} 45°+2×180°= 405°, ={β |β =45°+ k·180°,k∈Z} 45°+3×180°= 585°.

1.下列说法正确的是( C )

A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角 2.A={小于90°的角},B={第一象限角}, 则A∩B=( D ) A.{锐角} B.{小于90°的角}

C.{第一象限角}

D.以上都不对

3.已知角α 是第三象限角,则角-α 的终边在( B ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

4.已知角α 的终边在如图中阴影所表示的范围内(不

{? ? ? k ? 180? ? ? ? 180? ? ? ? 包括边界),那么α ∈_______________________

k? 180?, k ? Z} _______________.
y

O

θ -θ

x

1.角的概念推广后,角的大小可以任意取值. 把

角放在直角坐标系中进行研究,对于一个给定的
角,都有唯一的一条终边与之对应,并使得角具 有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个,在0°~360°范围 内与已知角β 终边相同的角有且只有一个.

把学问过于用作装饰是虚假;完全依学问上 的规则断事是书生的怪癖. ——培根


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