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2013届高三文科数学模拟试卷一


高三文科数学模拟试卷一
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 。 1.已知集合 A ? ?x / x ? 0 ? B ? y / y ? 2, y ? Z , A. A ? B ? ? 2. B. (C R A) ? B ? (??,0)

A. `

1 5

B.

2 5

r />
C.

3 5

D.

4 5

?

11.用[a]表示不大于实数 a 的最大整数,如[1.68]=1,设 x1 , x2 分别是方程

?则下列结论正确的是(
C. A ? B ? [0, ??) C.i )

) D. (C R A) ? B ? {?2, ?1} D. 2i

x ? 2 x ? 3 及 x ? log2 ( x ?1) ? 3 的根,则 [ x1 ? x2 ] ? (
A.3 B.4 C.5 D.6



2?i 2?i 4 的值是( )A.0 B. ? 1 ? 2i 1 ? 2i 5 1 ? ln x 3.函数 f ( x) ? 在(1,1)处的切线方程是( x
A. x ? 1 B. y ? x ? 1

12.一个几何体的三视图如图所示,它们都是腰长为 1 的等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的体积等于( A. ? )

C. y ? 1

D. y ? ?1

B.

2? 2

C.2 ?

D.

3? 2

4.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近线为 x ? y ? 0 ,则双曲线的焦距为( 2 a
B.2 ) C.



二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 。 13.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), ( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的 部分图像如图,则 ? = 。

A. 2 2

2

D.4

5.有四个关于三角函数的命题: (

14.已知过点 P(1,0)且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线

p1 : ?x0 ? R,sin x0 ? cos x0 ? 2
p3 : ?x ? [? , ] 2 2
其中真命题的是(

p2 : ?x0 ? R,sin x0 2sin x0 p3 : ?x ? (0, ? ),sin x ? cos x
B. p2 , p3 C. p3 , p 4 D. p2 , p 4

y2 ? 4x 交于 A,B 两点,则弦长|AB|=
15.函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是
.

? ?

1 ? cos 2 x ? cos x 2
)A. p1 , p 4

16.△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 a2 ? c2 ? b, 且b ? 3c cos A ,则 b= 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. 12 分)设公比小于零的等比数列 {an } ( 的前n项和为Sn , 且a2 ? ?1, S3 ? 3a3 . ) (I)求数列 {an } 的通项公式;



3 1 10 2 6.已知 tan 2? ? ? , tan(? ? ? ) ? , 则 tan(? ? ? ) =( )A.-2 B.-1 C. ? D. ? 4 2 11 11 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 7.设点 O 为坐标原点,向量 OA ? (2, 2), OB ? (1, 4), P 为 x 轴上一点,当 AP ? BP 最小时,点 P 的坐标为(
A. (? ,0)

(II)若数列 {bn }满足bn ? an ? 2n ?1, 求数列 bn }的前n项和Tn . {

3 2

B. ( , 0)

3 2

C. (—1,0)

D. (1,0)

?2 x ? y ? 4, ? 8.设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? 2 x ? y 的最小值为( ? x ? 2 y ? 2, ?
A.—5 B.—4 C.4



D.0

9.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 AC1 上有两个动点 E、F,且

EF ?

3 。给出下列四个结论:①BF//CE;②CE⊥BD; 3

③三棱锥 E—BCF 的体积为定值; ④△BEF 在底面 )

18. 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面为梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,PD ( ⊥底面 ABCD,PD=AD=AB=1,CD=2AB,E 为 PC 的中点。 (I)求证:EB//平面 PAD; (II)求证:BC⊥平面 PBD; (III)求四面体 P—BDE 的体积。

ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形;其中,正确结构的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

19. 12 分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中抽取成绩排名在前 80 (

10.如果执行右面的程序框图,则输出的结构是(

名的学生成绩进行统计,得频率分布表:

(I)分别写出表中①、②处的数据; (II)高校决定在第 6、7、8 组中用

分层抽样的方法选 6 名学生进行心理测试,最后确定两名学生给予奖励。规则如下: 若该获奖学生的第 6 组,给予 奖励 1 千元;若该获奖学生的第 7 组,给予奖励 2 千元;若该获奖学生的第 8 组,给予奖励 3 千元;测试前,高校假 设每位学生通过测试获得奖励的可能性相同。求此次测试高校将要支付的奖金总额为 4 千元的概率。

请考生在第 23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 23. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 的方程为 x2 ? y2 ? 4x cos? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0(? 为参数) , 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? (t 为参数) ? y ? 1 ? t sin ?

(I)求圆 M 的圆心的轨迹 C 的参数方程,并说明它表示什么曲线; (II)求直线 l 被轨迹 C 截得的最大弦长。 24. 10 分)已知函数 f (t ) ?| t ? 1| ? | t ? 3 | , ( 20. 12 分)已知椭圆 ( (I)求 f (t ) ? 2 的解集; (II)若 a ? 0, g( x) ? ax2 ? 2x ? 5,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (? 2, 0) ,点 F 到右顶点的距离为 3 ? 2. a 2 b2
(II)设直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,且与圆 x ? y ?
2 2

若对任意实数 x、t,均有 g ( x ) ? f (t ) 恒成立,求 a 的取值范围。

(I)求椭圆的方程; 时,求直线 l 的斜率。

3 3 相切,当△AOB 的面积为 2 4

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21. 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? x , ( (1)若函数 f ( x)在(1, ??) 上为增函数,求实数 a 的最大值; (2)当 x ? (0, ??)时, f ( x) ? ax 恒成立,求 a 的取值范围。


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